Siilin kampauslause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. elokuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Hedgehog-kampauslauseessa sanotaan, että pallolla on mahdotonta valita jokaisessa pisteessä tangentin suuntaa, joka on määritelty pallon kaikissa pisteissä ja riippuu jatkuvasti pisteestä. Epävirallisesti sanottuna on mahdotonta kammata siilin käpristyä niin, että siitä ei tule ainuttakaan neulaa - tästä syystä lauseen otsikossa mainitaan siili.

Siilikampauslauseen [1 ] avulla voidaan todistaa Brouwerin [2] vuonna 1912 hankkima kiintopistelause .

Sanamuoto

Pallolla ei ole jatkuvaa tangenttivektorikenttää , joka ei katoa mihinkään [3] .

Muistiinpanot

Toisin sanoen, jos on jatkuva funktio, joka määrittelee vektorin tangentin pallon kussakin sen pisteessä, niin on ainakin yksi piste sellainen, että . $f$ $s$ $f(p) = 0$

Toinen "siililauseen" versio näyttää tältä: Olkoon nollasta poikkeava jatkuva vektorikenttä pallolla. Sitten on piste, jossa kenttä on kohtisuorassa palloa vastaan. ${\mathbf {f))$

Seuraukset ja sovellukset

Jokaisella jatkuvalla pallon kartalla itseensä on joko kiinteä piste tai se kartoittaa jonkin pisteen diametraalisesti vastakkaiseen. Tämä käy selväksi, jos muutamme kartoituksen jatkuvaksi vektorikentäksi seuraavalla tavalla. Olkoon pallon kartoitus itseensä ja vaadittava vektorikenttä. Rakennamme mille tahansa pisteelle pisteen stereografisen projektion pisteen tangenttitasolle . Sitten on projektio siirtymävektori suhteessa . Siilikampauslauseen mukaan on olemassa sellainen kohta , että , Joten .

s

v

s

s(p)

s

v(p)

s

s

v(p) = 0

s(p)=p

Todistus epäonnistuu vain, jos jossain pisteessä on vastakkainen , koska tässä tapauksessa on mahdotonta rakentaa sen stereografista projektiota pisteen tangenttitasolle .

s

s(p)

s

s

Maapallolla täytyy olla sykloni. Mielenkiintoinen meteorologinen sovellus tälle lauseelle saadaan, kun tuulta pidetään jatkuvana vektorikenttänä planeetan pinnalla. Tarkastellaan idealisoitua tapausta, jossa pintaan normaali kenttäkomponentti on merkityksettömän pieni. Hedgehog-kampauslauseessa sanotaan, että planeetan pinnalla on aina piste, jossa ei ole tuulta (tangenttivektorikentän nolla). Tällainen piste on syklonin tai antisyklonin keskus: tuuli pyörii tämän pisteen ympärillä (se ei voi olla suunnattu tähän pisteeseen tai ulos). Siilikampauslauseen mukaan, jos ainakin jonkin verran tuulta puhaltaa maan päällä, niin jossain täytyy olla sykloni . Virtuaalikameralla ei ole yksilöllisesti määriteltyä jatkuvaa "ylävektoria". Ei ole jatkuvaa funktiota , joka tuottaa kullekin vektorille kohtisuoran funktion. Tietokonegrafiikassa kameran perinteinen asento , joka katsoo pisteestä A kohteeseen B, on seuraava: valitaan tietty suunta ("yläosa") ja haluttu vektori ("frame top") on ortogonaalinen komponentti . yläsuunta vektoriin AB. Tietenkin, kun kameran on katsottava suoraan ylös tai alas, tämä vektori on nolla. Lause sanoo, että jopa avaruudessa, jossa ei ole "ylös" ja "alas", on mahdotonta tehdä sellaista kartoitusta niin, että se on sekä yksiselitteinen että ilman tällaisia suuntia.

\mathbb {R} ^{3}

Muunnelmia ja yleistyksiä

Yleisemmin voidaan osoittaa, että tangentin vektorikentän tietyn nollien summan on oltava yhtä suuri kuin 2, kaksiulotteisen pallon Euler-ominaisuus , joten siinä on oltava vähintään yksi nolla. Tämä on seurausta Poincarén vektorikenttälauseesta . Kaksiulotteisen toruksen Euler-ominaisuus on 0, joten se voidaan "kammata". Yleensä missä tahansa jatkuvassa tangenttivektorikentässä kompaktissa säännöllisessä 2 - jakosarjassa , jossa on nollasta poikkeava Euler-ominaisuus, on vähintään yksi nolla.

Yhteys Eulerin ominaisuuteen viittaa oikeaan yleistykseen: -ulotteisella pallolla ei ole missään nollasta poikkeavaa jatkuvaa vektorikenttää ( ). Ero parillisen ja parittoman ulottuvuuden välillä on, että -ulotteisen pallon -ulotteiset Betti-luvut ovat 0 kaikille paitsi ja , joten niiden vuorotteleva summa on 2 parillisella ja 0 paritolla. $\chi$ $2n$ $n\geqslant 1$ $k$ $m$ $k$ $k = 0$ $k = m$ $\chi$ $m$

Hyvin läheinen lause algebrallisesta topologiasta perustuu Lefschetzin kiinteän pisteen lauseeseen . Koska kaksiulotteisen pallon Betti-luvut ovat yhtä kuin 1, 0, 1, 0, 0, …, niin identtisen kuvauksen Lefschetzin luku (täydellinen jäljitys homologiasta ) on yhtä suuri kuin 2 . Integroimalla vektorikenttä saadaan (ainakin pienellä 0:n alueella) yhden parametrin diffeomorfismiryhmä pallolle, jossa kaikki kartat ovat homotooppisia identiteetin kanssa. Näin ollen niillä kaikilla on myös Lefschetzin numero 2, ja siksi niillä on kiinteät pisteet (koska niiden Lefschetz-luku ei ole nolla). Voidaan todistaa, että nämä pisteet ovat todellakin vektorikentän nollia. Tämä kehottaa muotoilemaan yleisemmän Poincarén vektorikenttälauseen .

Katso myös

Poincarén vektorikenttälause

Muistiinpanot

↑ "Hollannin matemaatikko LEJBrouwer todisti yleisen tapauksen vasta vuonna 1912" Arkistoitu 10. toukokuuta 2022 Wayback Machinen / The Hairy Ball Theorem -sivustoon. Mark Joppolo. AfterMath Issue 5, 2008, University of Western Australia
↑ L.E.J. Brouwer. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten / Mathematische Annalen (1912) Nide: 71, sivut 97-115; ISSN: 0025-5831; 1432-1807/e Arkistoitu 17. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa , koko teksti Arkistoitu 17. heinäkuuta 2020 Wayback Machinessa (saksa)
↑ Hairy Ball Theorem - Wolfram MathWorldistä . Haettu 20. toukokuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 10. tammikuuta 2020. (määrätön)

Kirjallisuus

Murray Eisenberg, Robert Guy. Todiste karvaisen pallon lauseesta . - American Mathematical Monthly. — Voi. 86- Ei. 7 (elo-syyskuu, 1979). - s. 571–574.