Napoleonin pisteet

Napoleonin pisteet geometriassa ovat erikoispisteiden pari kolmion tasossa . Legenda kertoo näiden pisteiden löytämisen Ranskan keisarin Napoleon I :n syyksi, mutta hänen kirjoittajansa on kyseenalainen [1] . Napoleonin pisteet ovat kolmion merkittäviä pisteitä, ja ne on lueteltu Encyclopedia of Triangle Centers -tietosanakirjassa pisteinä X(17) ja X(18).

Nimeä "Napoleon-pisteet" käytetään myös useisiin kolmion keskipisteiden pareihin, jotka tunnetaan paremmin isodynaamisina pisteinä [2] .

Pisteiden määrittäminen

Napoleonin ensimmäinen kohta

Olkoon ABC mikä tahansa kolmio tasossa . Kolmion sivuille BC , CA , AB rakennetaan ulommat säännölliset kolmiot DBC , ECA ja FAB . Olkoon näiden kolmioiden painopisteet X , Y ja Z vastaavasti. Tällöin suorat AX , BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste N1 on kolmion ABC ensimmäinen (tai ulompi) Napoleon-piste .

Kolmiota XYZ kutsutaan kolmion ABC ulommaksi Napoleonin kolmioksi . Napoleonin lause sanoo, että tämä kolmio on säännöllinen .

Encyclopedia of Triangle Centers -tietosanakirjassa Napoleonin ensimmäinen piste on nimetty X(17). [3]

Pisteen N1 kolmiviivaiset koordinaatit :

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),\csc \left(B+{\frac {\pi }{6} }\oikea),\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A-{\frac {\pi }{) 3}}\oikea),\sec \left(B-{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C-{\frac {\pi }{3}}\right) \oikea)\end{tasattu}}

Pisteen N1 barysentriset koordinaatit :

\left(a\csc \left(A+{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B+{\frac {\pi }{6}}\right), c\csc \left(C+{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Napoleonin toinen kohta

Olkoon ABC mikä tahansa kolmio tasossa . Kolmion sivuille BC , CA , AB rakennetaan sisäiset tasasivuiset kolmiot DBC , ECA ja FAB . Olkoot X , Y ja Z näiden kolmioiden painopisteet , vastaavasti. Sitten suorat AX , BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä, ja tämä piste N2 on kolmion ABC toinen (tai sisäinen) Napoleonin piste .

Kolmiota XYZ kutsutaan kolmion ABC Napoleonin sisäkolmioksi . Napoleonin lause sanoo, että tämä kolmio on säännöllinen .

Encyclopedia of Triangle Centers -tietosanakirjassa Napoleonin toinen piste on merkitty X(18). [3]

Pisteen N2 kolmiviivaiset koordinaatit:

{\begin{aligned}&\left(\csc \left(A-{\frac {\pi }{6))\right),\csc \left(B-{\frac {\pi }{ 6}}\oikea),\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)\\&=\left(\sec \left(A+{\frac {\pi) }{3}}\oikea),\sec \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right),\sec \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right) \oikea)\end{tasattu}}

Pisteen N2 barysentriset koordinaatit:

\left(a\csc \left(A-{\frac {\pi }{6}}\right),b\csc \left(B-{\frac {\pi }{6}}\right ),c\csc \left(C-{\frac {\pi }{6}}\right)\right)

Kaksi pistettä, jotka liittyvät läheisesti Napoleonin pisteisiin, ovat Fermatin pisteet (X13 ja X14 Encyclopedia of Pointsissa). Jos tasasivuisten kolmioiden sentroideja vastaaviin pisteisiin yhdistävien linjojen sijaan piirretään viivoja, jotka yhdistävät tasasivuisten kolmioiden kärjet alkuperäisen kolmion vastaaviin kärkipisteisiin, kolme tällä tavalla muodostettua suoraa leikkaavat yhdessä pisteessä. Leikkauspisteitä kutsutaan Fermat'n pisteiksi ja niitä merkitään F1 ja F2. Fermat-viivan (eli kaksi Fermat-pistettä yhdistävän suoran) ja Napoleon-viivan (eli kaksi Napoleon-pistettä yhdistävän suoran) leikkauspiste on kolmion symmediaani (piste X6 Keskusten tietosanakirjassa).

