Schwinger-Tomonaga yhtälö

Schwinger-Tomonaga yhtälö , kvanttikenttäteoriassa , liikkeen perusyhtälö [1] , joka yleistää Schrödingerin yhtälön relativistiseen tapaukseen.

Relativistisessa tapauksessa aaltofunktio on esitettävä avaruuden kaltaisten hyperpintojen funktiona . Schwinger-Tomonaga yhtälö aaltofunktiolle on muotoa: [2] $\Psi [\sigma ]$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma ],

missä on Hamiltonin tiheys ${\mathcal {H}}(x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ on koordinaatti Minkowskin avaruudessa . Tiheysmatriisin Schwinger-Tomonaga yhtälö , joka on myös avaruuden kaltaisten hyperpintojen funktionaali, on muotoa: [3] $\mathbb {R} ^{1,3}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].

Avaruuden kaltaiset hyperpinnat määritellään kolmiulotteisella jakoputkella in , jota voidaan laajentaa kaikkiin avaruuden kaltaisiin suuntiin. Nämä jakosarjat määräytyvät sen perusteella, että jokaisessa pisteessä hyperpinnalla on yksikkönormaalivektori $\sigma$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ $x\in \sigma$

n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,

ajankohtainen

n^{0}(x)\geqslant 1.

Schwinger-Tomonaga-yhtälö on funktionaalinen differentiaaliyhtälö . Sitä voidaan pitää differentiaaliyhtälönä aikamuuttujien jatkumoperheessä. [3] Tätä varten on tarpeen valita hyperpinnan parametrisointi kolmiulotteisen avaruuden koordinaattien mukaan , jolloin pisteet voidaan esittää muodossa . Jokaisella pisteellä on siis oma aikamuuttujansa . $\sigma$ $\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $x\in \sigma$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Funktionaalinen derivaatta Schwinger-Tomonaga yhtälössä

Tarkastellaan pistettä ja vaihtelevaa hyperpintaa , joka eroaa vain jostain pisteen ympäristöstä . Antaa tarkoittaa tilavuutta neliulotteisen alueen sisällä välissä ja . Sitten mielivaltaisen funktion funktionaalinen derivaatta , joka on kuvaus hyperpintojen joukosta reaalilukuihin , määritellään [4] seuraavasti [5] $x\in \sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ $\sigma$ $Härkä$ $x$ $\Omega (x)$ $\sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ $F[\sigma ]$

{\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim )){\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

Schwinger-Tomonaga yhtälön ratkaisu

Tiheysmatriisin Schwinger-Tomonaga-yhtälön ratkaisu voidaan esittää muodossa [6]

\rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger }(\sigma ,\sigma _{0}),

missä on lomakkeen unitaarinen kehitysoperaattori $U(\sigma ,\sigma _{0})$

U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma }{\mathcal {H} }(x)d^{4}x\oikea],

missä on aikajärjestetty eksponentti. on alkuperäisellä hyperpinnalla määritetty alkuperäinen tiheysmatriisi . Vastaavasti Schwinger-Tomonaga-yhtälön ratkaisu aaltofunktiolle voidaan esittää muodossa $\mathrm {Texp}$ $\rho (\sigma _{0})$ $\sigma _{0}$

\Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),

missä on alkuaaltofunktio. $\Psi (\sigma _{0})$

Integroitavuuden välttämätön ehto

Aivan kuten osittaisdifferentiaaliyhtälöt vaativat näiden derivaattojen kommutoitavuutta integroitavuuden vuoksi, niin tiheysmatriisin Schwinger-Tomonaga-yhtälöllä on välttämätön integroitavuusehto [6] , joka edellyttää variaatioderivaataiden kommuteeraamista jokaisen kiinteän avaruusmaisen hyperpinnan mielivaltaisissa pisteissä : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Tämä ehto on seurausta Hamiltonin tiheyden mikrokausaliteettivaatimuksesta . Siinä sanotaan, että Hamiltonilaiset avaruuden kaltaisten intervallien eri pisteille ${\mathcal {H}}(x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

Kun otetaan huomioon Jacobi-identiteetti , meillä on todellakin:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Integroitavuusehto varmistaa ratkaisun ainutlaatuisuuden.

Tila-aikanippu ja Schrödingerin yhtälö

Tilanippu määritellään [7] tasaisella yhden parametrin perheellä $\mathbb {R} ^{1,3}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}

joka koostuu avaruusmaisista hyperpinnoista , joiden ominaisuus on, että jokainen piste kuuluu yhteen ja vain yhteen hyperpintaan : $\sigma (\tau )$ $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ $\sigma (\tau )$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).

