Algoritmi

Normaali Markovin algoritmi (algoritmi kirjoittajan kirjoituksessa) on peräkkäisten substituutioiden sovellusjärjestelmä, joka toteuttaa tietyt menettelyt uusien sanojen saamiseksi perussanoista, jotka on rakennettu tietyn aakkoston merkeistä. Kuten Turingin kone, normaalit algoritmit eivät suorita laskutoimituksia itse: ne suorittavat vain sanamuunnoksia korvaamalla kirjaimet annettujen sääntöjen mukaisesti [10] .

Normaalisti laskettava funktio on funktio, joka voidaan toteuttaa normaalilla algoritmilla. Eli algoritmi, joka muuttaa jokaisen sanan funktion kelvollisten tietojen joukosta sen alkuarvoiksi [11] ..

Normaalialgoritmien teorian luoja A. A. Markov esitti hypoteesin, jota kutsuttiin Markovin normalisointiperiaatteeksi:

Löytää jossain aakkostossa annetun funktion arvot, jos ja vain jos on jokin algoritmi, kun funktio on normaalisti numeroitavissa.

Kuten Turingin ja Churchin teesit, Markovin normalisointiperiaatetta ei voida todistaa matemaattisin keinoin.

Stokastiset algoritmit

Yllä oleva algoritmin muodollinen määritelmä voi kuitenkin joissain tapauksissa olla liian tiukka. Joskus on tarpeen käyttää satunnaismuuttujia [12] . Algoritmia, jonka toimintaa määrittävät paitsi lähtötiedot, myös satunnaislukugeneraattorilta saadut arvot, kutsutaan stokastiseksi (tai satunnaistetuksi, englanninkielisestä  satunnaistetusta algoritmista ) [13] . Stokastiset algoritmit ovat usein tehokkaampia kuin deterministiset ja joissain tapauksissa ainoa tapa ratkaista ongelma [12] .

Käytännössä satunnaislukugeneraattorin sijasta käytetään pseudosatunnaislukugeneraattoria .

On kuitenkin syytä erottaa toisistaan ​​stokastiset algoritmit ja menetelmät, jotka antavat oikean tuloksen suurella todennäköisyydellä. Toisin kuin menetelmä , algoritmi antaa oikeat tulokset myös pitkän ajon jälkeen.

Jotkut tutkijat myöntävät mahdollisuuden, että stokastinen algoritmi antaa väärän tuloksen tietyllä ennalta määrätyllä todennäköisyydellä. Sitten stokastiset algoritmit voidaan jakaa kahteen tyyppiin [14] :

• Las Vegasin kaltaiset algoritmit antavat aina oikean tuloksen, mutta niiden ajoaikaa ei ole määritelty.
• Monte Carlo -tyyppiset algoritmit , toisin kuin edelliset, voivat antaa vääriä tuloksia tunnetulla todennäköisyydellä.

Muut formalisoinnit

Joidenkin tehtävien osalta yllä mainitut formalisoinnit voivat vaikeuttaa ratkaisujen löytämistä ja tutkimuksen tekemistä. Esteiden voittamiseksi kehitettiin molemmat modifikaatiot "klassisista" kaavoista ja luotiin uusia malleja algoritmista. Erityisesti voidaan nimetä:

• moninauhaiset ja ei-deterministiset Turingin koneet;
• rekisteri ja RAM-kone  - nykyaikaisten tietokoneiden ja virtuaalikoneiden prototyyppi;
• äärelliset ja soluautomaatit

Algoritmien tyypit

Algoritmien tyypit loogisina ja matemaattisina keinoina heijastavat ihmisen toiminnan ja trendien osoitettuja komponentteja sekä itse algoritmeja riippuen tavoitteesta, ongelman alkuehdoista ja sen ratkaisutavoista. On syytä korostaa perustavaa laatua olevaa eroa laskennallisten algoritmien, jotka muuntavat osan tulodataa lähtötiedoiksi (niiden formalisaatio on edellä mainitut Turing-, Post-, PAM-koneet, normaalit Markov-algoritmit ja rekursiiviset funktiot) ja interaktiivisten algoritmien (Turing) välillä. on jo C-kone, englanninkielinen  valinta  - valinta, joka odottaa ulkoista vaikutusta, toisin kuin klassisessa A-koneessa, jossa kaikki lähtötiedot annetaan ennen laskennan alkua ja lähtötiedot ovat saatavilla vasta laskennan lopussa. laskelma). Jälkimmäiset on suunniteltu toimimaan vuorovaikutuksessa jonkin ohjausobjektin kanssa ja ne on suunniteltu varmistamaan oikea ohjaustoimintojen suorittaminen vallitsevasta tilanteesta riippuen, jotka heijastavat ohjausobjektista tulevat signaalit [15] [16] . Joissakin tapauksissa ohjausalgoritmi ei tarjoa työn valmistumista ollenkaan (esimerkiksi se ylläpitää loputonta odotussykliä tapahtumia, joihin annetaan sopiva reaktio), huolimatta siitä, että se on täysin oikein.

Algoritmit voidaan myös erottaa:

• Mekaaniset algoritmit tai muutoin deterministiset , jäykät (esim. koneen, moottorin tms. toiminnan algoritmit) - asettavat tiettyjä toimintoja, jotka merkitsevät ne yhtenä ja luotettavana sekvenssinä, jolloin saadaan yksiselitteinen vaadittu tai haluttu tulos, jos ne prosessiolosuhteet täyttyvät tehtävät, joita varten algoritmi on kehitetty.
• Joustavat algoritmit , kuten stokastiset, eli probabilistiset ja heuristiset.
• Probabilistinen (stokastinen) algoritmi antaa ohjelman ongelman ratkaisemiseksi useilla tavoilla tai tavoilla, jotka johtavat tuloksen todennäköiseen saavuttamiseen.
• Heuristinen algoritmi (kreikan sanasta " eureka ") - algoritmi, joka käyttää erilaisia ​​järkeviä näkökohtia ilman tiukkoja perusteluja [17] .
• Lineaarinen algoritmi  on joukko komentoja (käskyjä), jotka suoritetaan peräkkäin ajassa peräkkäin.
• Haaroitusalgoritmi  on algoritmi, joka sisältää vähintään yhden ehdon, jonka seurauksena algoritmin jako useisiin vaihtoehtoisiin haaroihin voidaan suorittaa.
• Syklinen algoritmi  on algoritmi, joka sisältää toistuvan saman toiminnon (samat toiminnot). Suurin osa laskentamenetelmistä ja vaihtoehtojen luettelointi on pelkistetty syklisiksi algoritmeiksi. Ohjelmasykli on sarja komentoja (sarja, syklin runko), joka voidaan suorittaa useita kertoja.
• Apualgoritmi ( alisteinen ) on algoritmi , joka on aiemmin kehitetty ja jota on käytetty kokonaan tietyn ongelman algoritmisoinnissa. Joissakin tapauksissa, jos eri datalle on identtiset käskysarjat (komennot), erotetaan myös apualgoritmi tietueen lyhentämiseksi. Kaikissa valmisteluvaiheissa ongelman algoritmisointiin käytetään laajasti algoritmin rakenteellista esitystapaa.
• Rakenteellinen lohkokaavio , algoritmin graafinen kaavio - algoritmin  graafinen esitys nuolilla (siirtymäviivoilla) yhdistettyjen lohkojen kaavion muodossa - graafiset symbolit, joista jokainen vastaa yhtä algoritmin vaihetta. Lohkon sisällä on kuvaus vastaavasta toimenpiteestä. Algoritmin graafista esitystapaa käytetään laajalti ennen tehtävän ohjelmointia sen selkeyden vuoksi, koska visuaalinen havainto helpottaa yleensä ohjelman kirjoittamista, sen korjaamista mahdollisten virheiden varalta sekä tiedonkäsittelyprosessin ymmärtämistä. Voit jopa kohdata tällaisen lausunnon: "Ulkopuolisesti algoritmi on kaavio - joukko suorakulmioita ja muita symboleja, joiden sisään se kirjoitetaan, mitä lasketaan, mitä syötetään koneeseen ja mitä tulostetaan ja mitä muuta. keino näyttää tietoa."

Algoritmin numerointi

Algoritmien numeroinnilla on tärkeä rooli niiden tutkimisessa ja analysoinnissa [18] . Koska mikä tahansa algoritmi voidaan määrittää äärelliseksi sanaksi (esitetty jonkin aakkoston äärellisenä symbolijonona), ja äärellisen aakkoston kaikkien äärellisten sanojen joukko on laskettavissa , niin kaikkien algoritmien joukko on myös laskettavissa. Tämä tarkoittaa, että luonnollisten lukujen joukon ja algoritmijoukon välillä on yksi-yhteen-kuvaus, toisin sanoen mahdollisuus antaa numero jokaiselle algoritmille.

Algoritmien numerointi on samalla kaikkien algoritmisesti laskettujen funktioiden numerointi, ja millä tahansa funktiolla voi olla ääretön määrä numeroita.

Numeroinnin olemassaolo mahdollistaa työskentelyn algoritmien kanssa samalla tavalla kuin numeroiden kanssa. Numerointi on erityisen hyödyllistä tutkittaessa algoritmeja, jotka toimivat muiden algoritmien kanssa.

Algoritmisesti ratkaisemattomia ongelmia

Algoritmin käsitteen formalisointi mahdollisti sellaisten ongelmien olemassaolon tutkimisen, joihin ei ole olemassa algoritmeja ratkaisujen löytämiseksi. Myöhemmin osoitettiin useiden ongelmien ratkaisujen algoritmisen laskennan mahdottomuus, mikä tekee mahdottomaksi ratkaista niitä millään tietokonelaitteella. Funktiota kutsutaan laskettavaksi , jos on olemassa Turingin kone , joka laskee arvon kaikille funktiomäärittelyjoukon elementeille. Jos tällaista konetta ei ole olemassa, funktion sanotaan olevan ei-laskettavissa. Funktion katsotaan olevan ei-laskettavissa, vaikka on olemassa Turingin koneita, jotka pystyvät laskemaan arvon koko syötejoukon osajoukolle [19] .  

Tapausta, jossa funktion arvioinnin tulos on looginen lauseke "tosi" tai "epätosi" (tai joukko {0, 1}), kutsutaan ongelmaksi, joka voi olla ratkaistava tai ratkaisematon funktion laskettavuudesta riippuen. [19] .

On tärkeää määrittää tarkasti sallittu syöttötietojoukko, koska ongelma voi olla ratkaistavissa yhdelle joukolle ja ratkaisematon toiselle.

Yksi ensimmäisistä ongelmista, joiden ratkaisemattomuus osoitettiin, on pysäytysongelma . Se on muotoiltu seuraavasti:

Kun annetaan Turingin koneen ohjelman kuvaus, on määritettävä, päättyykö ohjelma äärellisessä ajassa vai ajaako se rajattomasti tietyllä syötteellä. [kaksikymmentä]

Pysäytysongelman ratkaisemattomuuden todistaminen on tärkeää, koska siihen voidaan lyhentää muita ongelmia. Esimerkiksi yksinkertainen pysähdystehtävä voidaan pelkistää pysäytysongelmaksi tyhjällä rivillä (kun täytyy määrittää tietylle Turingin koneelle, pysähtyykö se, kun se käynnistetään tyhjältä riviltä), mikä todistaa jälkimmäisen ratkaisemattomuuden. [19] .

Algoritmien analyysi

Tietotekniikan leviämisen myötä ohjelmistovikojen riski on kasvanut. Yksi tapa välttää virheitä algoritmeissa ja niiden toteutuksissa on todistaa järjestelmien oikeellisuus matemaattisin keinoin.

Matemaattisten laitteiden käyttöä algoritmien ja niiden toteutusten analysointiin kutsutaan muodollisiksi menetelmiksi. Muodollisiin menetelmiin kuuluu muodollisten määritelmien käyttö ja yleensä joukko työkaluja spesifikaatioiden ominaisuuksien jäsentämiseen ja todistamiseen. Toteutustiedoista poistaminen mahdollistaa järjestelmän ominaisuuksien asettamisen riippumatta sen toteutuksesta. Lisäksi matemaattisten lausuntojen tarkkuus ja ainutlaatuisuus mahdollistavat luonnollisten kielten moniselitteisyyden ja epätarkkuuden välttämisen [21] .

Richard Macen hypoteesin mukaan "virheiden välttäminen on parempi kuin virheiden eliminointi" [22] . Hoaren oletuksen mukaan "ohjelmien todistaminen ratkaisee oikeellisuuden, dokumentoinnin ja yhteensopivuuden ongelman" [23] . Ohjelmien oikeellisuuden todistaminen antaa meille mahdollisuuden paljastaa niiden ominaisuudet suhteessa koko syötedata-alueeseen. Tätä varten oikeellisuuden käsite jaettiin kahteen tyyppiin:

• Osittain oikein  - ohjelma antaa oikean tuloksen niissä tapauksissa, kun se lopettaa.
• Täysi oikeellisuus  - ohjelma lopettaa ja tuottaa oikean tuloksen kaikille syötetietoalueen elementeille.

Oikeuden todistamisen aikana ohjelman tekstiä verrataan halutun syöttö-lähtötietojen suhteen määrittelyyn. Hoare-tyyppisissä todisteissa määrittely on lauseiden muodossa, joita kutsutaan ennakko- ja jälkiehdoksi. Yhdessä itse ohjelman kanssa niitä kutsutaan myös Hoare-kolmioksi . Nämä lausunnot on kirjoitettu muodossa

missä P  ovat ennakkoehtoja, joiden on oltava tosia ennen ohjelman Q suorittamista , ja S ovat jälkiehdot, jotka ovat tosia ohjelman päättymisen jälkeen.

Muodollisia menetelmiä on sovellettu menestyksekkäästi moniin ongelmiin, erityisesti: elektronisten piirien, tekoälyn, rautateiden automaattisten järjestelmien kehittäminen, mikroprosessorien todentaminen , standardien määrittely sekä ohjelmien määrittely ja todentaminen [24] .

Aukioloajat

Yleinen kriteeri algoritmien arvioinnissa on käyntiaika ja järjestys, jossa ajoaika kasvaa syötetyn tiedon määrästä riippuen. [25]

Jokaista tehtävää varten ne muodostavat tietyn luvun, jota kutsutaan sen kooksi. Esimerkiksi matriisien tulon laskentatehtävän koko voi olla suurin matriisitekijöiden koko, graafisissa tehtävissä koko voi olla graafin reunojen lukumäärä.

Aikaa, jonka algoritmi käyttää tehtävän koon funktiona, kutsutaan tämän algoritmin aikakompleksisuudeksi T ( n ). Tämän funktion käyttäytymisen asymptotiikkaa ongelman koon kasvaessa kutsutaan asymptoottiseksi aikakompleksisuudeksi, ja sen kuvaamiseen käytetään merkintää "O" big . Esimerkiksi jos algoritmi käsittelee syötetietoa ajassa cn² , jossa c  on jokin vakio , niin tällaisen algoritmin aikamonimutkaisuuden sanotaan olevan O ( n² ).

Asymptoottinen monimutkaisuus on tärkeä, koska se on ominaisuus algoritmille, ei sen erityiselle toteutukselle: "optimoimalla" operaatiot, muuttamatta algoritmia, voidaan muuttaa vain kerrannaiskerrointa c , mutta ei asymptotiikkaa. Asymptoottinen monimutkaisuus on pääsääntöisesti se päätekijä, joka määrää algoritmin käsittelemien tehtävien koon.

Usein algoritmia kehitettäessä yritetään vähentää asymptoottista aikamonimutkaisuutta pahimmissa tapauksissa. Käytännössä on tapauksia, jolloin "yleensä" nopeasti toimiva algoritmi riittää.

Karkeasti ottaen keskimääräisen asymptoottisen aikamonimutkaisuuden analyysi voidaan jakaa kahteen tyyppiin: analyyttiseen ja tilastolliseen. Analyyttinen menetelmä antaa tarkempia tuloksia, mutta sitä on vaikea käyttää käytännössä. Mutta tilastollinen menetelmä mahdollistaa monimutkaisten ongelmien nopean analysoinnin [26] .

Seuraavassa taulukossa on lueteltu yleisimmät asymptoottiset kompleksit kommentteineen [27] .

Lähtötietojen ja jonkin tuloksen olemassaolo

Algoritmi on tarkasti määritelty ohje, jota soveltamalla peräkkäin lähtötietoihin saat ratkaisun ongelmaan. Jokaiselle algoritmille on olemassa tietty joukko objekteja, joita voidaan käyttää syöttötietoina. Esimerkiksi reaalilukujen jakamisalgoritmissa osinko voi olla mikä tahansa, eikä jakaja voi olla yhtä suuri kuin nolla.

Algoritmi ei yleensä ratkaise yhtä tiettyä ongelmaa, vaan tietyn luokan ongelmia. Joten summausalgoritmia voidaan soveltaa mihin tahansa luonnollisten lukujen pariin. Tämä ilmaisee sen massaominaisuuden, eli kyvyn käyttää samaa algoritmia toistuvasti mihin tahansa saman luokan tehtävään.

