3d pallo

Kolmiulotteinen pallo ( kolmiulotteinen hypersfääri , joskus 3-pallo ) on neliulotteisessa avaruudessa oleva pallo . Koostuu joukosta pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä keskipisteestä neliulotteisessa euklidisessa avaruudessa . Aivan kuten kaksiulotteinen pallo, joka muodostaa pallon rajan kolmessa ulottuvuudessa, 3-pallolla on kolme ulottuvuutta ja se on neliulotteisen pallon raja.

Yhtälö

Karteesisissa koordinaateissa kolmiulotteinen sädepallo voidaan antaa yhtälöllä ${\näyttötyyli (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ $r$

(x_{0}-C_{0})^{2}+(x_{1}-C_{1})^{2}+(x_{2}-C_{2})^{2} +(x_{3}-C_{3})^{2}=r^{2}.

Kun otetaan huomioon monimutkainen avaruus todellisena , pallon yhtälöä voidaan pitää muodossa $\mathbb {C} ^{2}$ $\R^4$

S^{3}=\left\{(z_{1},z_{2})\in \mathbb {C} ^{2}:|z_{1}|^{2}+|z_{ 2}|^{2}=1\oikea\}.

Vastaavasti kvaternionavaruudessa : $\mathbb {H} ^{1}$

S^{3}=\left\{q\in \mathbb {H} :\|q\|=1\right\}.

Kolmiulotteisena moninaisena kolmiulotteinen pallo voidaan määritellä parametrisesti käyttämällä kolmea koordinaattia. Esimerkki on hyperpallon koordinaatit:

x_{0}=r\cos \psi ,

x_{1}=r\sin \psi \cos \theta ,

x_{2}=r\sin \psi \sin \theta \cos \phi ,

x_{3}=r\sin \psi \sin \theta \sin \phi .

Ominaisuudet

Kolmiulotteinen pallo on neliulotteisen pallon raja. $S^{3}$

Kolmiulotteinen pallo on kompakti yhdistetty kolmiulotteinen jakoputkisto . Kolmiulotteinen pallo on yksinkertaisesti yhdistetty , eli mikä tahansa siinä oleva suljettu käyrä voidaan jatkuvasti supistaa pisteeseen.

Kolmiulotteinen pallo on homeomorfinen kolmiulotteisen todellisen avaruuden yhden pisteen tiivistymiselle . $\mathbb {R} ^{3}$

Ryhmärakenne

Koska kolmiulotteinen pallo on joukko yksikkökvaternioneja, se perii ryhmärakenteen.

Siten pallo on valheryhmä . Dimensionaalisten sfäärien joukossa vain ja on tämä ominaisuus . $S^{3}$ $n$ $S^{1}$ $S^{3}$

Kvaternionien matriisiesitystä käyttämällä voidaan määritellä ryhmäesitys käyttämällä Pauli-matriiseja : $S^{3}$

x_{1}+x_{2}i+x_{3}j+x_{4}k\mapsto {\begin{pmatrix}\;\;\,x_{1}+ix_{2}&x_{ 3}+ix_{4}\\-x_{3}+ix_{4}&x_{1}-ix_{2}\end{pmatrix}}.

Siksi ryhmä on isomorfinen matriisi Lie -ryhmän kanssa . $S^{3}$ ${\mathrm {SU}}(2)$

Ryhmän U(1) toiminta ja Hopf-kuitu

Jos määrität ryhmätoiminnon : $U(1)$

(z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {U} (1) ,

silloin rata-avaruus on homeomorfinen kaksiulotteiselle pallolle . Tässä tapauksessa pallon päälle syntyy nippurakenne, jossa on pohja ja kerrokset, jotka ovat homeomorfisia eli ympyröitä . Tätä nippua kutsutaan Hopf-nipuksi . [yksi] $S^{2}$ $S^{3}$ $S^{2}$ $U(1)$ $S^{1}$

Hopf-nippu on esimerkki ei-triviaalista pääkimpusta. Koordinaateissa se annetaan kaavalla

p:(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1}:z_{2}).

Pallon piste ( z 1 , z 2 ) kartoitetaan kompleksisen projektitiivisen suoran CP 1 pisteeseen [ z 1 : z 2 ] , joka on diffeomorfinen kaksiulotteisen pallon kanssa . $S^{3}$ $S^{2}$

Pallon homotopiaryhmät

Sfäärin yksinkertainen liitettävyys tarkoittaa, että ensimmäinen homotopiaryhmä . Myös nolla on ryhmä . $\pi _{1}(S^{3})=\{0\}$ $\pi _{2}(S^{3})=\{0\}$

Muistiinpanot

↑ Postnikov M. M. Luennot algebrallisesta topologiasta, s. 20. - Moskova, Nauka, 1984.

Katso myös

Poincaren olettamus

Kirjallisuus

Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M. , 1989.

Linkit

Weisstein, Eric W. Hypersphere (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla . (eng.) Huomautus : Tässä artikkelissa käytetään vaihtoehtoisia nimitysmalleja palloille, joissa N - ulotteisessa avaruudessa olevaa palloa kutsutaan N - palloksi.