Vakaus (dynaamiset järjestelmät)

Stabiilisuus on differentiaaliyhtälön ratkaisun ominaisuus houkutella muita ratkaisuja itseensä edellyttäen, että niiden lähtötiedot ovat riittävän lähellä . Vetovoiman luonteesta riippuen erotetaan erilaisia vakautta. Kestävyys on tutkimusaihe sellaisilla tieteenaloilla kuin stabiilisuusteoria ja dynaamisten järjestelmien teoria .

Määritelmät

Antaa olla vaiheavaruuden alue , , jossa . Tarkastellaan seuraavan muotoista differentiaaliyhtälöjärjestelmää: $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ $\tau \in \mathbb {R}$

{\piste {x}}=f(t,x),

(yksi)

jossa funktio on määritelty , jatkuva ja täyttää Lipschitzin ehdon paikallisesti alueella . $x \in \mathbb{R}^n$ $f$ $x$ $I\times\Omega$

Näissä olosuhteissa mille tahansa järjestelmälle (1) on ainutlaatuinen ratkaisu, joka täyttää alkuehdot: [1] . Erottelemme jonkin välille määritellyn ratkaisun , niin että kutsumme sitä häiriöttömäksi ratkaisuksi. $(t_{0},x_{0})\in I\times \Omega$ ${\näyttötyyli x(t,t_{0},x_{0})}$ $x(t_{0},t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\varphi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty )$ $J^{+}\subset I$

Vakaus Ljapunovin mukaan

Järjestelmän (1) häiriötöntä ratkaisua kutsutaan Ljapunov-stabiiliksi , jos jollekin ja on olemassa , riippuen vain ja ei riippuvainen , niin että mille tahansa , jolle järjestelmän (1) ratkaisu alkuehdoilla ulottuu koko järjestelmään. puoliakseli ja jokaiselle täyttää epäyhtälön [1] . $\varphi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $x$ $x(t_{0})=x_{0}$ ${\displaystyle J^{+))$ ${\displaystyle t\in J^{+))$ $\|x(t)-\varphi (t)\|<\varepsilon$

Symbolisesti se on kirjoitettu näin:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepsilon .

Järjestelmän (1) häiriötöntä ratkaisua kutsutaan epästabiiliksi, jos se ei ole Ljapunov-stabiili, ts. $\varphi (t)$

\exists \varepsilon >0,\exists t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \exists x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\exists t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .

Tasainen vakaus

Järjestelmän (1) häiritsemätöntä ratkaisua kutsutaan tasaisesti stabiiliksi Ljapunovin merkityksessä, jos se edellisen määritelmän mukaan riippuu vain : $\varphi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .

Asymptoottinen vakaus

Järjestelmän (1) häiritsemätöntä ratkaisua kutsutaan asymptoottisesti stabiiliksi, jos se on Ljapunovin stabiili ja houkutteleva, eli ehto täyttyy mille tahansa ratkaisulle , jolla on lähtötiedot , joille epäyhtälö pätee joillekin . $\varphi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0))$ ${\displaystyle \delta _{0))$

On olemassa tiettyjä asymptoottisen stabiilisuuden muotoja [2] . Järjestelmän (1) häiriötöntä ratkaisua kutsutaan: $\varphi (t)$

equiasymptoottisesti stabiili, jos se on vakaa ja tasapuolinen ( ei riipu ). $x(t)$ $x_{0}$
tasaisesti asymptoottisesti stabiili, jos se on tasaisesti stabiili ja tasaisesti houkutteleva ( ei riipu ja ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
globaalisti asymptoottisesti stabiili, jos se on vakaa ja maailmanlaajuisesti houkutteleva (ei ole rajoituksia ). $x_{0}$
tasaisesti asymptoottisesti stabiili kokonaisuutena, jos se on tasaisen vakaa ja tasaisesti ja maailmanlaajuisesti houkutteleva.

Huomautus

Triviaaliratkaisua voidaan pitää järjestelmän häiriöttömänä ratkaisuna , mikä yksinkertaistaa vakausolosuhteet. Tätä varten on tarpeen tehdä siirtyvä muutos ja harkita järjestelmää $x(t)\equiv 0$ $y=x-\varphi$

{\piste {y}}=g(t,y),

missä $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Afanasiev et ai., 2003 , s. 9.
↑ Rush et ai., 1980 , s. 19.

Kirjallisuus

Bellman, R. Differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen stabiiliusteoria. -M .:Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1954. (Venäjän kieli)
Chetaev, N. G. Liikkeen vakaus. - 4. painos, Rev. -M.:Nauka, 1990. - 176 s. —ISBN 5-02-014018-X. (Venäjän kieli)
Krasovsky, N. N. Joitakin liikkeen vakauden teorian ongelmia. -M.:Fizmatgiz, 1959. (Venäjän kieli)
Malkin IG :n liikkeen vakauden teoria. - 2. painos, Rev. -M.:Nauka, 1966. (Venäjän kieli)
Demidovich, B. P. Luennot vakauden matemaattisesta teoriasta. —M.:Nauka, 1967. — 472 s. (Venäjän kieli)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR Ohjausjärjestelmien suunnittelun matemaattinen teoria. - 3. painos, Rev. ja muita .. - M . : Higher School , 2003. - 614 s. — ISBN 5-06-004162-X . (Venäjän kieli)
Filippov, A. F. Johdatus differentiaaliyhtälöiden teoriaan. - Toim. 2. - Pääkirjoitus URSS, 2007. - 240 s. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Suora Lyapunov-menetelmä vakausteoriassa. - M .: Mir , 1980.