Cayley pöytä

Cayley  -taulukko on taulukko, joka kuvaa äärellisten algebrallisten järjestelmien rakennetta järjestämällä operaation tulokset kertotaulukkoa muistuttavaan taulukkoon. Nimetty englantilaisen matemaatikon Arthur Cayleyn mukaan . Taulukko on tärkeä diskreetissä matematiikassa , erityisesti ryhmäteoriassa . Taulukosta voit selvittää joitain ryhmän ominaisuuksia, esimerkiksi onko ryhmä Abelin , löytää ryhmän keskipisteen ja ryhmän elementtien käänteiselementit .

Korkeammassa algebrassa Cayley-taulukoita voidaan käyttää myös määrittämään binäärioperaatioita kentille , renkaille ja muille algebrallisille rakenteille.

Yksinkertainen esimerkki Cayley-taulukosta ryhmälle {1, −1} normaalilla kertolaskulla :

× yksi −1
yksi yksi −1
−1 −1 yksi

Historia

Cayley-taulukot ilmestyivät ensimmäisen kerran Cayleyn artikkelissa "Ryhmien teoriasta riippuen symbolisesta yhtälöstä θ n = 1" vuonna 1854. Tässä artikkelissa nämä olivat vain havainnollistavia taulukoita. Niitä kutsuttiin myöhemmin Cayley-pöydiksi luojansa kunniaksi.  

Rakenne

Koska monet Cayley-taulukot kuvaavat ryhmiä, jotka eivät ole Abelin ryhmiä , tulo ab ei välttämättä ole yhtä suuri kuin tuote ba kaikille ryhmän a :lle ja b :lle. Sekaannusten välttämiseksi oletetaan, että rivejä vastaava kerroin tulee ensin ja sarakkeita vastaava kerroin toiseksi. Esimerkiksi rivin a ja sarakkeen b leikkauspiste  on ab , ei ba , kuten seuraavassa esimerkissä näkyy:

* a b c
a a 2 ab ac
b ba b 2 eKr
c noin cb c 2

Cayley sijoitti työssään neutraalin elementin ensimmäiseen riviin ja ensimmäiseen sarakkeeseen, minkä ansiosta hän ei voinut erottaa erillisiä rivejä ja sarakkeita, jotka osoittavat elementtejä, kuten yllä olevasta esimerkistä voidaan nähdä. Sama taulukko esitettiin esimerkiksi seuraavasti:

a b c
b c a
c a b

Tässä esimerkissä syklisestä ryhmästä Z 3 elementti a on neutraali elementti, ja se näkyy taulukon vasemmassa yläkulmassa. On helppo nähdä esimerkiksi, että b 2 = c ja että cb = a . Toisin kuin tämä, useimmat nykyaikaiset tekstit, mukaan lukien tämä artikkeli, sisältävät otsikkorivin ja -sarakkeen selkeyden lisäämiseksi.

Ominaisuudet ja käyttötarkoitukset

Kommutatiivisuus

Cayley-taulukko kertoo, onko ryhmä abelilainen . Koska Abelin ryhmän ryhmäoperaatio on kommutatiivinen , ryhmä on Abelin, jos ja vain jos sen Cayley-taulukko on symmetrinen (suhteessa diagonaaliin). Yllä oleva 3. kertaluvun syklinen ryhmä sekä tavallisella kertolaskulla {1, −1} ovat molemmat esimerkkejä Abelin ryhmistä, ja niiden Cayley-taulukoiden symmetria todistaa tämän. Mutta pienimmällä kuudennen asteen ei-Abelin dihedraaliryhmällä ei ole symmetriaa Cayley-taulukossa.