Ominaisuudet

Kiepert-hyperboli on rajattu hyperboli, joka kulkee sentroidin ja ortosentin läpi . Jos rakennamme samanlaisia tasakylkisiä kolmioita kolmion sivuille (ulos- tai sisäänpäin) ja yhdistämme sitten niiden kärjet alkuperäisen kolmion vastakkaisiin pisteisiin, niin kolme tällaista suoraa leikkaavat yhdessä pisteessä Kiepertin hyperbelin päällä. Erityisesti tässä hyperbolissa sijaitsevat Torricelli-pisteet ja Napoleon-pisteet (Cevian-leikkauspisteet, jotka yhdistävät kärjet vastakkaisille puolille rakennettujen säännöllisten kolmioiden keskusten kanssa) [4] .

Yleistykset

Tulos Napoleon-pisteiden olemassaolosta voidaan yleistää monin eri tavoin. Napoleon-pisteitä määritettäessä käytimme kolmion ABC sivuille rakennettuja tasasivuisia kolmioita ja valitsimme sitten näiden kolmioiden X-, Y- ja Z-keskipisteet. Näitä keskipisteitä voidaan pitää kolmion ABC sivuille rakennettujen tasakylkisten kolmioiden kärkipisteinä, joiden kantakulma on π/6 (30 astetta). Yleistykset huomioivat muut kolmiot, joilla kolmion ABC sivuille rakennettuina on samanlaiset ominaisuudet, eli suorat, jotka yhdistävät muodostettujen kolmioiden kärjet alkuperäisen kolmion vastaaviin pisteisiin, leikkaavat yhdessä pisteessä.

Tasakylkiset kolmiot

Tämä yleistys sanoo: [5]

Jos kolme kolmiota XBC, YCA ja ZAB on rakennettu kolmion ABC sivuille, ne ovat samankaltaisia , tasakylkisiä , joiden kantat ovat alkuperäisen kolmion sivuilla ja sijaitsevat samalla tasolla (eli ne kaikki on rakennettu ulkopuolelta, tai kaikki ovat rakennettu sisältä), sitten suorat AX, BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä N.

Jos yhteinen kulma pohjassa on , Sitten kolmen kolmion kärkipisteillä on seuraavat kolmiviivaiset koordinaatit. $\theta$

$X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Pisteen N kolmiviivaiset koordinaatit

(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))

Useita erikoistapauksia.

Merkitys $\theta$	Piste $N$
0	G, kolmion ABC keskipiste (X2)
π /2 (tai - π /2)	O, kolmion ABC (X4) ortokeskiö
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$ [6]	Spieker Center (X10)
π /4	Vecten-pisteet (X485)
— π/4	Vecten-pisteet (X486)
π /6	N1, Napoleonin ensimmäinen piste (X17)
- π /6	N2, toinen Napoleon-piste (X18)
π /3	F1, 1st Farm Point (X13)
- π /3	F2, toinen Fermat-piste (X14)
- A (jos A < π /2) π - A (jos A > π /2)	Vertex A
- B (jos B < π /2) π - B (jos B > π /2)	Pinnacle B
- C (jos C < π /2) π - C (jos C > π /2)	Vertex C

Lisäksi pisteiden N paikka, kun kulmaa muutetaan kolmioiden pohjalla välillä -π/2 ja π/2, on hyperbola $\theta$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0,

missä ovat kolmion pisteen N kolmiviivaiset koordinaatit . $x, y, z$

Historia

Tätä hyperbolia kutsutaan Kiepertin hyperboliksi (sen löysi saksalaisen matemaatikon Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepertin, 1846-1934 [5] kunniaksi ). Tämä hyperbola on ainoa kartioleikkaus, joka kulkee pisteiden A, B, C, G ja O kautta.

Huomautus

Spieker Centerillä on hyvin samanlainen omaisuus . Spiekerin keskipiste S on linjojen AX , BY ja CZ leikkauspiste , jossa kolmiot XBC , YCA ja ZAB ovat samankaltaisia, tasakylkisiä ja sijaitsevat samalla tasolla, rakennettu kolmion ABC sivuille ulkopuolelta, ja niiden pohjassa on sama kulma [ 6] . $\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$

Samankaltaiset kolmiot

Jotta kolme suoraa AX, BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä, kolmion ABC sivuille rakennettujen kolmioiden XBC, YCA ja ZAB ei tarvitse olla tasakylkisiä [7] .

Jos samanlaiset kolmiot XBC, AYC ja ABZ rakennetaan ulkopuolelta mielivaltaisen kolmion ABC sivuille, niin suorat AX, BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä.

Mielivaltaiset kolmiot

Suorat AX, BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä jopa heikoimmissa olosuhteissa. Seuraava ehto on yksi yleisimmistä ehdoista suorille AX, BY ja CZ leikkaamaan yhdessä pisteessä [7] .

