Muodollinen eriyttäminen

Formaalinen differentiaatio on polynomirenkaan tai muodollisen potenssisarjan renkaan elementtejä koskeva operaatio , joka toistuu ottamalla derivaatan matemaattisesta analyysistä , mutta ei perustu rajan käsitteeseen , jota ei voida määritellä mielivaltaiselle renkaalle . Monet derivaatan ominaisuudet pätevät myös muodolliseen differentiaatioon, mutta jotkin, erityisesti ne, jotka koskevat lukuja sisältäviä väitteitä, eivät pidä paikkaansa. Yksi tärkeimmistä muodollisen differentioinnin sovelluksista algebrassa on polynomien juurien moninkertaisuuden tarkistaminen.

Määritelmä

Muodollisen differentioinnin määritelmä on seuraava: fix rengas (ei välttämättä kommutatiivinen), olkoon polynomirengas yli . Tällöin muodollinen eriyttäminen on elementtien toimintaa , jossa jos $R$ $A=R[x]$ $R$ $A$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

niin formaalinen derivaatta on

{\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1))

kuten reaali- tai kompleksilukujen yli olevien polynomien tapauksessa.

Huomaa, että lauseke ei tarkoita kertolaskua renkaassa, vaan missä sitä ei käytetä summamerkin alla. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

On huomattava, että ei-kommutatiivisille renkaille tämä määritelmä kohtaa seuraavan vaikeuden: kaava itsessään on oikea, mutta jokaista polynomia ei voida esittää vakiomuodossa. Tällaisen määritelmän käyttö johtaa vaikeuksiin kaavan todistamisessa . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

Vaihtoehtoiset määritelmät, jotka sopivat ei-kommutatiivisille renkaille

Olkoon totta olkoon myös Määrittele derivaatta tyypin ja lausekkeille $r\in R$ $r'=0,$ $x'=1.$ $(a+b)'=a'+b',$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Osoittakaamme, että tällainen määritelmä antaa lausekkeelle saman tuloksen, riippumatta siitä, miten se saadaan, joten määritelmä on yhteensopiva tasa-arvon aksioomien kanssa.

$(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
${\näyttötyyli ((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',}$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

${\näyttötyyli ((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b) 'c)+(ac'+bc')=}$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

Lineaarisuus seuraa määritelmästä.

Polynomin derivaatan kaava (kommutatiivisten renkaiden vakiomuodossa) on seurausta määritelmästä: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i -yksi}.$

Ominaisuudet

Voidaan todistaa useita seuraavista väitteistä.

Muodollinen differentiaatio on lineaarinen : kahdelle polynomille ja alkiolle $f(x),g(x)$ $r,s$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Jos ei-kommutatiivisia, on olemassa toisenlainen lineaarisuusominaisuus, jossa ja sijaitsevat oikealla. Jos kaavassa ei ole identiteettielementtiä, kaavaa ei pelkistetä polynomien summan muotoon tai yhden polynomin ja toisen polynomin kerrannaiseksi.

R

r

s

R

Muodollista erotusta varten tuotesääntö täyttyy :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Huomaa tekijöiden järjestyksen merkitys ei-kommutatiivisen renkaan tapauksessa .

R

Nämä kaksi ominaisuutta tekevät siitä algebran johdannaisen . $D$ $A$

Sovellus

Derivaata mahdollistaa useiden juurien olemassaolon määrittämisen: jos se on kenttä, niin se on euklidinen rengas , jolle voidaan määritellä juuren moninkertaisuuden käsite; polynomille ja alkiolle sieltä on olemassa ei-negatiivinen kokonaisluku ja polynomi siten, että $R$ $R[x]$ $f(x)$ $r$ $R$ $Herra}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

missä ei ole sama . Aste näyttää multiplisisuuden juurina . Tulosäännöstä seuraa, että se on myös niiden differentiaatiooperaation sovellusten lukumäärä, jotka voidaan suorittaa, kunnes se lakkaa olemasta jäljellä olevan polynomin juuri. Huolimatta siitä, että jokaisella asteen polynomilla ei ole juuria , monikertaisuus huomioon ottaen (tämä on vain maksimiluku), voit laajentaa kenttää , jossa tämä väite on tosi (katso algebrallinen sulkeminen ). Kentän laajennukseen siirtymisen jälkeen voi olla myös useita juuria, jotka eivät ole juuret yli . Esimerkiksi, jos on kenttä, jossa on kolme alkiota, niin polynomi $g(r)$ $0$ $Herra}$ $r$ $f$ $Herra}$ $f(x)$ $r$ $n$ $R[x]$ $n$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

ei ole juurta ; mutta muodollinen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, koska 3 = 0 in ja missä tahansa laajennuksessa , joten siirryttäessä algebralliseen sulkemiseen, löydämme monijuuren, jota ei löydy . Siksi muodollisen eriyttämisen määrittelemä moninkertaisuuden käsite voidaan todentaa tehokkaasti. Tämä osoittautuu erityisen tärkeäksi Galois'n teoriassa , jolloin voidaan erottaa erotettavat ja erottamattomat kenttälaajennukset. $R$ $R$ $R$ $R$

Analytic Derivative Correspondence

Jos lukujen rengas on kommutatiivinen, niin formaalille derivaatalle on olemassa toinen vastaava määritelmä, joka muistuttaa analyysin määritelmää. Renkaan elementti on minkä tahansa ei-negatiivisen kokonaisluvun jakaja ja siksi minkä tahansa polynomin jakaja . Merkitään osamäärä (in ) seuraavasti : $R$ $YX$ $R[X,Y]$ $Y^{n}-X^{n}$ $n$ $f(Y)-f(X)$ $f$ $R[X,Y]$ $g$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

silloin on helppo todistaa, että (in ) on sama kuin edellä annetun derivaatan muodollinen määritelmä . $g(X,X)$ $R[X]$ $f$

Tällainen derivaatan määritelmä sopii muodollisiin potenssisarjoihin olettaen, että skalaarirengas on kommutatiivinen.

Muistiinpanot

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (tarkistettu kolmas painos), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, voit yksinkertaistaa laskemista, arXiv:0905.3611v1