Merkitsemme pistettä vastaavan hyperpinnan muodossa . Kiinteä nippu luo tilavektoreiden perheen $x$ $\sigma _{x}$ ${\mathcal {F}}$

|\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).

Sitten Schwinger-Tomonaga-yhtälö voidaan muotoilla uudelleen integraalimuotoon

|\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

Neliulotteinen integraatio laajenee alueelle, jota ympäröi alkuperäinen hyperpinta ja perheen hyperpinta, joka on kokonaan tulevaisuudessa . $\sigma _{0}=\sigma (0)$ $\sigma (\tau )$ $\sigma _{0}$

Määritetään hyperpinnat implisiittisellä lausekkeella $\sigma (\tau )$

{\tilde {f}}(x,\tau )=0,

missä on sileä skalaarifunktio . Sitten yksikkönormaalivektori ${\tilde {f))(x,\tau )$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\partial {\tilde {f))(x,t)}{\partial x^{\mu } }}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }})))}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x , t)}{\osittainen x^{\mu }}}.

Mukavuussyistä normalisoimme hypertason määrittävän funktion eliminoidaksemme normalisointitekijän normaalin kaavasta $f(x,\tau )=0$

n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu ))}.

Tilavektoreiden integraaliyhtälön erottaminen

{\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left |{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),

jossa integrointi suoritetaan hyperpinnan yli . Tämä yhtälö on Schrödingerin yhtälön kovarianttiyleistys. Ottaen huomioon $\sigma (\tau )\in {\mathcal {F))$

\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x) )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x )d\sigma (x)=H(\tau )

tilavektorien liikeyhtälö saa muodon

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .

Historiallinen tausta

Välittömästi kvanttimekaniikan tulon jälkeen alettiin rakentaa sen relativistista yleistystä. Tälle tielle syntyi kuitenkin perustavanlaatuinen vaikeus [1] , koska kvanttimekaniikan [8] formalismissa ajalla on olennaisesti erottuva rooli, joka eroaa koordinaateista. Toisaalta suhteellisuusteoriassa aika- ja tilakoordinaattien tulee toimia symmetrisesti yhden 4-vektorin komponentteina.

Relativistisen yleistyksen löytämiseksi tilojen evoluution yhtälöstä oli välttämätöntä ymmärtää, että ei-relativistisella ajalla on kaksi roolia kerralla, jotka jakautuvat relativistisessa yleistyksessä. Toisaalta tämä on tapahtuman yksilöllinen aika - juuri tämän ajan tulisi olla symmetrinen koordinaattien kanssa, toisaalta se toimii evoluutioparametrina, joka järjestää tapahtumat avaruudellisesti erillään olevissa pisteissä. Tämän toisen ajan funktion relativistinen yleistys voi olla mikä tahansa joukko keskenään avaruuden kaltaisia pisteitä siten, että mikä tahansa aikakaltainen maailmanviiva sisältää yhden ja vain yhden pisteen tästä joukosta. Tällainen kokoelma on avaruusmainen hyperpinta . $\sigma$

Kuvatussa muodossa olevan yhtälön esittivät itsenäisesti S. Tomonaga vuonna 1946 ja J. Schwinger vuonna 1948, ja se toimi perustana Lorentzin invariantin häiriöteorian rakentamiselle .

Muistiinpanot

↑ 1 2 Prokhorov, 1992 , TOMONAG - SCHWINGER YHTÄLÖ.
↑ Bogolyubov ja Shirkov, 1984 , s. 397.
↑ 1 2 Breuer ja Petruccione, 2010 , s. 620.
↑ Tällainen määritelmä edellyttää, että se määritellään avaruusmaisten hyperpintojen lisäksi myös niiden riittävän pienillä vaihteluilla.
↑ Bogolyubov ja Shirkov, 1984 , s. 400.
↑ 1 2 Breuer ja Petruccione, 2010 , s. 622.
↑ Breuer ja Petruccione, 2010 , s. 623.
↑ Ja myös alkuperäisessä klassisen Hamiltonin mekaniikan formalismissa .

Kirjallisuus

Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Johdatus kvantisoitujen kenttien teoriaan. - 4. painos, Rev. - M. : Nauka, Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1984. - 600 s. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Avointen kvanttijärjestelmien teoria / Per. englannista. toim. Yu. I. Bogdanova . - M. - Izhevsk: Säännöllisen ja kaoottisen dynamiikan tutkimuskeskus, Computer Research Institute, 2010. - 824 s. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prokhorov A. M. (toim.). Fyysinen tietosanakirja . - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1992. - T. 3. - 672 s. — ISBN 5-85270-034-7 .