Drude teoria

Druden teoria on klassinen kuvaus elektronien liikkeestä metalleissa . Tämän teorian ehdotti saksalainen fyysikko Paul Drude 3 vuotta sen jälkeen, kun elektroni löydettiin hiukkasena - vuonna 1900 . Se erottuu yksinkertaisuudesta ja selkeydestä, se selittää hyvin Hall-ilmiön , ominaisjohtavuuden tasa- ja vaihtovirrassa sekä metallien lämmönjohtavuuden , ja siksi se on edelleen ajankohtainen. Voidaan käyttää useille mediatyypeille, mukaan lukien avaruudellisesti erotetut kerrokset, kuten Coulomb-vedossa .

Perusoletukset

Metallin elektroneja käsitellään elektronikaasuna, johon voidaan soveltaa kaasujen kineettistä teoriaa . Uskotaan, että elektronit, kuten kineettisessä teoriassa kaasuatomit, ovat identtisiä kiinteitä palloja, jotka liikkuvat suoria linjoja, kunnes ne törmäävät toisiinsa. Oletetaan, että yksittäisen törmäyksen kesto on mitätön ja että molekyylien välillä ei vaikuta muita voimia, paitsi ne, jotka syntyvät törmäyshetkellä. Koska elektroni on negatiivisesti varautunut hiukkanen, sähköisen neutraaliuden ehdon täyttämiseksi kiinteässä aineessa täytyy olla myös erilaisia - positiivisesti varautuneita - hiukkasia. Drude ehdotti, että kompensoiva positiivinen varaus kuuluu paljon raskaammille hiukkasille (ioneille), joita hän piti liikkumattomina. Druden aikana ei ollut selvää, miksi metallissa on vapaita elektroneja ja positiivisesti varautuneita ioneja ja mitä nämä ionit ovat. Vain kiinteiden aineiden kvanttiteoria voi antaa vastauksen näihin kysymyksiin. Monien aineiden kohdalla voidaan kuitenkin yksinkertaisesti olettaa, että elektronikaasu koostuu ytimeen heikosti sitoutuneista ulkoisista valenssielektroneista, jotka "vapautuvat" metallissa ja saavat mahdollisuuden liikkua vapaasti metallin läpi, kun taas atomiytimet sisäkuorten (atomiytimet) elektronit pysyvät muuttumattomina ja toimivat Druden teorian kiinteinä positiivisina ioneina.

Huolimatta siitä, että johtavuuselektronien kaasun tiheys on noin 1000 kertaa suurempi kuin klassisen kaasun tiheys normaalilämpötilassa ja paineessa, ja huolimatta siitä, että Drude-mallissa on voimakkaita elektroni-elektroni- ja elektroni-ionivuorovaikutuksia, menetelmät neutraalien jalostettujen kaasujen kineettinen teoria.

Drude-teorian perusoletukset.

Törmäysten välisessä aikavälissä elektronin vuorovaikutusta muiden elektronien ja ionien kanssa ei oteta huomioon. Toisin sanoen oletetaan, että ulkoisten sähkömagneettisten kenttien puuttuessa jokainen elektroni liikkuu tasaisella nopeudella suoraviivaisesti. Lisäksi uskotaan, että ulkoisten kenttien läsnä ollessa elektroni liikkuu Newtonin lakien mukaisesti; tässä tapauksessa vain näiden kenttien vaikutus huomioidaan muiden elektronien ja ionien tuottamat monimutkaiset lisäkentät. Approksimaatio, joka jättää huomiotta elektroni-elektroni-vuorovaikutuksen törmäysten välillä, tunnetaan itsenäisenä elektroniapproksimaationa. Vastaavasti approksimaatiota, jossa elektroni-ioni-vuorovaikutus jätetään huomiotta, kutsutaan vapaiden elektronien approksimaatioksi.
Druden mallissa, kuten kineettisessä teoriassa, törmäykset ovat välittömiä tapahtumia, jotka muuttavat yhtäkkiä elektronin nopeutta. Drude liitti ne siihen tosiasiaan, että elektronit pomppivat pois ionien läpäisemättömistä ytimistä (eikä katsonut niitä elektroni-elektroni törmäyksiksi analogisesti tavallisen kaasun hallitsevan törmäysmekanismin kanssa).
Oletetaan, että elektronin aikayksikköä kohti tapahtuu törmäys (eli äkillinen nopeuden muutos) todennäköisyydellä . Tämä tarkoittaa, että elektronin todennäköisyys kokea törmäys äärettömän pienellä aikavälillä on yksinkertaisesti . Aikaa kutsutaan rentoutumisajaksi tai vapaan polun ajaksi; sillä on keskeinen rooli metallien johtavuusteoriassa. Tästä oletuksesta seuraa, että tällä hetkellä sattumanvaraisesti valittu elektroni liikkuu keskimäärin seuraavan törmäystään edeltävänä aikana ja on jo liikkunut keskimäärin edellisestä törmäyksestä kuluneen ajan kuluessa. Yksinkertaisimmissa sovelluksissa Drude-mallit katsovat, että relaksaatioaika ei riipu elektronin tilapaikasta ja sen nopeudesta. ${1 \over \tau }$ $dt$ ${dt\over\tau}$ $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau$
Oletetaan, että elektronit pääsevät lämpötasapainoon ympäristönsä kanssa yksinomaan törmäysten seurauksena. Törmäysten uskotaan ylläpitävän paikallista termodynaamista tasapainoa äärimmäisen yksinkertaisella tavalla: elektronin nopeus välittömästi törmäyksen jälkeen ei ole suhteessa sen nopeuteen ennen törmäystä, vaan se on suunnattu satunnaisesti ja sen arvo vastaa alueella vallitsevaa lämpötilaa. missä törmäys tapahtui. Siksi mitä kuumempi alue, jossa törmäys tapahtuu, sitä suurempi on elektronin nopeus törmäyksen jälkeen.

