Elliptinen suodatin

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. lokakuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Elliptinen suodatin ( Cauer - suodatin tai Zolotarev - suodatin tai Zolotarev - Cauer - suodatin ) on elektroninen suodatin , jonka ominaispiirre on amplitudi - taajuusominaisuuden aaltoilu sekä päästökaistalla että vaimennuskaistalla . Pulsaatioiden suuruus kussakin kaistassa on riippumaton toisistaan. Toinen tällaisen suodattimen erottuva piirre on amplitudikäyrän erittäin jyrkkä rolloff, joten tällä suodattimella voit saavuttaa tehokkaamman taajuuserottelun kuin muilla lineaarisilla suodattimilla.

Jos vaimennuskaistan aaltoilu on yhtä suuri kuin nolla, elliptisesta suodattimesta tulee ensimmäisen tyyppinen Chebyshev-suodatin . Jos aaltoilu on nolla päästökaistalla, suodattimesta tulee toisen tyyppinen Chebyshev-suodatin. Jos koko amplitudikäyrässä ei ole aaltoilua, suodattimesta tulee Butterworth-suodatin .

Elliptisen alipäästösuodattimen taajuusvaste on ympyrätaajuuden ω funktio , ja se saadaan kaavalla:

G_{n}(\omega )={1 \over {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0))))) }

jossa R n on rationaalinen elliptinen funktio , jonka kertaluku on n ja

\omega_0

- katkaisutaajuus

\epsilon

- aaltoilutekijä _ _

\xi

- selektiivisyystekijä _ _

Aaltoiluindeksin arvo määrittää aaltoilun päästökaistalla, kun taas aaltoilu hylkäyskaistalla riippuu sekä aaltoiluindeksistä että selektiivisyysindeksistä.

Ominaisuudet

Päästökaistalla elliptinen funktio muuttaa arvoja nollasta yhteen. Sen vuoksi taajuusvaste päästökaistalla vaihtelee yksiköstä . $1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}$

Vaimennuskaistalla elliptinen funktio muuttaa arvoja äärettömyydestä arvoon , joka määritellään seuraavasti: $L_{n}$

L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )

Taajuusvaste vaimennuskaistalla muuttaa siten arvoja nollasta arvoon .

1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2))}

Rajatapaus muuttaa elliptisen funktion Tšebyshevin polynomiksi , jolloin elliptisesta suodattimesta tulee ensimmäisen tyyppinen Chebyshev-suodatin, jonka aaltoilueksponentti ε. $\xi \rightarrow \infty$
Koska Butterworth-suodatin on Chebyshev-suodattimen rajoittava tapaus , elliptistä suodatinta tulee olosuhteissa ja siten Butterworth-suodattimeksi. $\xi \rightarrow \infty$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})=1$
Rajatapaus muuttaa elliptisen suodattimen toisen tyyppiseksi Chebyshev - suodattimeksi taajuusvasteella $\xi \rightarrow \infty$ $\epsilon \rightarrow 0$ $\omega _{0}\rightarrow 0$ $\xi \omega _{0}=1$ $\epsilon L_{n}=\alpha$

G(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^{2}T_{n}^{2}(1/\omega ))))) }}.

Poles and Zeros

Taajuusvastemoduulin nollat osuvat yhteen murto-rationaalisen elliptisen funktion napojen kanssa.

Elliptisen suodattimen navat voidaan määritellä samalla tavalla kuin ensimmäisen tyypin Chebyshev-suodattimen navat. Yksinkertaisuuden vuoksi otamme rajataajuuden yhtä suureksi kuin yksikkö. Elliptisen suodattimen navat ovat amplitudikäyrän nimittäjän nollia. Käyttämällä kompleksista taajuutta saamme: $(\omega_{pm})$ $s=\sigma +j\omega,$

1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0

Olkoon , missä cd on Jacobin elliptinen kosinifunktio . Sitten käyttämällä elliptisen murto-osan rationaalisen funktion määritelmää saamme: $-js={\mathrm {cd}}(w,1/\xi )$

1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n)){K)),{\frac {1}{L_{n))} \right)=0

missä ja . Ratkaisemassa w $K=K(1/\xi )$ $K_{n}=K(1/L_{n})$

w={\frac {K}{nK_{n}}}{\mathrm {cd}}^{{-1}}\left({\frac {\pm j}{\epsilon }}),{\frac { 1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}},

jossa käänteisen cd-funktion arvot tehdään eksplisiittisiksi käyttämällä kokonaislukuindeksiä m .

Elliptisen funktion navat tässä tapauksessa:

s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi ).

Kuten Chebyshev-polynomien tapauksessa, tämä voidaan ilmaista eksplisiittisessä kompleksisessa muodossa [1]

s_{{pm}}={\frac {a+jb}{c}},

a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2))}{\sqrt {1-x_{m}^{2))}{\sqrt {1-x_ {m}^{2}/\xi ^{2}}},

b=x_{m}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}),

c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2},

missä on funktio ja ja ovat elliptisen funktion nollia. Funktio määritellään kaikille n :lle Jacobin elliptisen funktion merkityksessä. Meillä on tilauksille 1 ja 2 $\zeta _{n}$ $n,\,\epsilon$ $\xi$ $x_{m}$ $\zeta _{n}$

\zeta _{1}={\frac {1}{{\sqrt {1+\epsilon ^{2))))},

\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}},

missä

t={\frac {1}{{\sqrt {1-1/\xi ^{2))))}.

