Ricci-tensori

Ricci-tensori , joka on nimetty Ricci-Curbastron mukaan, määrittelee yhden tavan mitata moniston kaarevuutta, eli kuinka paljon moniston geometria eroaa tasaisen euklidisen avaruuden geometriasta . Ricci-tensori, kuten metrinen tensori , on symmetrinen bilineaarinen muoto Riemannin moniston tangentiavaruudessa . Karkeasti ottaen Ricci-tensori mittaa tilavuuden muodonmuutosta eli sitä, missä määrin n -ulotteisen moniston n - ulotteiset alueet eroavat vastaavista euklidisen avaruuden alueista. Katso Ricci-tensorin geometrinen merkitys .

Yleensä merkitään tai . $\mathrm {Ric}$ $\mathrm {Rc}$

Määritelmä

Olkoon n - ulotteinen Riemannin monisto ja olkoon M : n tangenttiavaruus pisteessä p . Jokaiselle tangenttivektoriparille kohdassa p , Ricci-tensori kartoittaa määritelmän mukaan Riemannin kaarevuustensorin R antamaan lineaarisen automorfismin jälkiin : $(M,g)$ $T_{p}M$ $\xi ,\eta \in T_{p}M$ ${\mathrm {Ric}}(\xi ,\eta )$ $(\xi ,\eta )$ $T_{p}M\to T_{p}M$

\zeta \mapsto R(\zeta ,\eta )\xi

Jos jakosarjassa annetaan paikalliset koordinaatit, Ricci-tensori voidaan laajentaa komponenteiksi:

\operaattorin nimi {Ric}=R_{{ij}}\,dx^{i}\otimes dx^{j}

missä on Riemannin tensorin jälki koordinaattiesituksessa. $R_{{ij}}={R^{k}}_{{ikj}}.$

Geometrinen tunne

Minkä tahansa Riemannin moniston pisteen p läheisyyteen voidaan aina määrittää erityiset paikalliskoordinaatit, ns. normaaligeodeettiset koordinaatit , joissa pisteen p geodetiikka osuu origon kautta kulkeviin linjoihin. Myös itse pisteessä p metrinen tensori on yhtä suuri kuin euklidisen avaruuden metriikka (tai pseudo-Riemannin moniston tapauksessa Minkowskin metriikka ). $(M,g)$ $\delta _{{ij}}$ $\eta _{{ij}}$

Näissä erikoiskoordinaateissa tilavuuden muoto laajenee Taylor-sarjaksi p :n ympärillä :

d\mu _{g}={\Big [}1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{ 3}){\Big ]}d\mu _{\text{Euclid))

Siten, jos Riccin kaarevuus on positiivinen vektorin suunnassa , niin pisteestä p suuntautuvassa geodeettisen kapeassa kartiossa on pienempi tilavuus kuin samalla kartiolla euklidisessa avaruudessa. Vastaavasti, jos Riccin kaarevuus on negatiivinen, niin kapealla geodesiikan kartiolla vektorin suunnassa on suurempi tilavuus kuin euklidisella. ${\textrm {Ric}}(\xi ,\xi )$ $\xi$ $\xi$ $\xi$

Riccin kaarevuus ja geometria yleisesti

Olkoon täydellinen -ulotteinen Riemannin monisto _ $M$ $n$ $\operaattorinimi {Ric}_{M}\geq (n-1)\kappa$

Bishop-Gromov epätasa-arvo . Olkoon , Merkitään sädepallon tilavuudella , jonka keskipiste on , Merkitään sädepallon tilavuudella vakiokaarevuuden -ulotteisessa avaruudessa . Sitten suhde $p\in M$ $v_{p}(r)$ $r$ $s$ ${\tilde v}(r)$ $r$ $n$ $\kappa$ ${\frac {v_{p}(r)}{{\tilde v}(r)))$

on funktion ei-nouseva funktio .

r

Meyerin lause
Bochnerin identiteetistä 1-muodoille seuraa, että jos silloin laplalaisen ominaisarvot eivät ole pienempiä kuin yksikköulotteisen pallon ominaisarvot. $\kappa =1$ $M$ $n$

Ricci-tensorin sovellukset

Riccin kaarevuustensori yleisessä suhteellisuusteoriassa toimii Einsteinin yhtälöiden avainkomponenttina .

Ricci-kaarevuus näkyy myös Ricci-virtausyhtälössä , jossa ajasta riippuva metriikka muuttuu suhteessa miinus Ricci-kaareen.

Ricci-tensori

Määritelmä

Geometrinen tunne

Riccin kaarevuus ja geometria yleisesti

Ricci-tensorin sovellukset

Katso myös