Druden kaava

Boltzmannin kineettinen yhtälö relaksaatioajan approksimaatiossa johtaa Druden kaavaan elektronikaasun johtavuudelle:

{\displaystyle \sigma ={\frac {ne_{0}^{2}\tau }{m^{*))))

$\sigma$ - sähkönjohtavuus
$n$ on elektronipitoisuus _
$e_{0}$ - peruslataus
$\tau$ - liikemäärän rentoutumisaika (aika, jonka aikana elektroni " unohtaa " mihin suuntaan se liikkui)
$m^{{*}}$ on elektronin tehollinen massa

Alla on tämän lausekkeen johtaminen klassiseen tapaukseen ottamatta huomioon todellista sirontapotentiaalia. Tätä kaavaa voidaan soveltaa myös puolijohteiden elektroneihin ja reikäkaasuihin (kaava voidaan kirjoittaa eri muodossa degeneroituneelle elektronille tai reikäkaasulle , missä on elektronien tai reikien diffuusiokerroin ja elektronien tai aukkojen tilojen tiheys , ja kaikki fysikaaliset suureet otetaan Fermin pinnalta ). Tilatiheydet kaksiulotteisessa johtimessa $\sigma =e_{0}^{2}Dg$ $D$ $g$

g=g_{s}g_{v}{\frac {m^{*}}{2\pi \hbar ^{2}}}

missä g s on spin-degeneraatio, g v on laakson degeneraatio, m * on tehollinen massa eikä se riipu energiasta. g s = 2 ja laakson rappeuma GaAs:lle g v = 1.

Virtakantoaaltoille, joilla on parabolinen dispersiolaki (energia mitataan johtavuuskaistan alaosasta)

E_{F}={\frac {mv_{F}^{2}}{2}}

missä ν F on kantonopeus Fermi-tasolla ja g = n / E F , voidaan saada Druden lauseke kaksiulotteiselle elektronikaasulle

\sigma =e_{0}^{2}D{\frac {n}{E_{F}}}={\frac {2e_{0}^{2}nD}{m^{*}v_ {F}^{2}}}={\frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}{\frac {2D}{v_{F}^{2}}}={ \frac {ne_{0}^{2}}{m^{*}}}\tau

jossa viimeinen yhtälö seuraa elektronikaasun degeneraatiotilasta ja diffuusiokertoimen määritelmästä.

Jotkut kaavat

elektronin kiihtyvyys kahden törmäyksen välillä Newtonin toisesta laista :

{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=-{\frac {e_{0}}{m}}\cdot {\vec E}

keskimääräinen elektronin nopeus :

{\overline {v}}=v_{d}=-{\frac {e_{0}\cdot E}{2m}}\cdot {\tau }

On kuitenkin pidettävä mielessä, että elektronin hetkellinen nopeus metallissa voi olla suuri ja sen määrää Fermi-taso .

virrantiheys :

{\vec j}=-n\cdot e_{0}\cdot {\vec v}_{d}

Ohmin laki :

{\vec {j}}={\frac {n\cdot e_{0}^{2}\cdot \tau }{2m}}\cdot {\vec {E}}=\sigma \cdot { \vec {E}}

latauslaitteen liikkuvuus :

\mu ={\frac {|{\vec {v}}_{d}|}{|{\vec {E}}|}}={\frac {e_{0}\cdot \tau } {2m}}

elektronin lämpöenergia :

W_{{th}}=3{\frac {kT}{2}}

Soveltamisrajat

Tämän teorian haittoja ovat se, että tämä teoria on fenomenologinen ja käyttää rentoutumisaikaa, joka täytyy saada kokeesta tai syvemmästä teoriasta. Myös Boltzmannin kineettisen yhtälön käyttö relaksaatioajan approksimaatiossa rajoittaa tämän teorian sovellettavuutta virrankantoaaltojen diskreetin spektrin alueella, eli sitä voidaan soveltaa vain puoliklassisessa approksimaatiossa ja vahvoissa magneettikentissä (aikana Landau-tasojen muodostuminen ) tai pienellä määrällä moodeja ( vastuskvantisointi ) ei pysty kuvaamaan riittävästi fysikaalisia ilmiöitä. Myös kvanttivaikutusten makroskooppisessa ilmenemismuodossa, kuten suprajohtavuusilmiössä . Jopa heikoissa magneettikentissä Druden teoria voi menettää soveltuvuuden johtuen ilmiöistä, joita esiintyy vain interferenssiin liittyvässä kvanttimekaniikassa, esimerkiksi heikko lokalisaatio , Aharonov-Bohm-ilmiö , yleiset konduktanssin vaihtelut . Lisäksi jopa vahva lokalisaatio (vahva häiriö), perkolaatioteoria (alhainen kantoaaltotiheys), hyppivä johtuminen ja ballistinen kuljetus eivät kuulu tämän teorian piiriin.

Kirjallisuus

N. Ashcroft, N. Mermin. Kiinteän olomuodon fysiikka: kahdessa osassa / M.I. Kaganov. - M .: Mir, 1979.