Tila-ajallinen kaavio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Avaruus-aikakaavion , joka tunnetaan myös nimellä Minkowski-kaavio , kehitti Hermann Minkowski vuonna 1908 ja se kuvaa tilan ja ajan ominaisuuksia erityisessä suhteellisuusteoriassa . Sen avulla ilman matemaattisia yhtälöitä voidaan ymmärtää kvalitatiivisesti sellaisia ​​ilmiöitä kuin aikadilataatio ja Lorentzin supistuminen .

Minkowski-kaaviot ovat kaksiulotteinen kaavio, joka kuvaa maailmankaikkeudessa tapahtuvia tapahtumia ja joka koostuu yhdestä avaruus- ja aikaulottuvuudesta. Toisin kuin perinteiset aika-etäisyyskaaviot, etäisyys näytetään vaaka-akselilla ja aika pystyakselilla. Lisäksi akselien mittayksiköt valitaan siten, että valonnopeudella liikkuva kohde on kuvattu 45° kulmassa karttaakseleihin nähden.

Siten jokainen kohde, kuten tarkkailija tai ajoneuvo, esitetään kaaviossa tietyllä viivalla, jota kutsutaan sen maailmanviivaksi . Lisäksi jokainen kaavion piste edustaa tiettyä sijaintia tilassa ja ajassa, ja sitä kutsutaan tapahtumaksi riippumatta siitä, mitä siellä tapahtuu.

Perusteet

Termiä "Minkowskin diagrammi" käytetään sekä yleisessä että tietyssä merkityksessä. Yleensä Minkowski-kaavio on kaksiulotteinen graafinen esitys Minkowski-avaruuden osasta , yleensä rajoitettuna yhteen tilaulottuvuuteen. Näiden kaavioiden mittayksiköt on otettu siten, että tapahtuman valokartio koostuu viivoista, joiden kaltevuus on plus tai miinus yksi [1] . Vaakaviivat vastaavat tavanomaista käsitettä samanaikaisista tapahtumista paikallaan olevan tarkkailijan origossa.

Erillinen Minkowski-kaavio havainnollistaa Lorentzin muunnosten tulosta . Lorentzin muunnokset yhdistävät kaksi inertiavertailukehystä , joissa paikallaan oleva havaitsijalepää (0, 0) muuttaa nopeutta x - akselilla . Tarkkailijan uusi aika-akseli muodostaa kulman α edellisen aika-akselin kanssa, jossa α < . Uudessa vertailukehyksessä samanaikaiset tapahtumat ovat samansuuntaisia ​​linjan kanssa, joka on kallistettu α :lla edelliseen samanaikaisuusviivaan nähden. Tämä on uusi x - akseli . Sekä alkuperäisellä akselijoukolla että uudella akselijoukolla on ominaisuus, että ne ovat kohtisuorassa Minkowski-avaruuden sisätuloon (skalaarituloon) tai pisteen relativistiseen tuloon nähden .

Riippumatta α : n arvosta suora t = x muodostaa universaalin [2] puolittajan .

Tila- ja aika-akselin yksiköt voidaan valita esimerkiksi seuraavasti:

Siten valopolut esitetään akselien välisen kulman puolittajan suuntaisilla viivoilla.

Avaruus-aikakaaviot Newtonin fysiikassa

Mustat akselit, jotka on merkitty oheisessa kaaviossa x ja ct , edustavat levossa olevan tarkkailijan koordinaattijärjestelmää, joka on kohdassa x = 0 . Havaitsijan maailmanviiva osuu yhteen aika-akselin ct kanssa . Jokainen tämän akselin suuntainen viiva vastaa paikallaan olevaa kohdetta, mutta eri asennossa. Sininen viiva kuvaa objektia, joka liikkuu vakionopeudella v oikealle, kuten liikkuvaa tarkkailijaa.

Sininen viiva, joka on merkitty ct', voidaan tulkita toisen havaitsijan aika-akseliksi. Yhdessä polun akselin kanssa (merkitty x :llä ja molemmille havainnoijille identtinen) edustaa heidän koordinaattijärjestelmäänsä. Molemmat tarkkailijat sopivat koordinaattijärjestelmiensä alkupisteiden sijainnista . Liikkuvan havainnoijan akselit eivät ole kohtisuorassa toisiinsa nähden ja sen aika-akselilla oleva asteikko on venynyt. Tietyn tapahtuman koordinaattien määrittämiseksi on piirrettävä kaksi viivaa, joista kumpikin on yhdensuuntainen tapahtuman läpi kulkevan kahden akselin kanssa. Niiden leikkauspisteet akselien kanssa antavat tapahtuman koordinaatit.

