Dirichlet-toiminto

Dirichlet -funktio on funktio , joka ottaa yhden rationaalisista arvoista ja nolla irrationaalisista arvoista, vakioesimerkki kaikkialla epäjatkuvasta funktiosta . Saksalainen matemaatikko Dirichlet esitteli sen vuonna 1829 . [yksi]

Määritelmä

Symbolisesti Dirichlet-funktio määritellään seuraavasti: [2] ${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\))$

D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases} }

Ominaisuudet

Se kuuluu toiseen Baer-luokkaan , eli sitä ei voida esittää jatkuvien funktioiden sarjan (pistekohtaisena) rajana, mutta se voidaan esittää jatkuvien funktioiden sarjan iteroituna rajana [3] [4] :

D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)

Jokainen määritelmäalueen piste on toisen tyyppinen (ja siinä merkittävä) epäjatkuvuuspiste. [5]

Onko jaksollinen funktio , sen jakso on mikä tahansa rationaalinen luku, joka ei ole nolla; Toiminnossa ei ole pääjaksoa. [6]

Se ei ole integroitavissa Riemannin merkityksessä . [7] Yksinkertainen toiminto ; mitattavissa suhteessa Lebesguen mittaan ; Dirichlet-funktion Lebesguen integraali on nolla millä tahansa numeerisella välillä; tämä johtuu siitä tosiasiasta, että rationaalilukujoukon Lebesguen mitta on yhtä suuri kuin nolla.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Dirichlet-funktion muunnelma on Riemannin funktio , jota kutsutaan myös "Thomae-funktioksi" ( Thomae ).

Muistiinpanot

↑ Ferreiros, 2013 , s. 150.
↑ Fikhtengolts, 2003 , s. 115.
↑ Dunham, 2005 , s. 197.
↑ Rudin, 1976 , s. 162 Esimerkki 7.5.
↑ Zorich, 2019 , s. 145.
↑ encyclopediath , kommentti.
↑ Nikolsky, 1983 , s. 357.

Kirjallisuus

Jose Ferreiros. Ajatuksen labyrintti: Joukkoteorian historia ja sen rooli modernissa matematiikassa. - 2013. - 440 s.
G.M. Fikhtengolts. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. - 8. painos - Fizmatlit, 2003. - T. 1.
CM. Nikolsky. Matemaattisen analyysin kurssi. - Moskova: "Nauka", fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1983. - T. 1.
Dirichlet-funktio . Matematiikan tietosanakirja . (määrätön)
V. Nemytsky, M. Sludskaja, A. Cherkasov. Matemaattisen analyysin kurssi. - Moskova, Leningrad: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1940. - T. 1.
William Dunham. Calculus-galleria. - Princeton University Press, 2005. - ISBN 0-691-09565-5 .
W. Rudin. Matemaattisen analyysin perusteet. - Moskova: Mir, 1976.
V. A. Zorich. Matemaattinen analyysi. Osa 1. - 10. painos, korjattu. - Moskova: MTsNMO, 2019.

Linkit

Dirichlet-funktio – MathWorldistä

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen