Aritmeettis-geometrinen keskiarvo

Aritmeettis-geometrinen keskiarvo ( aritmeettinen-geometrinen keskiarvo , AGS ) on arvo, joka on määritetty kahdelle suurelle ja sarjan rajana , , jossa: $a$ $b$ $\{a_{N}\}$ $\{b_{N}\}$

a_{0}=a\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad b_{0}=b

a_{1}={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{1}={\sqrt {a_{0}b_{0}}}

a_{2}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}\quad \quad \quad \quad b_{2}={\sqrt {a_{1}b_{1}}}

…

a_{N}={\frac {a_{{N-1}}+b_{{N-1}}}{2}}\quad \quad b_{N}={\sqrt {a_{{N-1 }}b_{{N-1}}}}

on samalle rajalle: [1] [2] $N\to +\infty$

\lim _{{N\to \infty }}a_{N}=\lim _{{N\to \infty }}b_{N}=M(a,b)

AGS:llä voidaan laskea nopeasti matemaattisen heilurin tarkka ajanjakso . [3]

Kahden suuren muunneltu aritmeettis-geometrinen keskiarvo ( MAGS )jaja (kasvavan) sekvenssin (yhteinen) raja, jossa,ja. $x$ $y$ $\{x_{n}\}_{{n=1}}^{\infty }$ ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ $x_{0}=x$ $y_{0}=y$ $z_{0}=0$

x_{n+1}={\frac {x_{n}+y_{n}}{2}}

y_{n+1}=z_{n}+{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

z_{n+1}=z_{n}-{\sqrt {(x_{n}-z_{n})(y_{n}-z_{n)))))

MAGS:ia voidaan käyttää nopeasti laskemaan kierteen pituus lineaarisessa yhdensuuntaisessa hylkimisvoimien kentässä.

MAGS on ilmaistavissa AGS:llä, tällainen epäsuora MAGS-laskenta on parempi laskettaessa ellipsin kehän pituutta puoliakseleilla ja : $L$ $a$ $b$

L={\frac {2\pi N(a^{2};b^{2})}{M(a;b))),

missä ovat AGS numerot ja , ja ovat MAGS numerot ja . Siten tällainen kaava ilmaisee Gaussin menetelmän toisen tyyppisen täydellisen elliptisen integraalin laskemiseksi neliöllisellä konvergenssilla. [3] $M(x;y)$ $x$ $y$ $N(x;y)$ $x$ $y$

Sovellukset

AGS:n ja MAGS:n avulla on mahdollista laskea joidenkin transsendenttisten funktioiden ja lukujen arvot $\pi$ . Esimerkiksi Gauss-Salamina-kaavan [4] mukaan :

\pi ={\frac {2M\left(1;{\sqrt {2}}\right)^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{ j}c_{j}^{2}}},

missä , , . $c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$ $a_{0}=1$ $b_{0}={\sqrt {2}}$

Samaan aikaan, jos otamme:

a_{0}=1,\quad \quad \quad b_{0}=\cos \alpha

sitten

\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )))

missä on täydellinen elliptinen integraali $K(\alpha )$

K(\alpha )=\int _{0}^{\frac {\pi }{2))(1-\alpha ^{2}\sin ^{2}\theta )^{-{\ frac {1}{2}}}d\theta

Eli se ilmaistaan kaavalla: $\pi$

\pi ={\frac {M({\sqrt {2)))^{2}}{N(2)-1}}

missä on AGS 1 ja , ja on MAGS 1 ja [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Käyttämällä tätä ominaisuutta sekä Landenin muunnoksia [5] Brent ehdotti [ 6] ensimmäisiä AGS-algoritmeja yksinkertaisimpien transsendenttisten funktioiden nopeaan laskemiseen ( ). Jatkossa monet kirjoittajat jatkoivat AGS-algoritmien tutkimista ja käyttöä [7] $e^{x},\cos x,\sin x$

Muistiinpanot

↑ B.C. Carlson. Algoritmit, jotka sisältävät aritmeettisia ja geometrisia keskiarvoja (englanniksi) // Amer. Matematiikka. Kuukausi : päiväkirja. - 1971. - Voi. 78 . - s. 496-505 . - doi : 10.2307/2317754 .
↑ B.C. Carlson. Algoritmi logaritmien ja arctangenttien laskemiseen // Math.Comp . : päiväkirja. - 1972. - Voi. 26 , nro. 118 . - s. 543-549 . - doi : 10.2307/2005182 .
↑ 1 2 3 Adlaj, Semjon (syyskuu 2012), Kaunopuheinen kaava ellipsin kehälle , AMS: n tiedotteet 76 (8): 1094–1099, ISSN 1088-9477 , doi : 10.1090 , < noti879 ://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf > Arkistoitu 6. toukokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ E. Salamin Aritmeettis-geometrisen keskiarvon laskenta // Math . Comp. : päiväkirja. - 1976. - Voi. 30 , ei. 135 . - s. 565-570 . - doi : 10.2307/2005327 . $\pi$
↑ Landen, J. XXVI. Tutkimus yleisestä lauseesta minkä tahansa kartiomaisen hyperabelin minkä tahansa kaaren pituuden löytämiseksi kahden elliptisen kaaren avulla ja siitä johdettuja muita uusia ja hyödyllisiä lauseita // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1775. - Voi. 65 . - s. 283-289 . — ISSN 0261-0523 . - doi : 10.1098/rstl.1775.0028 .
↑ R.P. Brent . Perustoimintojen nopea monitarkkuusarviointi // J. Assoc. Comput. Mach. : päiväkirja. - 1976. - Voi. 23 , ei. 2 . - s. 242-251 . - doi : 10.1145/321941.321944 .
↑ JM Borwein ja PB Borwein Pi ja yhtiökokous . - New York: Wiley, 1987. - ISBN 0-471-83138-7 .

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
Muut	Jakelukeskuksen mittarit