Assosiatiivisuus

Koska assosiatiivisuus esiintyy ryhmissä määritelmän mukaan, se oletetaan usein myös Cayley-taulukoissa. Cayley-taulukoita voidaan kuitenkin käyttää kuvaamaan operaatioita kvasiryhmissä , joissa assosiatiivisuutta ei vaadita (lisäksi Cayley-taulukoita voidaan käyttää kuvaamaan operaatiota missä tahansa äärellisessä magmassa ). Valitettavasti yleensä on mahdotonta määrittää, onko operaatio assosiatiivinen vai ei, yksinkertaisesti katsomalla taulukkoa, toisin kuin kommutatiivisuus. Tämä johtuu siitä, että assosiaatio riippuu kolmesta yhtäläisestä elementistä, kun taas Cayley-taulukko näyttää kahden elementin tulon. Lightin assosiatiivisuustesti voi kuitenkin määrittää assosiatiivisuuden vähemmällä vaivalla kuin raakaa voimaa.

Permutaatiot

Koska lyhenne pätee ryhmille (tosin jopa kvasiryhmille), mikään Cayley-taulukon rivi tai sarake ei voi sisältää samaa elementtiä kahdesti. Siten jokainen taulukon rivi ja sarake on ryhmän elementtien permutaatio.

Jos haluat nähdä, miksi rivit ja sarakkeet eivät voi sisältää samoja elementtejä, olkoon a , x ja y  ryhmän elementtejä ja x ja y ovat erilaisia. Nyt elementtiä a vastaava rivi ja elementtiä x vastaava sarake sisältävät tulon ax . Vastaavasti y :tä vastaava sarake sisältää ay :n . Olkoon kaksi tuloa yhtä suuria, eli merkkijono a sisältää elementin kahdesti. Pelkistyssäännön avulla voimme päätellä ax = ay :stä , että x = y , mikä on ristiriidassa x :n ja y :n valinnan kanssa . Täsmälleen sama päättely pätee sarakkeisiin. Ottaen huomioon ryhmän rajallisuus Dirichlet-periaatteen mukaisesti , jokainen ryhmän elementti esitetään täsmälleen kerran kullakin rivillä ja jokaisessa sarakkeessa.

Toisin sanoen Cayleyn taulu ryhmälle on esimerkki latinalaiselta neliöltä .

Cayley-pöytien rakentaminen ryhmille

Ryhmärakennetta käyttämällä on usein mahdollista "täyttää" tyhjiä kenttiä sisältäviä Cayley-taulukoita tietämättä edes mitään ryhmän toiminnasta. Esimerkiksi koska jokaisen rivin ja jokaisen sarakkeen tulee sisältää kaikki ryhmän elementit, yksi puuttuva elementti riviltä (tai sarakkeelta) voidaan täyttää ilman, että ryhmästä tiedetään ollenkaan. Tämä osoittaa, että tämä ominaisuus ja jotkut muut ryhmien ominaisuudet mahdollistavat Cayley-taulukoiden rakentamisen, vaikka tiedämmekin vähän ryhmästä.

Äärillisen ryhmän "neutraalien elementtien luuranko"

Koska missä tahansa ryhmässä, ei edes abelilaisessa, mikä tahansa elementti kommutee käänteisensä kanssa, neutraalien elementtien jakauma Cayleyn taulussa on symmetrinen diagonaalin suhteen. Diagonaalilla sijaitsevat neutraalit elementit vastaavat elementtejä, jotka ovat yhtäpitäviä niiden käänteisarvojen kanssa.

Koska Cayley-taulukon rivien ja sarakkeiden järjestys on mielivaltainen, on kätevää järjestää ne seuraavassa järjestyksessä: aloitamme ryhmän neutraalista elementistä, joka on aina sama kuin sen käänteinen, ja luettele sitten kaikki elementit, jotka vastaavat niiden käänteisarvojen kanssa ja kirjoita sitten elementtiparit (elementti ja käänteinen hänelle).

Nyt jonkin järjestyksen äärelliselle ryhmälle on helppo määritellä "neutraalien elementtien luuranko", joka on saanut nimensä, koska neutraalit elementit joko sijaitsevat päälävistäjän päällä tai lähellä sitä.

On suhteellisen helppoa todistaa, että ryhmät, joilla on eri luuranko, eivät voi olla isomorfisia , mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa (esimerkiksi syklinen ryhmä C 8 ja kvaternioniryhmä Q eivät ole isomorfisia, vaikka niillä on samat luurangot).

