Magneettikentän kiertolause

Magneettikentän kiertoteoreema on yksi klassisen sähködynamiikan peruslauseista , jonka muotoili André Marie Ampère vuonna 1826 . Vuonna 1861 James Maxwell johti jälleen tämän lauseen, joka perustui analogioihin hydrodynamiikan kanssa , ja yleisti sen ( katso alla ). Yhtälö, joka on lauseen sisältö tässä yleistetyssä muodossa, on Maxwellin yhtälöiden joukossa . (Vakio sähkökenttien tapauksessa - eli periaatteessa magnetostatiikassa - lause pitää paikkansa alkuperäisessä muodossaan, jonka Ampère muotoili ja esitti artikkelissa ensimmäisenä; yleisessä tapauksessa oikeaa puolta tulisi täydentää termillä sähkökentän voimakkuuden derivaatalla ajan suhteen - katso alla). Lause sanoo [1] :

Tasavirtojen magneettikentän kierto missä tahansa suljetussa piirissä on verrannollinen kiertopiiriin läpäisevien virtojen vahvuuksien summaan.

Tätä lausetta, erityisesti ulkomaisessa tai käännetyssä kirjallisuudessa, kutsutaan myös Ampèren lauseeksi tai Ampèren piirilakiksi. Jälkimmäinen nimi tarkoittaa, että Amperen lakia pidetään perustavanlaatuisempana lausumana kuin Biot-Savart-Laplacen laki , jota puolestaan pidetään jo seurauksena (joka yleensä vastaa sähködynamiikan rakentamisen modernia versiota).

(Klassisen) sähködynamiikan yleisessä tapauksessa kaavaa on täydennettävä oikealla puolella termillä, joka sisältää sähkökentän aikaderivaatta (katso Maxwellin yhtälöt sekä kappale " Yleistäminen " alla). Tässä lisätyssä muodossa se on neljäs Maxwellin yhtälö integraalimuodossa.

Matemaattinen muotoilu

Magnetostatiikan matemaattisessa muotoilussa lauseella on seuraava muoto [ 2] [1] [3] :

\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}

Tässä on magneettinen induktiovektori , on virrantiheys ; integrointi vasemmalla suoritetaan mielivaltaisen suljetun ääriviivan yli, oikealla, mielivaltaisen pinnan yli, jonka tämä ääriviiva kattaa. Tätä muotoa kutsutaan integraaliksi, koska se sisältää nimenomaisesti integraation . Lause voidaan esittää myös differentiaalimuodossa [4] : ${\vec {B}}$ $\vec j$

{\mathrm {rot}}\ {\vec B}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}

Integraali- ja differentiaalimuotojen ekvivalenssi seuraa Stokesin lauseesta [5] .

Yllä oleva lomake on voimassa tyhjiössä. Jos sitä käytetään väliaineessa (aineessa), se on oikein vain, jos j :llä tarkoitamme kaikkia virtoja yleisesti, eli otamme huomioon aineessa kulkevat "mikroskooppiset" virrat, mukaan lukien virtaavat "mikroskooppiset" virrat. alueilla, joiden mitat ovat molekyylien kokoluokkaa (katso diamagneetit ) ja mikrohiukkasten magneettiset momentit (katso esimerkiksi ferromagneetit ).

Siksi aineessa, jos sen magneettisia ominaisuuksia ei laiminlyödä, on usein kätevää eristää magnetointivirta kokonaisvirrasta (katso kytketyt virrat ), ilmaisemalla se magnetointiarvona ja ottamalla käyttöön magneettikentän voimakkuusvektori $minä$

{\vec H}={\vec B}-4\pi {\vec I}

Sitten kiertolause voidaan kirjoittaa muotoon [6]

\oint {\vec H}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}_{f}\cdot {\vec {ds}}

{\mathrm {rot}}\ {\vec H}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}_{f},

jossa alla (toisin kuin yllä olevassa kaavassa) tarkoitamme ns. vapaat virrat, joissa magnetointivirta on poissuljettu (mikä on käytännössä kätevää, koska nämä ovat yleensä jo olennaisesti makroskooppisia virtoja, jotka eivät liity aineen magnetoitumiseen ja jotka on periaatteessa helppo mitata suoraan) [7] . ${\vec j}_{f}$ $\vec j$ ${\vec j}_{f}$

Dynaamisessa tapauksessa - eli klassisen sähködynamiikan yleisessä tapauksessa - kun kentät muuttuvat ajassa (ja niiden polarisaatio muuttuu myös väliaineessa) - ja sitten puhutaan yleistetystä lauseesta, joka sisältää - kaikki yllä oleva pätee mikroskooppisiin virtoihin yhdistettynä dielektrisen polarisaation muutoksiin. Tämä osa virroista otetaan sitten huomioon termissä . $d{\vec E}/dt$ $d{\vec D}/dt$

Yleistys

Lauseen tärkein perusyleistys [8] on neljäs Maxwellin yhtälö . Integraalimuodossa se on suora yleistys yllä olevan magnetostaattisen kaavan dynaamiseen tapaukseen. Tyhjiö [9] :

\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec j}+{\frac {\partial {\vec E} }{\partial t)))\cdot {\vec {ds))

ympäristöä varten [10] :

\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\ frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.

