Gaussin funktio

Gaussin funktio ( Gaussin , Gaussin , Gaussin funktio ) on todellinen funktio , joka kuvataan seuraavalla kaavalla:

g\left(x\right)=ae^{-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}}

jossa parametrit ovat mielivaltaisia reaalilukuja . Gauss esitteli vuonna 1809 normaalijakauman tiheyden funktiona , ja sillä on suurin merkitys tässä ominaisuudessa, tässä tapauksessa parametrit ilmaistaan keskihajontana ja matemaattisena odotuksena : $a,b,c$ $\sigma$ $\mu$

a={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))

... _ _

b=\mu

c=\sigma

Gaussin funktion kaavio on kellon muotoinen käyrä, parametri määrittää kaavion maksimikorkeuden - kellon huippu, vastaa huipun siirtymisestä nollasta (pisteessä - huippu on nollassa), ja vaikuttaa kellon leveyteen (alueeseen). $a>0$ $c\neq 0$ $a$ $b$ $b = 0$ $c$

on moniulotteisia yleistyksiä . Todennäköisyysteorian , tilaston ja muiden lukuisten normaalijakauman tiheyden funktioiden sovellusten lisäksi Gaussilla on itsenäinen arvo [ matemaattisessa analyysissä , matemaattisessa fysiikassa ja signaalinkäsittelyteoriassa.

Ominaisuudet

Gaussin funktion ominaisuudet liittyvät sen rakentamiseen eksponentiaalisesta funktiosta ja koverasta neliöfunktiosta , Gaussin logaritmi on kovera neliöfunktio.

Parametri liittyy kaavion kellon puolileveyteen seuraavasti: $c$

w=2{\sqrt {2\ln 2}}\ c\approx 2{,}35482\cdot c

Gaussin funktio voidaan ilmaista graafin kellon puolileveyden avulla seuraavasti: $w$

g(x)=ae^{-{\frac {4\ln(2)(xb)^{2}}{w^{2}}}}

Taivutukset ovat kaksi pistettä, joissa . $g(x)$ $x=b\pm c$

Gaussin funktio on analyyttinen ja pyrkii olemaan nolla molempien äärettömien rajassa :

\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0

Koska Gaussi koostuu eksponentiaalisesta funktiosta ja aritmeettisista operaatioista, se on elementaarinen , mutta sen antiderivaata ei ole elementaarinen; Gaussin funktion integraali:

\int \limits _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t

on (vakiokertoimeen asti) virhefunktio , joka on erikoisfunktio . Tässä tapauksessa koko lukuviivan integraali (eksponentiaalisen funktion ominaisuuksista johtuen) on vakio [1] :

\int _{-\infty }^{\infty }ae^{-{(xb)^{2} \over 2c^{2))}\,dx=ac\cdot {\sqrt {2\ pi}}

Tästä integraalista tulee yhtenäisyys vain seuraavilla ehdoilla:

a={\frac {1}{c{\sqrt {2\pi ))))

ja tämä antaa tarkalleen sen tapauksen, jossa Gaussin on funktio satunnaismuuttujan normaalijakauman tiheydestä keskiarvon ja varianssin kanssa . $\mu=b$ $\sigma ^{2}=c^{2}$

Gaussin tulo on Gaussin funktio; kahden Gaussin funktion konvoluutio antaa Gaussin funktion, lisäksi konvoluutioparametri ilmaistaan siihen sisältyvien Gaussin vastaavien parametrien perusteella: . Kahden normaalijakauman tiheysfunktion tulo, joka on Gaussin funktio, ei yleensä anna normaalijakauman tiheysfunktiota. $c$ ${\displaystyle c^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2))$

Moniulotteiset yleistykset

Esimerkki Gaussin funktion kaksiulotteisesta versiosta:

{\displaystyle g(x,y)=A\cdot e^{\left(-\left({\frac {(x-x_{0})^{2)){2\sigma _{x}^{ 2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\right)\right)))

tässä määrittää kellon korkeuden, määrittää kellon huipun siirtymisen nolla- abskissasta ja vastaa kellon laajuudesta. Tilavuus tällaisen pinnan alla on: $A$ $(x_0, y_0)$ $(\sigma _{x},\sigma _{y})$

V=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }g(x,y)\,dx\,dy=2\pi A\sigma _{x}\sigma _{y}

Yleisimmässä muodossaan kaksiulotteinen Gaussi määritellään seuraavasti:

g(x,y)=A\exp \left(-\left(a(x-x_{0})^{2}+2b(x-x_{0})(y-y_{0} )+c(y-y_{0})^{2}\oikea)\oikea)

missä on matriisi:

\left[{\begin{matrix}a&b\\b&c\end{matrix}}\right]

on positiivisesti määritelty .

