Pizzan jakolause

Pizzan jakolauseessa sanotaan , että tietyllä tavalla ympyrää leikkaamalla saatujen kahden alueen pinta -alat ovat yhtä suuret .

Lauseen nimi kuvastaa klassista pizzan leikkaustekniikkaa . Lause osoittaa, että jos kaksi ihmistä leikkaa pizzan tällä tavalla ja ottavat vuorotellen viipaleita, niin jokainen saa saman määrän pizzaa.

Lauseen lause

Olkoon p levyn sisäpiste ja olkoon n luvun 4 ja vähintään 8 kerrannainen. Leikataan levy n sektoriin , joiden kulmat ovat yhtä suuret kuin radiaanit pisteen p läpi kulkevia viivoja pitkin . Numeroimme sektorit peräkkäin myötä- tai vastapäivään. Sitten pizzalause sanoo, että:

Parittomien sektoreiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin parillisten sektoreiden pinta-alojen summa [2] .

Historia

Pizzan jakamislauseen ehdotti alun perin haasteongelmaksi Leslie Upton ( eng.  LJ Upton ) [2] . Michael  Goldbergin julkaisemassa ratkaisussa tähän ongelmaan käytettiin algebrallisten lausekkeiden suoraa sovellusta sektorien alueille.

L. Carter ( eng.  Larry Carter ) ja S. Wagon ( eng.  Stan Wagon ) [1] antoivat vaihtoehtoisen todisteen leikkaamalla . He osoittivat kuinka leikata sektoreita pienemmiksi paloiksi niin, että jokaisella parittoman sektorin palalla on parillisen sektorin pala ja päinvastoin. G. Frederickson ( eng.  Greg Frederickson ) [3] antoi perheen dissektiotodistukset kaikille tapauksille (joissa sektoreiden lukumäärä on 8, 12, 16, ... ).

Yleistykset

Vaatimus, että sektoreiden lukumäärän on oltava neljän kerrannainen, on olennainen - sen osoitti Don Coppersmith ; levyn jakaminen neljään sektoriin tai useisiin sektoreihin, jotka eivät ole jaollisia neljällä, ei yleensä anna yhtä suuria alueita. Marby ( eng.  Rick Mabry ) ja Dierman ( eng.  L. Paul Deiermann ) [4] vastasivat Carterin ja Wagonin [5] ratkaisuun ja antoivat tarkemman version lauseesta , joka määrittää, millä sektorijoukoilla on suuri alue, jos alueet eivät ole yhtä suuret. Erityisesti, jos sektorien lukumäärä on verrattavissa kahteen ( mod 8) ja yksikään leikkauksista ei kulje levyn keskustan läpi, niin keskikohdan sisältävällä osien osajoukolla on pienempi pinta-ala; kun taas siinä tapauksessa, että sektorien lukumäärä on verrattavissa 6:een (mod 8) ja yksikään leikkauksista ei kulje keskustan läpi, keskuksen sisältävällä kappalesarjalla on suuri pinta-ala. Pariton määrä sektoreita on mahdotonta suorilla leikkauksilla, ja leikkaus keskeltä tekee molemmista sektoreista yhtä suuren alueen sektorien lukumäärästä riippumatta.

Marby ja Dyerman [4] huomasivat myös, että jos pizza jaetaan tasan, niin myös reuna jaetaan tasan (reunaa voidaan pitää joko pizzan kehänä tai ympyrän reunan välisenä alueena (pizza). ) ja pienempi ympyrä, jolla on sama keskipiste, edellyttäen, että jakopiste on tässä pienemmässä ympyrässä), koska molempien ympyröiden rajoittamat kiekot jaetaan tasan, niin myös niiden ero. Jos pizzaa ei kuitenkaan jaeta tasaisesti, niin se syöjä, joka saa suurimman osan pizzasta, saa pienemmän palan reunasta.