(Kuten näet, kaavat eroavat yllä annetuista vain yhdellä lisätermällä sähkökentän muutosnopeudella oikealla).

Tämän yhtälön differentiaalimuoto on:

{\mathbf {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial } {\partial t}}{\vec {E}},

{\mathbf {rot}}{\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial } {\osittainen t}}{\vec {D}}

(Gaussin järjestelmässä tyhjiölle ja vastaavasti väliaineelle) - voidaan haluttaessa pitää myös magneettikentän kiertolauseen yleistyksen muunnelmana, koska se tietysti liittyy läheisesti integraaliin.

Käytännön arvo

Kiertoteoreemalla on suunnilleen sama rooli magnetostatiikassa kuin Gaussin teoreemalla sähköstatiikassa . Erityisesti ongelman tietyn symmetrian läsnäollessa sen avulla voit yksinkertaisesti löytää magneettikentän suuruuden koko tilassa tietyille virroille [1] . Esimerkiksi magneettikentän laskemiseksi äärettömästä suoraviivaisesta johtimesta, jolla on virta Biot-Savart-Laplacen lain mukaan, on tarpeen laskea ei-ilmeinen integraali, kun taas kiertoteoreema (ottaen huomioon ongelman aksiaalisymmetria) antaa sinun antaa välittömän vastauksen:

B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr))

Kiertokiertolauseen todiste

Jos magneettikentän kiertolausetta ei hyväksytä aksioomaksi, se voidaan todistaa Biot-Savart-Laplacen lailla . Tarkastellaan magneettikenttää, jonka ääretön lanka luo pisteeseen, jonka virta on annettu käyrän C avaruudessa. Biot-Savart-Laplacen lain mukaan langan virtaelementti sädevektorin antamana luo alkeisarvon . kenttä kohdassa . ${\vec {p}}=(x_{0};y_{0};z_{0})$ ${\vec {r))$ ${\vec p}$ $\mathrm {d} {\vec {B}}({\vec {p}})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I[\mathrm {d} { \vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}} }$

Magneettikentän kokonaisinduktio pisteessä saadaan integroimalla alkuainekenttä koko käyrälle C virran suunnassa: ${\vec p}$

${\vec {B))({\vec {p)))={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {I [\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r} }|^{3}}}$

On heti huomattava, että tuloksena oleva integraali ei kuulu mihinkään kahdesta kaarevasta integraalityypistä . Kuten näet, se määrittää vektorisuureen, kun taas mikä tahansa kaareva integraali on skalaarisuure. Mutta oletetaan, että se voidaan silti jollain tavalla laskea (esimerkiksi integroimalla erikseen jokainen vektorin komponentti). Sitten löydämme saadun induktiovektorin kiertokulkua pitkin jotakin suljettua piiriä Г, joka käsittää johdon virralla.

Määritelmän mukaan vektorifunktion kierto on tämän funktion toisen lajin kaareva integraali suljettua ääriviivaa pitkin positiivisessa suunnassa tämän käyrän ympärillä. Käsitellään normaalin positiivista suuntaa ääriviivan levittämälle pinnalle suunnaksi, joka muodostaa terävän kulman z-akselin kanssa. Sitten ääriviivan ohituksen positiivinen suunta määräytyy kiinnikkeen (oikea ruuvi) säännöllä suhteessa positiiviseen normaaliin. Positiivisena pidetään myös virtaa, joka kulkee virtaa ympäröivän piirin positiivisen normaalin suuntaan.

Levikki näyttää tältä:

$\Gamma =\oint _{\Gamma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=\oint _{\Gamma }{\mu _{0}I \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec { r)))]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$

Voidaan nähdä, että integraalien etumerkkien alle ilmestyi sekatulo vektoreista , jotka vinosymmetrian ominaisuuden perusteella voidaan kirjoittaa seuraavasti: $[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}} =(\mathrm {d} {\vec {p)),\mathrm {d} {\vec {r)),({\vec {p))-{\vec {r))))$

$[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}} =(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))=(({ \vec {p}}-{\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}})=[\mathrm {d} { \vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]\cdot ({\vec {p}}-{\vec {r}})$

Sitten levikki saa muotoa:

$\Gamma ={\mu _{0}I \yli 4\pi }\oint _{\Gamma }\int \limits _{\mathbb {C} }({\vec {p))-{\ vec {r)))\cdot {\frac {[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]}{|{\vec {p}} -{\vec {r}}|^{3}}}$