Elliptisten funktioiden rekursiivisia ominaisuuksia voidaan käyttää korkeamman asteen lausekkeiden rakentamiseen : $\zeta _{n}$

\zeta _{{m\cdot n}}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt ({\frac {1}{\zeta _{n}^{ 2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\oikea),

missä $L_{m}=R_{m}(\xi ,\xi ).$

Elliptiset suodattimet minimi Q-kertoimella

Katso [2] Elliptiset suodattimet määritellään yleensä määrittämällä tietty määrä aaltoilua päästökaistalla, hylkäyskaistalla ja amplitudivasteen kulmakertoimella. Nämä ominaisuudet ovat ratkaisevia määritettäessä suodattimen vähimmäisjärjestystä. Toinen lähestymistapa elliptisen suodattimen suunnitteluun on määrittää analogisen suodattimen amplitudivasteen herkkyys sen elektronisten komponenttien arvoille. Tämä herkkyys on kääntäen verrannollinen suodattimen siirtofunktion napojen erikoiseksponenttiin ( Q-tekijään ). Pylvään laatutekijä määritellään seuraavasti:

Q=-{\frac {|s_{{pm}}|}{2{\mathrm {Re}}(s_{{pm}})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg (s_{{pm}})))}}

ja on mitta tietyn navan vaikutuksesta yleiseen amplitudiominaisuuksiin. Tietyn kertaluvun elliptisellä suodattimella on suhde aaltoiluindeksin ja selektiivisyyskertoimen välillä, mikä minimoi siirtofunktion kaikkien napojen laatutekijän:

\epsilon _{{Qmin}}={\frac {1}{{\sqrt {L_{n}(\xi )))}}

Tämä johtaa suodattimen olemassaoloon, joka on vähiten herkkä suodatinkomponenttien parametrien muutoksille, mutta tällä suunnittelumenetelmällä kyky määrittää itsenäisesti aaltoilun määrä päästökaistalla ja vaimennuskaistalla menetetään. Tällaisilla suodattimilla järjestyksen kasvaessa aaltoilu sekä pysäytyskaistalla että päästökaistalla pienenee ja ominaiskäyrän kaltevuus leikkaustaajuuden ympärillä kasvaa. Laskettaessa suodatinta vähimmäislaatukertoimella on otettava huomioon, että tällaisen suodattimen järjestys on suurempi kuin tavallisella laskentamenetelmällä. Amplitudin ominaiskäyrämoduulin kaavio näyttää lähes samalta kuin ennen, mutta navat eivät sijaitse ellipsissä, vaan ympyrässä, ja toisin kuin Butterworth-suodatin , jonka navat on myös järjestetty ympyrän muotoon, Niiden välinen etäisyys ei ole sama, mutta kuvitteelliselle akselille sijoitetaan nollia.

Vertailu muihin lineaarisiin suodattimiin

Alla on kaavioita joidenkin yleisimpien lineaaristen elektronisten suodattimien amplitudi-taajuusominaisuuksista, joilla on sama kerroinluku:

Kuten kaaviosta näkyy, elliptisellä suodattimella on suurin kaltevuus, mutta sillä on myös merkittävää aaltoilua sekä päästökaistalla että pysäytyskaistalla.

Katso myös

Bibliografia

V.A. Lucas. Automaattisen ohjauksen teoria. - M.: Nedra, 1990.
B.H. Krivitsky . Viitekirja radioelektroniikan teoreettisista perusteista. - M . : Energia, 1977.
Miroslav D. Lutovac. Suodatinsuunnittelu signaalinkäsittelyä varten MATLAB©:n ja Mathematica©:n avulla. - New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. - ISBN 0-201-36130-2 .
Richard W. Daniels. Lähentämismenetelmät elektronisen suodattimen suunnitteluun. - New York: McGraw-Hill, 1974. - ISBN 0-07-015308-6 .
Steven W. Smith. Digitaalisen signaalinkäsittelyn tutkijan ja insinöörin opas . - Toinen painos. - San Diego: California Technical Publishing, 1999. - ISBN 0-9660176-4-1 .
Britton C. Rorabaugh. Lähentämismenetelmät elektronisen suodattimen suunnitteluun. - New York: McGraw-Hill, 1999. - ISBN 0-07-054004-7 .
B. Widrow, SD Stearns. Mukautuva signaalinkäsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. - ISBN 0-13-004029-0 .
S. Haykin. Adaptiivisen suodattimen teoria. - 4. painos. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. - ISBN 0-13-090126-1 .
Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. Mukautuvat suodattimet – rakenteet, algoritmit ja sovellukset . - Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. - ISBN 0-89838-163-0 .
J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Lineaarinen puheen ennustaminen. - New York: Springer-Verlag, 1982. - ISBN 0-387-07563-1 .
L. R. Rabiner , R. W. Schafer. Puhesignaalien digitaalinen käsittely. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. - ISBN 0-13-213603-1 .
Richard J. Higgins. Digitaalinen signaalinkäsittely VLSI:ssä. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. - ISBN 0-13-212887-X .
A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. Digitaalinen signaalinkäsittely . - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. - ISBN 0-13-214635-5 .
L. R. Rabiner , B. Gold. Digitaalisen signaalinkäsittelyn teoria ja sovellus. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. - ISBN 0-13-914101-4 .
John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Johdatus digitaaliseen signaalinkäsittelyyn. - Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. - ISBN 0-02-396815-X .

Muistiinpanot

↑ Miroslav D. Lutovac. § 12.11, § 13.14 // Suodatinsuunnittelu signaalinkäsittelyä varten MATLAB©:n ja Mathematica©:n avulla.