Olkoon kuusi ryhmäelementtiä e , a , b , c , d ja f . Olkoon e  neutraali elementti. Koska neutraali elementti on sama kuin sen käänteiselementti ja käänteiselementti on ainutlaatuinen, on oltava ainakin yksi muu elementti, joka on sama kuin sen käänteiskappale. Siten saamme seuraavat mahdolliset luurangot:

Meidän tapauksessamme ei ole olemassa ensimmäisen luokan 6 ryhmää. Lisäksi se, että luuranko on mahdollinen, ei suinkaan tarkoita, että on olemassa ryhmä, jonka luuranko on sama kuin sen kanssa.

Huomionarvoista on se tosiasia (ja se on helppo todistaa), että mikä tahansa ryhmä, jossa mikä tahansa elementti osuu yhteen sen käänteisen kanssa, on Abelin.

Taulukon täydentäminen neutraalien elementtien rungon mukaan

Jos neutraalien elementtien runko on annettu, voit aloittaa Cayley-taulukon täyttämisen. Valitaan esimerkiksi luokan 6 ryhmän toinen luuranko yllä kuvatuista:

e a b c d f
e e
a e
b e
c e
d e
f e

Ilmeisesti rivi e ja sarake e voidaan täyttää välittömästi. Kun tämä on tehty, voi olla tarpeen (ja se on meidän tapauksessamme välttämätöntä) tehdä olettamus, joka voi myöhemmin johtaa ristiriitaan, mikä tarkoittaa, että olettamus on väärä. Oletetaan, että ab = c . Sitten:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e c
b b e
c c e
d d e
f f e

Kerrotaan ab = c vasemmalta a :lla , saadaan b = ac . Oikea kertominen c :llä antaa bc = a . Kun ab = c oikealta kerrotaan b : llä, saadaan a = cb . Kertomalla bc = a vasemmalta b :llä saadaan c = ba ja kertomalla oikealta a :lla saadaan ca = b . Kun nämä tuotteet on lisätty taulukkoon, huomaamme, että ad ja af jäävät tyhjiksi rivillä a . Koska jokaisen elementin täytyy esiintyä täsmälleen kerran peräkkäin, saamme mainoksen olevan joko d tai f . Tämä alkio ei kuitenkaan voi olla yhtä suuri kuin d , koska muuten a olisi yhtä suuri kuin e , vaikka tiedämme, että nämä kaksi elementtiä ovat erilaisia. Siten ad = f ja af = d .

Nyt, koska d :n käänteisarvo on f , kertomalla ad = f oikealta f :llä saadaan a = f 2 . Vasen kertominen d : llä antaa da = f . Kun oikealla kerrotaan a :lla , saadaan d = fa .

Kun olet syöttänyt kaikki nämä työt, Cayley-pöytä tulee muotoon:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e c b f d
b b c e a
c c b a e
d d f e
f f d e a

Koska jokaisen ryhmän elementin tulee esiintyä täsmälleen kerran kullakin rivillä, on helppo nähdä, että rivin b kahden tyhjän taulukon solun on täytettävä joko d tai f . Kuitenkin d ja f ovat jo mukana vastaavissa sarakkeissa . Siten, mitä tahansa laitammekin näihin kenttiin, saamme sarakkeisiin toistoa, mikä osoittaa, että alkuperäinen arvauksemme ab = c oli väärä. Nyt tiedämme kuitenkin, että ab ≠ c .

Jäljellä on kaksi vaihtoehtoa - joko ab = d tai ab = f . Koska d ja f ovat keskenään käänteisiä ja kirjainten valinta on mielivaltainen, tuloksen pitäisi olettaa olevan sama isomorfiaan asti. Yleisyyden menettämättä voidaan olettaa, että ab = d . Jos nyt saadaan ristiriita, meidän on myönnettävä, ettei tälle luurangolle ole vastaavaa ryhmää.