Sinun on kiinnitettävä huomiota siihen, mikä ristitulo on : sen arvo on yhtä suuri kuin näille vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, ja suunta on kohtisuorassa tähän suunnikkaan nähden. Sitten tätä vektorituloa voidaan pitää pinnan alkeisvektorialueena, jonka vektori pyyhkäisee kaksinkertaisen kaarevan integroinnin aikana, ja kulma ja välillä ja , kuten näet, on akuutti. Tämä pinta on sylinterimäinen pinta, joka sulkee sisäänsä johdon virralla ja sen poikkileikkaus on kiertosilmukka Г. Tällöin kaksoiskaareva integraali voidaan korvata toisen tyyppisellä pintaintegraalilla tämän pinnan yli. $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ $\mathrm {d} {\vec {S}}=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $\mathrm {d} {\vec {S}}$

Sitten levikki saa muotoa:

$\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }\int \!\!\!\int _{S}({\vec {p}}-{\vec {r}} )\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {S}}}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$

Jos tarkastellaan integrointipintaa supistuvana pintana, on helppo nähdä, että pintaintegraali on tietyn pinnan avaruuskulma. Integrointipinta voidaan ehdollisesti katsoa sulkeutuneeksi äärettömässä. Ja sitten, koska vektori integroinnin aikana on aina pinnan sisällä, avaruuskulma on täysi, eli yhtä suuri kuin steradiaanit. Ja sitten kierto on . $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $4\pi$ $\Gamma ={\mu _{0}I \yli 4\pi }4\pi =\mu _{0}I$

Jos ääriviiva Г ei peittäisi lankaa, niin integroinnin aikana oleva vektori ei koskaan olisi kokonaan integrointipinnan sisällä. Tässä tapauksessa avaruuskulma olisi yhtä suuri kuin nolla, samoin kuin kenttäkierto: . $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $\Gamma =0$

Kaksi viimeistä avaruuskulmaa koskevaa väitettä ovat olennaisesti Gaussin lauseen sisältö varausintensiteettivektorin virtauksesta mielivaltaisen suljetun pinnan läpi ja ne voidaan todistaa itsenäisesti.

Jos virta kulkisi vastakkaiseen suuntaan, vektorien ja välinen kulma olisi jo tylppä (normaali suuntautuisi pinnan sisään), ja kierto vaihtaisi etumerkkinsä päinvastaiseksi, mikä vastaa virran virtausta samaan suuntaan, mutta negatiivisella voimalla. $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$

Kun kyseessä on useiden johtimien muodostama kenttä virralla, on muistettava magneettikentän superpositio-ominaisuus ja kaarevan integraalin additiivisuusominaisuus: vektorien superpositiokierto on yhtä suuri kuin kiertojen skalaarisumma. näistä vektoreista.

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Sivukhin D.V. Yleinen fysiikan kurssi. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Sähkö. - S. 235. - 688 s.
↑ Annettu tässä Gaussin yksiköissä ; SI - järjestelmässä oikeanpuoleinen vakio kirjoitetaan sen sijaan muodossa . ${\frac {4\pi }{c}}$ $\mu_{0}$
↑ tässä ja alla käytetään CGS -järjestelmää , SI -järjestelmässä ei ole kertoimia
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Sähkö. - S. 239. - 688 s.
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Sähkö. - S. 241. - 688 s.
↑ Sivukhin D.V. Fysiikan yleinen kurssi. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Sähkö. - S. 253. - 688 s.
↑ Käytännössä kirjoitettaessa yhtälöitä välineelle, virtojen indeksi f jätetään yleensä pois, se kirjoitetaan yksinkertaisesti . Usein ei myöskään tehdä varauksia, että nämä ovat juuri "vapaita" virtoja. Tällaisessa fenomenologisessa teoriassa muita virtoja ei eksplisiittisesti oteta huomioon, vaikka todellisuudessa on (fyysisesti) kytkettyjä virtoja, tietenkin, ne ovat yksinkertaisesti "piilotettuja" muihin määriin - jne. ja ne jätetään muodollisesti huomioimatta. $\vec j$ ${\vec I},{\vec H}$
↑ Koska tämä yleistys perustuu Amperen magneettikentän kiertoa ja varauksen säilymistä koskevan lauseen magnetostaattisen version oikeellisuuteen (joka voidaan ottaa postulaattina), ja yleisen yhtälön vastaavuus näihin kahteen premissioon voidaan osoittaa. varsin tiukasti, ja kun tietyt lisäehdot asetetaan, tällaisen yleistyksen ainutlaatuisuus, se voidaan periaatteessa myös muotoilla lauseena.
↑ Gaussin yksikköjärjestelmässä.
↑ Päätekstissä - Gaussin yksikköjärjestelmässä. SI:ssä se menee näin: $\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\ int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.$