Jos kolmiot XBC, YCA ja ZAB rakennetaan ulkopuolelta kolmion ABC sivuille siten, että ∠CBX = ∠ABZ, ∠ACY = ∠BCX, ∠BAZ = ∠CAY, sitten suorat AX, BY ja CZ leikkaavat yhdessä pisteessä.

Napoleonin pisteiden löytämisestä

Coxeter ja Greitzer muotoilevat Napoleonin lauseen seuraavasti: Jos tasasivuisia kolmioita rakennetaan ulkopuolelta minkä tahansa kolmion sivuille, niin niiden keskipisteet muodostavat tasasivuisen kolmion . He huomaavat, että Napoleon Bonaparte oli hieman matemaatikko ja kiinnostunut geometriasta, mutta he epäilevät, että hän oli tarpeeksi koulutettu geometriasta löytääkseen hänelle kuuluvan lauseen [1] .

Varhaisin säilynyt pisteinen julkaisu on artikkeli vuotuisessa "Naisten päiväkirjassa" (Naisten päiväkirja, 1704-1841) vuoden 1825 numerossa. Lause oli osa vastausta W. Resenfordin lähettämään kysymykseen, mutta tässä julkaisussa ei mainita Napoleonia.

Vuonna 1981 saksalainen matematiikan historioitsija Christoph J. Scriba julkaisi tutkimuksensa Napoleonin pisteiden antamisesta Historia Mathematica -lehdessä [8] .

Katso myös

Van Obelin lause
Point Farm
Vecten-pisteet ovat kolmion keskipisteiden pari, jotka on rakennettu samalla tavalla kuin Napoleon-pisteet käyttämällä neliöitä tasasivuisten kolmioiden sijasta.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967 , s. 61–64.
↑ Rigby, 1988 , s. 129-146.
↑ 1 2 Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers . Haettu: 2.5.2012. (määrätön)
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Eddy, Fritsch, 1994 , s. 188-205.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ 1 2 de Villiers, 2009 , s. 138-140.
↑ Scriba, 1981 , s. 458–459.

Kirjallisuus

JF Rigby . Napoleon vieraili uudelleen // Journal of Geometry. - 1988. - T. 33 , no. 1-2 . - S. 129-146 . - doi : 10.1007/BF01230612 .
Ludwig Kiepertin kartiot: Kattava oppitunti kolmion geometriasta // Mathematics Magazine. - 1994. - T. 67. kesäkuuta , no. 3 . - doi : 10.2307/2690610 .
Michael de Villiers. Joitakin seikkailuja euklidisessa geometriassa. - Dynamic Mathematics Learning, 2009. - ISBN 9780557102952 .
H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Geometry Revisited. - Mathematical Association of America, 1967. Kääntäjä G. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. - Moskova: "Nauka", 1978. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
Christoph J Scriba. Wie kommt "Napoleons Satz" zu seinem namen? // Historia Mathematica. - 1981. - T. 8 , no. 4 . - doi : 10.1016/0315-0860(81)90054-9 .
Stachel, Hellmuth. Napoleonin lause ja yleistykset lineaaristen karttojen avulla // Contributions to Algebra and Geometry : Journal. - 2002. - Voi. 43 , nro. 2 . - s. 433-444 .
Grünbaum, Branko . "Napoleonin lauseen" (uuspr.) sukulainen // Geombinatoriikka . - 2001. - T. 10 . - S. 116-121 .
Katrien Vandermeulen, et ai. Napoleon, matemaatikko? (linkki ei saatavilla) . Matematiikka Euroopalle. Haettu 25. huhtikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 30. elokuuta 2012. (määrätön)
Bogomolny, Aleksanteri Napoleonin lause . Leikkaa solmu! Interaktiivinen sarake, jossa käytetään Java-sovelmia. Käyttöönottopäivä: 25. huhtikuuta 2012. (määrätön)
Napoleon's Thm ja Napoleon Points (pääsemätön linkki) . Haettu 24. huhtikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 21. tammikuuta 2012. (määrätön)
Weisstein, Eric W. Napoleon Points . MathWorldistä – Wolfram-verkkoresurssi. Haettu: 24. huhtikuuta 2012. (määrätön)
Philip LaFleur Napoleonin lause . Haettu 24. huhtikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 7. syyskuuta 2012. (määrätön)
Wetzel, John E. Converses of Napoleon's Theorem (huhtikuu 1992). Haettu 24. huhtikuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 29. huhtikuuta 2014. (määrätön)