Tapahtuman A paikan ja ajan määrittäminen kaaviossa odotetusti johtaa molemmille havainnoijille samaan aikaan. Paikalle saadaan erilaisia ​​arvoja, koska liikkuva tarkkailija on lähestynyt tapahtuman A paikkaa, koska t = 0 . Pääsääntöisesti kaikki tapahtumat linjalla, joka on yhdensuuntainen polun akselin ( x -akseli ) kanssa, tapahtuvat samanaikaisesti molemmille havainnoijille. On olemassa vain yksi globaali aika t = t ′ , joka mallintaa yhden yhteisen sijaintiakselin olemassaolon. Toisaalta kahdesta eri aika-akselista johtuen tarkkailijat yleensä mittaavat eri polun koordinaatteja samalle tapahtumalle. Tämä graafinen muunnos x :stä ja t :stä ​​x':ksi ja t' :ksi ja päinvastoin kuvataan matemaattisesti niin kutsutuilla Galilean muunnoksilla .

Avaruus-aikakaaviot erityisessä suhteellisuusteoriassa

Albert Einstein (1905) havaitsi, että Newtonin kuvaus on väärä [3] . Hermann Minkowski toimitti graafisen tulkintansa vuonna 1908 [4] . Avaruudella ja ajalla on ominaisuuksia, jotka johtavat erilaisiin sääntöihin koordinaattien muuntamiseen liikkuvien havaintojen tapauksessa. Erityisesti tapahtumat, jotka tapahtuvat samanaikaisesti yhden tarkkailijan näkökulmasta, tapahtuvat toiselle eri aikoina.

Minkowskin diagrammissa tämä samanaikaisuuden suhteellisuusteoria vastaa erillisen polkuakselin käyttöönottoa liikkuvalle havainnoijalle. Yllä kuvattua sääntöä noudattaen jokainen tarkkailija tulkitsee kaikki tapahtumat polkunsa akselin suuntaisella viivalla samanaikaisesti. Tapahtumien järjestystä tarkkailijan näkökulmasta voidaan havainnollistaa graafisesti siirtämällä tätä viivaa kaaviossa alhaalta ylös.

Jos aika-akseleille osoitetaan ct t :n sijasta , niin molempien polkuakselien x ja x' välinen kulma α on identtinen aika-akseleiden ct ja ct' välisen kulman kanssa . Tämä seuraa erityissuhteellisuusteorian toisesta postulaatista, jonka mukaan valon nopeus on sama kaikille havainnoijille heidän suhteellisesta liikkeestään riippumatta (katso alla). Kulma α saadaan kaavasta [5]

.

Vastaava muunnos x :stä ja t :stä ​​x':ksi ja t': ksi ja päinvastoin kuvataan matemaattisesti Lorentzin muunnoksilla . Riippumatta siitä, mitkä tila- ja aikaakselit syntyvät tällaisesta muunnoksesta, Minkowski-kaaviossa ne vastaavat konjugaatin halkaisijoitahyperbolien paria . Akseleiden asteikko on annettu seuraavasti: jos U  on yksikköpituus ct- ja x -akselilla , vastaavasti, yksikköpituus ct'- ja x'- akseleilla on: [6]

Ct - akseli  on kellon maailmanviiva, joka lepää S :ssä , U edustaa kahden tällä maailmanviivalla tapahtuvan tapahtuman välistä kestoa, jota kutsutaan myös oikeaksi ajaksi näiden tapahtumien välillä. Pituus U x - akselilla edustaa S :ssä lepäävän tangon oikeaa pituutta . Samaa tulkintaa voidaan soveltaa myös etäisyyteen U ' ct'- ja x' -akseleilla kellojen ja tankojen osalta, jotka lepäävät S' : ssä .

Loedel-kaaviot

Kun lepotilassa olevan vertailukehyksen tila- ja aika-akselit ovat suorassa kulmassa, liikkuvassa vertailukehyksessä akselit muodostavat terävän kulman. Koska viitekehysten on oltava samanarvoisia, syntyy vaikutelma, että tällainen epäsymmetria rikkoo ekvivalenssia. Siitä huolimatta on osoitettu, että levossa olevan ja liikkeessä olevan "välissä" on viitekehys, jossa tämä symmetria näkyy ("välivertailukehys") [7] . Tässä vertailukehyksessä kaksi alkuperäistä viitekehystä liikkuvat vastakkaisiin suuntiin samalla nopeudella. Tällaisten koordinaattien käyttö tekee molempien akselien pituus- ja aikayksiköistä samat. Jos β =vcja γ =yksi√ 1 − β 2annetaan S:n ja S':n välissä, niin nämä lausekkeet liittyvät arvoihin välijärjestelmässä S 0 seuraavasti: [7] [8]

Esimerkiksi jos β = 0,5 välillä S ja S' , niin ne liikkuvat (2):n ansiosta välijärjestelmässä S 0 suunnilleen ±0,268 s :sta eri suuntiin. Toisaalta, jos β 0 = 0,5 S 0 :ssa , niin (1):n perusteella suhteellinen nopeus S:n ja S':n välillä niiden omissa vertailukehyksissä on 0,8 c . Akseleiden S ja S' rakentaminen suoritetaan tavanomaisella menetelmällä käyttäen tan α = β 0 välivertailukehyksen ortogonaalisten akseleiden suhteen (kuva 1).

