Perustoiminnot

Alkufunktiot ovat funktioita , jotka voidaan saada käyttämällä äärellistä määrää aritmeettisia operaatioita ja koostumuksia seuraavista perusfunktioista [1] :

tehofunktio millä tahansa todellisella eksponentilla;
eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot;
trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot.

Jokainen alkeisfunktio voidaan määritellä kaavalla, eli joukolla äärellisen määrän symboleja, jotka vastaavat käytettyjä operaatioita. Kaikki perusfunktiot ovat jatkuvia määrittelyalueellaan.

Joskus perusalkeisiin funktioihin kuuluu myös hyperbolisia ja käänteisiä hyperbolisia funktioita , vaikka ne voidaan ilmaista edellä lueteltujen perusalkioiden funktioina.

Perusfunktiot Liouvillen mukaan

Kun otetaan huomioon kompleksisen muuttujan funktiot, Liouville määritteli perusfunktiot hieman laajemmin. Muuttujan alkeisfunktio on analyyttinen funktio , joka voidaan esittää algebrallisena funktiona, lisäksi: $y(x)$ $x$ $y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),$

$z_{1}$ on jonkin algebrallisen funktion logaritmi tai eksponentti $g_{1}(x),$
$z_{2}$ on jonkin algebrallisen funktion logaritmi tai eksponentti $g_{2}(x,z_{1}),$

...

${\displaystyle z_{r))$ on jonkin algebrallisen funktion logaritmi tai eksponentti $g_{r}(x,z_{1},...,z_{r-1}).$

Esimerkiksi on tässä mielessä alkeisfunktio, koska se on eksponentiaalisen funktion algebrallinen funktio $y(x)=\sin(x)$ $e^{ix}:$

\sin(x)={\frac {(e^{ix})^{2}-1}{2ie^{ix}}}.

Yleensä kaikki trigonometriset ja käänteiset trigonometriset funktiot voidaan ilmaista logaritmeilla, eksponentiaaleilla, aritmeettisilla operaatioilla sekä neliöjuuren ottamisen operaatiolla käyttämällä osoitettua identiteettiä. Tietenkin tämä käyttää kuvitteellista yksikköä $i={\sqrt {-1)).$

Funktio on myös alkeis, koska se voidaan esittää seuraavasti: $y(x)=e^{e^{x))$

y(x)=\phi (x,z_{1},z_{2}),

missä

z_{1}=e^{x},\ z_{2}=e^{z_{1)),\ \phi (x,z_{1},z_{2})=z_{2} .

Yleisyyttä menettämättä funktioita voidaan pitää algebrallisesti itsenäisinä. Tämä tarkoittaa, että algebrallinen relaatio voi päteä kaikille vain, jos polynomin kertoimet ovat yhtä suuret kuin nolla. $z_{1},\pisteet ,z_{r}$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})=0$ $x$ $\psi (x,z_{1},...,z_{r})$

Perusfunktioiden erottelu

Alkuperäisfunktion derivaatta on aina alkeisfunktio ja se löytyy äärellisestä määrästä vaiheita. Nimittäin monimutkaisen funktion differentiaatiosäännöllä

y'(x)={\frac {d}{dx}}\phi (x,z_{1},\dots ,z_{r})={\frac {\partial \phi }{\partial x}} +\sum \limits _{{i=1}}^{r}{\frac {\partial \phi }{\partial z_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dx}},

missä on yhtä suuri tai tai riippuen siitä onko logaritmi vai eksponentti jne. Käytännössä on kätevää käyttää derivaattataulukkoa . $z_{1}'(z)$ $g_{1}'/g_{1}$ $z_{1}g_{1}'$ $z_{1}$

Perustoimintojen integrointi

Alkeisfunktion integraali ei aina itse ole alkeisfunktio. Yleisimmät funktiot, joiden integraalit löytyvät, on koottu integraalitaulukkoon . Yleisessä tapauksessa alkeisfunktioiden integrointiongelma ratkaistaan Risch-algoritmilla , joka perustuu Liouvillen lauseeseen:

Liouvillen lause . Jos alkeisfunktion integraali on itse alkeisfunktio, niin se voidaan esittää muodossa $y=\phi (x,z_{1},\pisteet z_{r})$

\int \phi (x,z_{1}(x),\pisteet ,z_{r}(x))\,dx=\sum \limits _{i}A_{i}\ln(\psi _{i }(x,z_{1},\pisteet z_{r}))+\psi _{0}(x,z_{1},\pisteet ,z_{r})+C,

missä ovat jotkut kompleksiluvut ja ovat niiden argumenttien algebrallisia funktioita . $A_{i}$ $\psi _{i}$

Liouville perusti tämän lauseen todistuksen seuraavalle periaatteelle. Jos integraali otetaan alkeisfunktioissa, niin $y$