Saamme uuden Cayley-pöydän:

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d
b b e
c c e
d d e
f f e

Kun ab = d vasemmalla kerrotaan a : lla , saadaan b = ad . Oikea kertominen f :llä antaa bf = a , ja vasen kertominen f: llä antaa f = ba . Kertomalla oikealla a :lla saadaan fa = b , ja kertomalla vasemmalla luvulla d , saadaan a = db . Kun tulokset syötetään Cayley-taulukkoon, saadaan (uudet elementit on korostettu punaisella):

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d b
b b f e a
c c e
d d a e
f f b e

Merkkijonosta a puuttuvat c ja f , mutta koska af ei voi olla yhtä suuri kuin f (muuten a olisi yhtä suuri kuin e ), voidaan päätellä, että af = c . Kertomalla vasemmalla a : lla saadaan f = ac , ja tämä voidaan kertoa oikealla c :llä , jolloin saadaan fc = a . Kertomalla jälkimmäinen vasemmalla olevalla d :llä saadaan c = da , jonka voimme kertoa oikealla a :lla , jolloin saadaan ca = d . Samalla tavalla kertomalla af = c oikealta d :llä saadaan a = cd . Päivitä taulukko (viimeisimmät muutokset on korostettu sinisellä):

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e a
c c d e a
d d c a e
f f b a e

Koska merkkijono b ei sisällä c :tä ja d :tä ja bc ei voi olla yhtä suuri kuin c , päätämme, että bc = d , joten bd :n tulon on oltava c . Kertomalla oikealla f :llä saadaan b = cf , joka voidaan muuntaa cb = f :ksi kertomalla c :llä vasemmalla. Väittelemällä samalla tavalla voimme päätellä, että c = fb ja dc = b . Teemme muutoksia taulukkoon (esitellyt elementit on korostettu vihreällä):

e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b e
f f b c a e

Vain f puuttuu riviltä d , joten d 2 = f . Samalla tavalla saadaan, että f 2 = d . Olemme täyttäneet koko taulukon emmekä ole tulleet ristiriitaan. Siten olemme löytäneet luokkaa 6 vastaavan ryhmän, joka vastaa luurankoa. Katsaus taulukkoon osoittaa, että se ei ole Abelin. Itse asiassa tämä on pienin ei-Abelin ryhmä, dihedraaliryhmä D 3 :

* e a b c d f
e e a b c d f
a a e d f b c
b b f e d c a
c c d f e a b
d d c a b f e
f f b c a e d

Permutaatiomatriisin sukupolvi

Cayley-taulukon vakiomuodossa rivien ja sarakkeiden järjestys on sama. Toinen tapa järjestellä on järjestää sarakkeet siten, että n : s sarake vastaa n : nnen rivin käänteisiä elementtejä. Esimerkissämme D 3 :lle meidän tarvitsee vain vaihtaa kaksi viimeistä saraketta, koska vain f ja d eivät ole käänteisiä itselleen, vaan ovat käänteisiä toisilleen.

e a b c f=d -1 d=f −1
e e a b c f d
a a e d f c b
b b f e d a c
c c d f e b a
d d c a b e f
f f b c a d e

Esimerkissämme voidaan luoda kuusi permutaatiomatriisia (kaikki elementit ovat 1 tai 0, yksi 1 jokaisella rivillä ja jokaisella sarakkeella). 6x6-matriisi sisältää ykkösen, jos sarakkeen otsikko vastaa rivin otsikkoa, ja nollia kaikissa muissa kentissä, otsikon Kronecker-symbolin . (Huomaa, että riville e saadaan identiteettimatriisi.) Esimerkiksi a:lle saadaan permutaatiomatriisi.

e a b c f d
e 0 yksi 0 0 0 0
a yksi 0 0 0 0 0
b 0 0 0 0 yksi 0
c 0 0 0 0 0 yksi
d 0 0 yksi 0 0 0
f 0 0 0 yksi 0 0

Tämä osoittaa, että mikä tahansa luokkaa n oleva ryhmä on kertaluvun n ! permutaatioryhmän Sn aliryhmä .

Yleistykset

Yllä kuvatut ominaisuudet riippuvat joistakin ryhmien aksioomista. On luonnollista laajentaa Cayleyn taulukkoa joihinkin muihin algebrallisiin rakenteisiin, kuten puoliryhmiin , kvasiryhmiin ja magmoihin , mutta jotkin yllä olevista ominaisuuksista eivät päde niihin.

Katso myös

Linkit