Bifurkaatioteoria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Dynaamisten järjestelmien bifurkaatioteoria on teoria, joka tutkii vaiheavaruuden osion kvalitatiivisen kuvan muutoksia parametrin (tai useamman parametrin) muutoksesta riippuen.

Yleiskatsaus

Bifurkaatio on laadullinen muutos dynaamisen järjestelmän käyttäytymisessä ja sen parametrien äärettömän pieni muutos.

Bifurkaatioteorian keskeinen käsite on (ei)karkean järjestelmän käsite (katso alla). Mikä tahansa dynaaminen järjestelmä otetaan ja sellainen (moni)parametrinen dynaamisten järjestelmien perhe katsotaan, että alkuperäinen järjestelmä saadaan erikoistapauksena — mille tahansa parametrin arvolle. Jos parametrien arvolla, joka on riittävän lähellä annettua, säilyy laadullinen kuva vaiheavaruuden jakamisesta liikeradoihin, niin tällaista järjestelmää kutsutaan karkeaksi . Muuten, jos tällaista naapurustoa ei ole, järjestelmää kutsutaan ei- karkeaksi .

Tässä tarkoitamme ennen kaikkea hedelmällistä fyysistä ja matemaattista ideaa A.A. Andronov karkeista järjestelmistä, jonka hän on kehittänyt L.S. Pontryaginin osallistuessa . Karkea järjestelmä on sellainen, jonka liikkeen laadullinen luonne ei muutu riittävän pienellä parametrien muutoksella. Konservatiiviset järjestelmät eivät ole karkeita: ihanteellisen kitkattoman heilurin värähtelyt ovat jaksollisia (eivät heikkene); mutta mielivaltaisen pienen kitkan läsnäollessa ei ole jaksollisuutta. Kaikilla vaimentamattomien värähtelyjen generaattoreilla on tunnusomaisia ominaisuuksia, jotka eivät säily konservatiivisessa idealisoinnissa, mutta joita "karkean järjestelmän" käsite edustaa oikein.Gorelik, 1955 [1]

Näin ollen parametriavaruudessa esiintyy karkeiden järjestelmien alueita, jotka erotetaan toisistaan ei-karkeista järjestelmistä koostuvilla pinnoilla. Bifurkaatioteoria tutkii kvalitatiivisen kuvan riippuvuutta parametrin muuttuessa jatkuvasti tiettyä käyrää pitkin. Kaavaa, jonka mukaan kvalitatiivinen kuva muuttuu, kutsutaan bifurkaatiokaavioksi .

Bifurkaatioteorian päämenetelmät ovat häiriöteorian menetelmät. Erityisesti käytetään pienten parametrien menetelmää (Pontryagin).

Tasapainojen bifurkaatio

Mekaanisissa järjestelmissä vakaan tilan liikkeet ( tasapainoasemat tai suhteellinen tasapaino ) riippuvat yleensä parametreista . Parametrien arvoja, joilla havaitaan tasapainojen lukumäärän muutos, kutsutaan niiden bifurkaatioarvoiksi . Käyriä tai pintoja, jotka kuvaavat tasapainojoukkoja tilojen ja parametrien avaruudessa, kutsutaan bifurkaatiokäyriksi tai bifurkaatiopinnoiksi . Parametrin kulkemiseen bifurkaatioarvon kautta liittyy pääsääntöisesti tasapainojen stabiilisuusominaisuuksien muutos. Tasapainojen haaroittumiseen voi liittyä jaksoittaisia ja muita, monimutkaisempia liikkeitä.

Peruskäsitteet

Parametria, jonka muutos johtaa bifurkaatioon, kutsutaan kriittiseksi parametriksi (haaroittumisparametri) ja tämän parametrin arvoa, jossa haarautuminen tapahtuu, kutsutaan kriittiseksi arvoksi .

Parametrisen avaruuden pistettä (tila, jossa jokainen piste vastaa järjestelmän tiettyä tilaa ja tämän pisteen sijainti määräytyy parametrien ja tilamuuttujien arvojen perusteella), jossa haaroittuminen tapahtuu, kutsutaan bifurkaatiopisteeksi. . Bifurkaatiopisteestä voi tulla useita ratkaisuja (stabiileja ja epävakaita). Kun kriittinen parametri heilahtelee (värähtelee) kriittisen pisteen ympärillä, syntyy ratkaisun ominaisuuksien hystereesi (epäselvyys).

Bifurkaatiopistettä, josta kaikki lähtevät ratkaisut ovat vakaita, kutsutaan vetopisteeksi (tai houkuttelijaksi ).

Ratkaisun minkä tahansa ominaisuuden esittämistä kriittisen parametrin funktiona kutsutaan bifurkaatiokaavioksi .

Pienintä parametrien lukumäärää, jossa haaroittuminen tapahtuu, kutsutaan haarautuman koodiulottuvuudeksi .

Superkriittinen (normaali, ylikriittinen) on haaroittuminen, jossa järjestelmä muuttuu ilman hyppyä.

Alikriittinen (käänteinen) bifurkaatio on sellainen, jossa järjestelmän muutos tapahtuu äkillisesti.

Bifurkaatioiden sarjaa, joka muuttaa laadullisesti järjestelmän ominaisuuksia, kutsutaan skenaarioksi .

Katso viitteet [2] [3] [4] [5] .

Satula-solmukkeen haarautuminen

Esimerkkiä satula-solmun bifurkaatiosta voidaan harkita differentiaaliyhtälön kuvaaman järjestelmän perusteella:

${\frac {dx}{dt}}=\lambda -{x^{2}}$

missä on muuttujaparametri [6] . Yhtälön tasapainoratkaisut on määritelty vain ; tasapainotilat puuttuvat . Arvo on kaksisuuntainen. Kuvassa on vastaava bifurkaatiokaavio. Kuten kuvasta voidaan nähdä, kaksi tasapainotilojen haaraa nousee haaroittumispisteestä, joista toinen on stabiili ja toinen epästabiili. Vaihtelemalla parametria nousevien arvojen suuntaan "ei tyhjästä", syntyy kaksi tasapainotilaa, joista toinen on vakaa. Tällaisia haarautumia kutsutaan "satulasolmuksi". $\lambda$ $x_{\rm {{1}{\rm {,2}}}}^{\rm {}}=\pm {\sqrt {\lambda }}$ $\lambda \geq 0$ $\lambda < 0$ $\lambda=0$ $(x=0,\;\lambda =0)$

Katso myös

Kirjallisuus

↑ Gorelik G S , Aizerman M A. Johdanto ("A Andronovin elämä ja teokset" ja) // Aleksanteri Aleksandrovitš Andronovin muistoksi / Toim. Leontovich, M.A. ja muut... - M . : Toim. Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1955. - S. 3-19. — 718 s.
↑ Chetaev N. G. Liikkeen vakaus. - M .: Nauka, 1955.
↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Dynaamisten järjestelmien bifurkaatioiden teoria tasossa. - M . : Nauka, 1967.
↑ Bautin N. N. , Leontovich E. A. Menetelmät ja tekniikat dynaamisten järjestelmien kvalitatiiviseen tutkimukseen tasossa. - M . : Tiede. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1990. - 488 s. — (Matemaattinen viitekirjasto).
↑ Berger P. , Pomo I. , Vidal K. Järjestys kaaoksessa. Turbulenssin deterministisesta lähestymistavasta: Per. ranskasta - M . : Mir, 1991. - 368 s. — ISBN 5-03-001804-2 .
↑ Dynaamisten järjestelmien haarautumiset - Digitaalinen . digiratory.ru. Käyttöönottopäivä: 11.1.2017. (määrätön)

Linkit

Bifurkaatiot (video)