\int \phi (x,z_{1}(x),\pisteet z_{r}(x))\,dx=\psi (x,z_{1}(x),\pisteet z_{s}(x) ))+\operaattorinimi {const}

missä on algebrallinen funktio, on algebrallisen funktion logaritmi tai eksponentti jne. Funktiot ovat algebrallisesti riippumattomia ja täyttävät jonkin muodon muodon differentiaaliyhtälöjärjestelmän $\psi$ $z_{{r+1}}$ $x,z_{1},\pisteet z_{r}$ $z_{1},\pisteet z_{s}$

z_{1}'=\rho _{1}(x,z_{1},\pisteet ,z_{s}),\pisteet

missä ovat niiden argumenttien algebralliset funktiot. If on tämän järjestelmän ratkaisuperhe, niin $\rho _{i}$ $z_{1}=z_{1}(x,C),\pisteet$

\int \phi (x,z_{1}(x,C),\pisteet )\,dx=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C) )+\operaattorinimi {const}

missä

\psi (x,z_{1}(x),\pisteet )=\psi (x,z_{1}(x,C),\pisteet z_{s}(x,C))+f(C)

Joillekin integraaliluokille tämän lauseen avulla on erittäin helppoa tutkia integrointiongelman alkeisfunktioiden ratkaistavuutta.

Toimintojen integrointi muodossa $p(x)e^{{q(x)}}$

Liouvillen lauseen seuraus (katso Ritt, s. 47 ja seuraavat). Jos integraali

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx,

missä ovat polynomit, otetaan alkeisfunktioissa, niin $p,q$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}

jossa on myös jokin differentiaaliyhtälön täyttävä polynomi $r(x)$

r'+q'(x)r=p(x)

Esimerkki . Erityisesti integraali

\int e^{{x^{2}}}\,dx

ei oteta vaihdon vuoksi

r=Ax^{n}+\pisteet \quad (A\not =0)

yhtälöön

r'+2xr=1

antaa . Integraali $A = 0$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx

otettu koska

r'+2xr=x

on ratkaisu . Samalla tietysti $r = 1/2$

\int xe^{{x^{2}}}\,dx={\frac {e^{{x^{2}}}}{2}}+\operaattorinimi {const}

Todiste seurauksesta . Liouvillen lauseen mukaan

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,e^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,e^{{q(x)}})+\operaattorinimi {const}

Sitten meillä on Liouvillen periaatteen perusteella mielivaltaiselle vakiolle $C$

\int p(x)Ce^{{q(x)}}\,dx=\psi _{0}(x,Ce^{{q(x)}})+\sum A_{i}\ln \ psi _{i}(x,Ce^{{q(x)}})+f(C)

Erottamalla suhteessa ja olettamalla , näemme, että integraali ilmaistaan algebrallisesti termeillä , ts. $C$ $C = 1$ $x,e^{{q(x)}}$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=\psi (x,e^{{q(x)}}).

Jälleen Liouvillen periaatetta soveltaen meillä on

C\psi (x,e^{{q(x)}})=\psi (x,Ce^{{q(x)}})+f(C).

Erottaminen suhteessa ja olettaen , meillä on $C$ $C = 1$

\psi (x,z)=z{\frac {\partial \psi (x,z)}{\partial z))+B\quad (B=\operaattorin nimi {const})

varten , ja siten, koska algebrallinen riippumattomuus , kaikille . Siksi $z=e^{{q(x)}}$ $x,e^{{q(x)}}$ $x,z$

\psi(x,z)=-B+zr(x),

missä on jokin algebrallinen funktio . Tällä tavalla, $r$ $x$

\int p(x)e^{{q(x)}}\,dx=r(x)e^{{q(x)}}+\operaattorinimi {const},

Koska integraali itsessään on ilmeisesti kokonainen funktio , se on polynomi. Seuraus on todistettu. $x$ $r$

Algebrallisten funktioiden integrointi

Vaikein oli kysymys integroinnista algebrallisten funktioiden alkeisfunktioihin, eli Abelin integraalien ottaminen, joka on Weierstrassin , Ptashitzkyn [2] ja Rischin [ 3 ] laajojen tutkimusten kohteena .

Liouvillen lause on pohjana algoritmien luomiselle alkeisfunktioiden symbolista integrointia varten, toteutettu esimerkiksi Maplessa .

Katso myös: Luettelo alkeisfunktioiden integraaleista

Rajojen laskeminen

Liouvillen teoria ei ulotu rajojen laskemiseen . Ei tiedetä, onko olemassa algoritmia, joka alkeiskaavan antaman sekvenssin perusteella antaa vastauksen, onko sillä raja vai ei. Esimerkiksi kysymys konvergoiko sekvenssi on avoin . [neljä] ${\frac {1}{n^{3}\sin n}}$

Katso myös

Differentiaali Galois'n teoria

Muistiinpanot

↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 113-114..
↑ Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Taide. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901)
↑ Davenport J. Algebrallisten funktioiden integrointi. Ch. 4. M., Mir, 1985
↑ K&V

Kirjallisuus

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.
Khovansky A. G. Topologinen Galois'n teoria: yhtälöiden ratkaistavuus ja ratkaisemattomuus lopullisessa muodossa . Ch. 1. M, 2007
Liouville J. Mémoire sur l'intégration d'une classe de fonctions transcendantes (pääsemätön linkki) // J. Reine Angew. Matematiikka. bd. 13, s. 93-118. (1835)