Algoritmien ja ohjelmien kehittämiseen käytetään algoritmisointia - algoritmien  systemaattista kokoamista sovellettujen ongelmien ratkaisemiseksi. Algoritmisointia pidetään pakollisena vaiheena ohjelmien kehittämisessä ja ongelmien ratkaisemisessa tietokoneella. Juuri sovelletuille algoritmeille ja ohjelmille determinismi, tehokkuus ja massaluonne sekä asetettujen tehtävien ratkaisutulosten oikeellisuus ovat oleellisen tärkeitä.

Algoritmi on selkeä ja tarkka ohje esiintyjälle suorittaa sarja toimenpiteitä tavoitteen saavuttamiseksi.

Algoritmien esitys

Algoritmien merkintämuodot:

• verbaalinen tai sanallinen: luonnollisella kielellä;
• algoritmisella kielellä: ohjelmointikieli tai pseudokoodi ;
• konekoodissa ( tietokoneen prosessorikoodi);
• matemaattisessa merkinnässä (katso yllä olevat vaihtoehdot);
• kaavamainen:
  • grafiikka (esimerkiksi vuokaaviot ja DRAKON-kaaviot );
  • rakennegrammit ( Nassi-Schneiderman-kaaviot ).

Yleensä aluksi (ideatasolla) algoritmi kuvataan sanoin, mutta toteutusta lähestyttäessä se saa yhä enemmän muodollisia ääriviivoja ja muotoilua esittäjän ymmärtämällä kielellä (esim. konekoodi ).

Algoritmien tehokkuus

Vaikka algoritmin määrittely vaatii vain rajallisen määrän vaiheita, jotka vaaditaan tuloksen saavuttamiseksi, käytännössä valtavan määrän vaiheiden toteuttaminen johtaa ohjelmien pitkäkestoiseen suorittamiseen, ja yleensä on muita rajoituksia (koolla). ohjelma, sallituista toimista). Tässä yhteydessä esitellään sellaisia ​​käsitteitä kuin algoritmin monimutkaisuus ( aika , ohjelman koko, laskennallinen ja muut).

Jokaiselle tehtävälle voi olla useita algoritmeja, jotka johtavat tavoitteeseen. Algoritmien tehokkuuden lisääminen on yksi tietojenkäsittelytieteen ongelmista, 1940 -luvulta lähtien tähän liittyen on rakennettu useita asymptoottisesti tehokkaampia algoritmeja perinteisiin ongelmiin (esim. nopeat kertolaskualgoritmit , Chudnovskyn algoritmi numeron laskeminen ).

Esimerkki

Euklidesin algoritmi  on tehokas menetelmä suurimman yhteisen jakajan (gcd) laskemiseen. Nimetty kreikkalaisen matemaatikon Euclidin mukaan; yksi vanhimmista edelleen käytössä olevista algoritmeista [28] .

Kuvattu Eukleideen "alkuissa" (noin 300 eKr.), nimittäin kirjoissa VII ja X. Seitsemännessä kirjassa kuvataan kokonaislukujen algoritmi ja kymmenennessä segmenttien pituuksille.

Algoritmista on useita muunnelmia, alla on pseudokoodilla kirjoitettu rekursiivinen versio :

GCD numeroista 1599 ja 650:

Katso myös

• Metaalgoritmi
• Algoritmien huutokauppa
• Luettelo algoritmeista
• Algoritmien teoria