Gaussin funktion muunnelma -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa : $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax)

jossa on komponenttien sarakevektori , on positiivinen määrätty matriisi , jonka koko on , ja on transponointioperaatio . $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ $n$ $A$ $n\ kertaa n$ ${\näyttötyyli x^{T))$ $x$

Tällaisen Gaussin funktion integraali koko avaruudessa : $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-x^{T}Ax)\,dx={\sqrt {\frac {\pi ^{n}}{\det A }}}

On mahdollista määritellä -ulotteinen versio siirrolla: $n$

g(x)=\exp(-x^{T}Ax+s^{T}x)

missä on siirtovektori ja matriisi on symmetrinen ( ) ja positiivinen määrätty. $s=(s_{1},\dots ,s_{n})$ $A$ $A^{T}=A$

Super Gaussin funktio

Supergauss-funktio on Gaussin funktion yleistys, jossa eksponenttiargumentti nostetaan potenssiin: $P$

sg(x)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o}))^{2}}{2\sigma _{x}^{2}}}\ oikea)^{P}\oikea)

jota on käytetty kuvaamaan Gaussin säteiden ominaisuuksia [2] . Kaksiulotteisessa tapauksessa super-Gaussin funktiota voidaan tarkastella eri tehoilla argumenteissa ja [3] : $P_{x}$ ${\displaystyle P_{y))$

sg(x,y)=A\exp \left(-\left({\frac {(x-x_{o})^{2}}{2\sigma _{x}^{2}} }\oikea)^{P_{x}}-\vasen({\frac {(y-y_{o})^{2}}{2\sigma _{y}^{2}}}\oikea)^ {P_{y}}\oikea)

Sovellukset

Gaussin funktioiden ja monimuuttujien yleistysten pääsovellus on normaalijakauman ja monimuuttujaisen normaalijakauman todennäköisyystiheysfunktion roolissa . Funktiolla on itsenäinen merkitys useille matemaattisen fysiikan yhtälöille , erityisesti Gaussilaiset ovat Greenin funktioita homogeenisen ja isotrooppisen diffuusion yhtälölle (vastaavasti lämpöyhtälölle ), ja Weierstrassin muunnos on operaatio yleisen funktion konvoluutio , joka ilmaisee yhtälön alkuehdot Gaussin funktiolla. Myös Gaussin on kvanttiharmonisen oskillaattorin perustilan aaltofunktio .

Laskennallisessa kemiassa ns. Gaussin orbitaaleja käytetään määrittämään molekyylikiertoradat , jotka ovat Gaussin funktioiden lineaarisia yhdistelmiä .

Gauss-funktioita ja niiden erillisiä vastineita (kuten diskreetti Gaussin ydin ) käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä , kuvankäsittelyssä , äänisynteesissä [4] ; erityisesti Gaussin suodatin ja Gaussin sumeus määritellään Gaussin termein . Gaussin funktiot osallistuvat myös tietyntyyppisten keinotekoisten hermoverkkojen määrittelyyn.

Muistiinpanot

↑ Campos, 2014 , s. 1-2.
↑ A. Parent, M. Morin, P. Lavigne. Super-Gaussin kenttäjakaumien leviäminen // Optinen ja kvanttielektroniikka. - 1992. - Nro 9 . - P. S1071-S1079.
↑ GLAD-optisen ohjelmiston komentojen käsikirja, GAUSSIAN-komennon syöttö . Applied Optics Research (15.12.2016). Arkistoitu alkuperäisestä 10. kesäkuuta 2017. (määrätön)
↑ C. R. Popa. Nykytilan analogiset epälineaariset funktiosyntetisaattorirakenteet . - Springer Sveitsi, 2013. - S. 59. - 198 s. - ISBN 983-3-319-01035-9.

Kirjallisuus

LMBC Campos. 1.1. Gaussin funktioiden integraalien arviointi // Yleistetty laskenta sovelluksella aineeseen ja voimiin. - Boca Raton: CRC Press, 2014. - 823 s. — ISBN 978-1-4200-7115-3 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Gaussian Function (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Bell Curven / MathPagesin integrointi