Kuten Hischhornit [6] huomauttivat , pizzan tasainen jakaminen johtaa myös sen täytteen jakautumiseen tasaisesti, jos täyte on jaettu ympyrään (ei välttämättä samankeskiseen pizzaympyrän kanssa), joka sisältää sektoreihin jaon keskipisteen p .

Yu. A. Brailovin teoksessa ehdotettiin pizzateoreeman yleistys n-ulotteiselle pallolle: joukko hypertasoja, joilla on samanlainen ominaisuus, vastaa äärellistä heijastusryhmää tyyppiä B_n [7] .

Aiheeseen liittyvät tulokset

Hirshhornit [6] osoittivat, että pizza, joka on leikattu kuten pizzalauseessa n sektoriin, joilla on samat kulmat, joissa n on jaollinen neljällä, voidaan jakaa tasan n /4 henkilölle. Esimerkiksi pizza, joka on jaettu 12 osaan, voidaan jakaa tasan kolmelle henkilölle. Pizzan jakamiseksi viidelle henkilölle on kuitenkin jaettava pizza 20 osaan.

Cybulka, Kinchl ym. [8] ja Knauer, Micek, Jokordt [9] tutkivat peliä valita ilmaisia ​​pizzaviipaleita enemmistön takaamiseksi, mikä on Dan Brownin ja Peter Winklerin ehdottama ongelma . Tutkimuksessaan ongelman versiossa pizza jaetaan säteittäisesti (ilman takeita siitä, että sektoreiden kulmat ovat yhtä suuret) ja ruokailijat valitsevat vuorotellen pizzaviipaleet, jotka ovat jo syömiensä sektoreiden vieressä. Jos kaksi ruokailijaa yrittää maksimoida syödyn pizzan määrän, niin ensimmäisen palan syöjä voi taata itselleen 4/9 koko pizzasta, ja on pizzaleikkauksia, joista hän ei voi saada enempää. Reilun jaon eli ympyränjako-ongelmassa tarkastellaan samanlaisia ​​pelejä, joissa eri pelaajilla on erilaiset kriteerit osuutensa suuruuden mittaamiseksi. Esimerkiksi yksi syöjä saattaisi pitää enemmän pepperonista , kun taas toinen juustosta [10] .

Katso myös

Muita matemaattisia laskelmia, jotka ovat lähellä pizzan jakoa, sisältävät laiskoja toimittajasarjoja  , kokonaislukujen sarjaa, joka edustaa pitsaviipaleiden maksimimäärää, joka voidaan saada suorilla leikkauksilla, sekä voileipälauseen kolmiulotteisten esineiden leikkaamisesta näistä kahdesta. -ulotteinen versio, josta seuraa, että pizza on jopa ruma muoto voidaan jakaa kahtia alueelta ja reunaa pitkin yhtä aikaa yhdellä leikkauksella, ja lauseen kolmiulotteisesta versiosta seuraa, että siellä on taso , joka jakaa tasaisesti pohjan ja täytteen.

Muistiinpanot

  1. ↑ 12 Carter, Wagon, 1994a .
  2. ↑ 12 Upton , 1968 .
  3. ↑ Frederickson, 2012 .
  4. ↑ 1 2 Mabry, Deiermann, 2009 .
  5. ↑ Carter, Wagon, 1994b .
  6. ↑ 12 Hirschhorns , 1999 .
  7. ↑ Brailov Yu. A. Heijastusryhmät ja pizzalause  // Algebra i Analiz. - 2021. - T. 33 , nro 6 . - S. 1-8 . Arkistoitu alkuperäisestä 28. marraskuuta 2021.
  8. ↑ Cibulka, Kynčl et al., 2010 .
  9. ↑ Knauer, Micek, Ueckerdt, 2011 .
  10. ↑ Musina, E. F. Ott. Uudet toiminnalliset tuotteet - pehmeä juusto "Globozum" ja puolikova juusto "Pladolens" // Juustojen valmistus ja voin valmistus. - 2019. - Ongelma. 2 . — S. 14–16 . — ISSN 2073-4018 . - doi : 10.31515/2073-4018-2019-2-14-16 .

Kirjallisuus