Muistiinpanot

1. ↑ Semenov A. L. ALGORITMI . Suuri venäläinen tietosanakirja. Sähköinen versio (2016). Haettu 29. lokakuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 30. lokakuuta 2018. (määrätön)
2. ↑ Kleene 1943 Davisissa 1965: 274
3. ↑ Rosser 1939 Davisissa 1965: 225
4. ↑ Knuth, 2006 , 1.1. Algoritmit.
5. ↑ Robert Andrew Wilson, Frank C. Keil. MIT Encyclopedia of the Cognitive Sciences . - MIT Press, 2001. - S. 11. - 1106 s. — ISBN 9780262731447 . Arkistoitu 17. marraskuuta 2021 Wayback Machinessa
6. ↑ (Igoshin, s. 317)
7. ↑ V. A. Uspensky: "Matematiikka on humanitaarinen tiede"  // Trinity Variant. - 2014. - 28. tammikuuta ( nro 2 (146) ). - s. 4-6 . Arkistoitu alkuperäisestä 27. marraskuuta 2018. (Venäjän kieli)
8. ↑ Perusteet: Turingin kone (tulkin kanssa!) . Good Math, Bad Math (9. helmikuuta 2007). Arkistoitu alkuperäisestä 2. helmikuuta 2012. (määrätön)
9. ↑ (Igoshin, jakso 33)
10. ↑ Encyclopedia of Cybernetics , osa 2 , s. 90-91.
11. ↑ (Igoshin, jakso 34)
12. ↑ 1 2 "Todennäköisyyspohjaisia ​​algoritmeja ei pidä sekoittaa menetelmiin (jotka kieltäydyn kutsumasta algoritmeiksi), jotka tuottavat tuloksen, jonka oikea todennäköisyys on suuri. On oleellista, että algoritmi tuottaa oikeat tulokset (inhimilliset tai tietokonevirheet huomioimatta), vaikka tämä tapahtuisi hyvin pitkän ajan kuluttua." Henri Cohen. Laskennallisen algebrallisen lukuteorian kurssi  . - Springer-Verlag , 1996. - s  . 2 . — ISBN 3-540-55640-0 .
13. ↑ Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rives't, Clifford Stein. Johdatus  algoritmeihin . - 2. - MIT Press , 2001. - S. 531. - ISBN 0-262-03293-7 .
14. ↑ (Osa 12, s. 12-22, Atallah, 2010)
15. ↑ Dina Goldin, Peter Wegner. Turingin teesi myytin alkuperä , CS-04-14, lokakuu 2004
16. ↑ Interaktiivinen laskenta on tehokkaampaa kuin ei-interaktiivinen Arkistoitu 19. marraskuuta 2015 Wayback Machinessa , c2.com
17. ↑ M. Gary, D. Johnson, Tietojenkäsittelykoneet ja vaikeat ongelmat, M .: Mir, 1982, C. 155.
18. ↑ (Igoshin, jakso 36)
19. ↑ 1 2 3 Peter Linz. Johdatus muodollisiin kieliin ja  automaatteihin . — Jones and Bartlett Publishers, 2000. - ISBN 0-7637-1422-4 .
20. ↑ Lasketettavuus ja monimutkaisuus, Encyclopedia of Computer Science and Technology , Facts On File, 2009, ISBN 978-0-8160-6382-6 . 
21. ↑ (O'Regan, osio 4.5)
22. ↑ (osio 5.3.6, Enders, 2003)
23. ↑ (osio 5.3.7, Enders, 2003)
24. ↑ (O'Regan, s. 119)
25. ↑ A. Aho , J. Hopcroft , J. Ullman . Laskennallisten algoritmien rakentaminen ja analyysi = The Design and Analysis of Computer Algorithms . - M . : "Mir", 1979. (Venäjän kieli)
26. ↑ (Atallah, jakso 11, 2010)
27. ↑ (osio 1 kirjassa Atallah, 2010)
28. ↑ Knuth D. Tietokoneohjelmoinnin taito, osa 2 : Puolinumeeriset algoritmit  . – 3. — Addison–Wesley , 1997. — ISBN 0201896842 .

Kirjallisuus

• Thomas H. Cormen, Charles I. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. Algoritmit: rakentaminen ja analyysi = Johdanto algoritmeihin, kolmas painos. - 3. - M. : "Williams" , 2013. - 1328 s. - ISBN 978-5-8459-1794-2 .
• Donald Knuth . The Art of Computer Programming = The Art of Computer Programming, voi. 1. Perusalgoritmit. - 3. painos - M . : "Williams" , 2006. - V. 1. Perusalgoritmit. - S. 720. - ISBN 0-201-89683-4 .
• Thomas H. Cormen. Algoritmit: Johdantokurssi = Algoritmit auki. - M. : "Williams" , 2014. - 208 s. — ISBN 978-5-8459-1868-0 .
• Igoshin VI Matemaattinen logiikka ja algoritmien teoria. - 2. painos, poistettu .. - M . : Tietokeskus "Akatemia", 2008. - 448 s. — ISBN 5-7695-1363-2 .

Linkit

• " Sana "algoritmi": alkuperä ja kehitys ", V. V. Shilov, Potentiaalinen aikakauslehti  - historiallisen tiedon lähde.
• Tietoja algoritmista  (pääsemätön linkki 22-05-2013 [3452 päivää] - historia ,  kopio ) tietosanakirjassa "Maailman ympäri"

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani iso kiinalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen italialainen maailman ympäri kroatialainen Britannica (verkossa) Brockhaus Treccani Moderni Ukraina
Bibliografisissa luetteloissa BNE : XX527980 BNF : 119358199 GND : 4001183-5 J9U : 987007293927505171 LCCN : sh85003487 NDL : 00560337 NKC : ph114026