Morsen teoria

Morse-teoria on Marston Morsen 1920-1930-luvuilla kehittämä matemaattinen teoria , joka yhdistää monistojen algebrallis-topologiset ominaisuudet ja sen tasaisten funktioiden käyttäytymisen kriittisissä pisteissä .

Yksi historiallisesti ensimmäisistä differentiaalitopologian menetelmien sovelluksista analyysissä . Morse kutsui teoriaa "variation calculus in large" ( englanniksi variation calculus in large ), kun taas 1960-luvulta lähtien, kun tulokset yleistettiin äärettömän ulottuvuuden monistoon, Morse-teoriaa alettiin pitää globaalin analyysin alaosastona . jakotukit [1] . Raoul Botin teoksissa 1950-luvun jälkipuoliskolla Morse-teorian menetelmiä sovellettiin puolestaan puhtaasti topologisiin ongelmiin, ja saadut tulokset (ensisijaisesti jaksollisuuslause ) toimivat suurelta osin itsenäisen perustana. matematiikan osa - K-teoria .

Morse-teoriassa erotetaan kolme pääasiallista peräkkäin kehitettyä aluetta: klassinen teoria kriittisistä pisteistä tasaisessa monistossa , Morse-teoria geodetiikkaa varten Riemannin monistimessa , joka oli klassisen teorian rakenteita sovellus, ja Morse-teoria. teoria Banachin monimuotoisista , joka luonnollisesti laajentaa geodesiikan teoriaa ja on klassisen teorian suora yleistys [2] .

Kriittisten pisteiden teoria tasaisella monistimella

Keskeinen tulos kriittisten pisteiden teoriasta tasaisessa monistossa on Morsen lemma , joka kuvaa todellisen funktion käyttäytymistä monistossa ei-degeneroituneessa kriittisessä pisteessä : lemman mukaan on olemassa kartta naapurustolle , joka on sellainen, että Kaikille ja kaiken kaikkiaan meillä on: $f:M\to \mathbb{R}$ $b\in M$ $(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n})$ $U\nb$ $x_{i}(b)=0$ $i$ $U$

f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{{\alpha }}^{2}+x_{{\alpha +1}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

(Tässä indeksi pisteessä .) Lemman yleistys Hilbert-avaruuksiin on Morse-Pale-lemma . $\alpha$ $f$ $b$

Toinen tärkeä tulos liittyy Morse-muunnoksen soveltamiseen : jos joukko on kompakti, ei leikkaa moniston rajaa ja sisältää täsmälleen yhden kriittisen pisteen, jolla on Morse-indeksi , niin se on diffeomorfinen liimaamalla saadulle monistolle. indeksin kahva . $f^{{-1}}([a,b])$ $M$ $k$ $f^{{-1}}(b)$ $f^{{-1}}(a)$ $k$

Jokainen Morse -funktio tasaisessa jakosarjassa ilman rajaa (niin että kaikki joukot ovat kompakteja) vastaa CW-kompleksia , joka homotooppisesti vastaa monistoa, jonka solut vastaavat yksitellen funktion kriittisiä pisteitä ja solu on yhtä suuri kuin vastaavan kriittisen pisteen Morse-indeksi . Tämän tuloksen tärkeitä seurauksia ovat Morsen epätasa -arvo . Tämä tulos tarjoaa myös tehokkaan työkalun monisarjojen topologian tutkimiseen, eikä vain indeksit ole tärkeitä, vaan myös kriittisten pisteiden lukumäärä. Jos esimerkiksi Morse-funktio annetaan suljetulle jakosarjalle , jolla on täsmälleen kriittiset pisteet (jonka indeksit ovat tuntemattomia), niin: $f$ $M$ $f^{{-1}}(a)$ $M$ $f$ $f:M\to R$ $m$

tapaus on mahdoton morsen epätasa-arvon mukaan; $m = 1$
tapauksessa : Reebin pallolause sanoo, että se on homeomorfinen (mutta yleisesti ottaen ei diffeomorfinen ) pallolle ; $m = 2$ $M$ $S^{n}$
tapaus on mahdollista vain joissakin pienissä mitoissa, samalla kun se on homeomorfinen Eales-Kuiper- sarjan kanssa . $m = 3$ $M$

Muistiinpanot

↑ Smale S. Mikä on globaali analyysi? (englanti) // American Mathematical Monthly. - 1969. - Voi. 76 , nro. 1 . - s. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
↑ Morse-teoria - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . M. M. Postnikov , Yu. B. Rudyak

Kirjallisuus

Milnor, J. Morsen teoria / Per. englannista. V. I. Arnold . - 1965. - 184 s.
V. A. Sharafutdinov. Luennot. Luku 3: Morse-teorian perusteet