Kuitenkin käy ilmi, että kun rakennetaan tällainen symmetrinen kaavio, on mahdollista saada kaavioiden välisiä suhteita jopa ilman väliviitekehystä ja β 0 :aa ollenkaan . Sen sijaan S:n ja S':n välillä suhteellinen nopeus β =vcseuraavassa lausekkeessa, joka antaa saman tuloksen: [9] Jos φ on akselien ct ′ ja ct (tai x :n ja x ′ ) välinen kulma ja θ akselien x ′ ja ct ′ välinen kulma , niin: [9] [ 10] [11] [12]

Kuvasta 2 on ilmeistä kaksi rakennusmenetelmää: (a) x -akseli on suunnattu kohtisuoraan ct' - akseliin nähden , x'- ja ct -akselit lasketaan yhteen kulmassa φ ; (b) x' -akseli piirretään kulmaan θ ct'-akseliin nähden , x - akseli lisätään kohtisuoraan ct'-akseliin nähden , ct - akseli on kohtisuorassa x' - akseliin nähden.

Vektorin komponentit voidaan osoittaa selkeästi seuraavilla kaavioilla (kuva 3): vektorin R yhdensuuntaiset projektiot ( x , t ; x ′ , t ') ovat sen vastakkaisia ​​komponentteja, ( ξ , τ ; ξ ′, τ ) ′) ovat sen kovarianttikomponentteja [10] [11] .

Ajan hidastuminen

Relativistinen aikadilataatio tarkoittaa, että kellot (jotka näyttävät oikeaa aikaa ), jotka liikkuvat suhteessa tarkkailijaan, hidastuvat. Itse asiassa itse ajan havaitaan olevan hidas liikkuvan kellon viitekehyksessä. Tämä näkyy välittömästi viereisestä Loedel-kaaviosta, koska kahden akselijärjestelmän pituusyksiköt ovat identtisiä. Siten kahden järjestelmän lukemien vertaamiseksi voimme yksinkertaisesti verrata pituuksia sivulla näkyvällä tavalla: meidän ei tarvitse ottaa huomioon sitä tosiasiaa, että kunkin akselin pituusyksiköitä vääristää tekijä.

joka meidän olisi otettava huomioon vastaavassa Minkowski-kaaviossa.

Oletetaan, että havainnoija, jonka viitekehyksen antavat mustat akselit, siirtyy origosta O paikkaan A. Liikkuvalla kellolla on sinisten akselien antama viitekehys ja se liikkuu O:sta B:hen. kaikki tapahtumat, jotka tapahtuvat samanaikaisesti tapahtuman kanssa pisteessä A, joka sijaitsee sen avaruudellisen akselin suuntaisella linjalla. Tämä viiva kulkee A:n ja B:n kautta, joten A ja B ovat samanaikaisia ​​mustien akseleiden havainnoijan viitekehyksessä. Kuitenkin kello, joka liikkuu suhteessa mustaan ​​tarkkailijaan, merkitsee ajan sinisellä aika-akselilla. Tätä edustaa etäisyys O:sta B:hen. Siksi pisteessä A oleva tarkkailija, jolla on mustat akselit, pitää kellonsa vastaavan etäisyyttä O:sta A:han, kun taas itseensä nähden liikkuvan kellon etäisyyttä O:sta B:hen Koska etäisyys O:sta B:hen on pienempi kuin etäisyys O:sta A:han, hän päättelee, että aika, joka on kulunut suhteessa häneen liikkuvaan kelloon, on pienempi kuin hänen omalla kellollaan kulunut aika.

Toinen havainnoitsija, joka liikkuu kellon mukana O:sta B:hen, väittää, että ensimmäisen kello on saavuttanut vasta ajan C, ja siksi ensimmäisen kello käy hitaammin. Syynä näihin paradoksaalilta näyttäviin väitteisiin on eri paikoissa tapahtuvien tapahtumien samanaikaisuuden erilainen määritelmä. Suhteellisuusperiaatteen vuoksi kysymystä siitä, kuka on oikeassa, ei voida vastata, eikä siinä ole järkeä.

Lorentzin supistuminen

Relativistinen pituuden supistuminen tarkoittaa, että havaitsijaan nähden liikkuvan kohteen pituus pienenee ja jopa itse avaruus kutistuu. Oletetaan, että tarkkailija liikkuu myös ct -akselia pitkin ja että hänen suhteensa liikkuvan kohteen ääripisteiden maailmanlinjat liikkuvat akselia ct' pitkin ja yhdensuuntaisia ​​pisteiden A ja B kautta kulkevan linjan kanssa. Tällä havainnolla kohteen ääripisteet kohdassa t = 0 ovat O ja A. Toiselle kohteen mukana liikkuvalle havainnoijalle niin, että hänelle kohde on levossa, sillä on oma pituus OB kohdassa t' =0 . Koska OA<OB -olio pienennetään ensimmäiselle havainnoijalle.

Toinen tarkkailija väittää, että ensimmäinen tarkkailija otti kohteen päätepisteet kohdista O ja A eri aikoina, mikä johti väärään tulokseen. Jos toinen tarkkailija löytää toisen kohteen pituuden, jonka päätepisteet liikkuvat pitkin ct -akselia ja yhdensuuntainen viiva C:n ja D:n läpi, hän tulee samaan johtopäätökseen, että kohde on puristettu OD:sta OC:hen. Jokainen tarkkailija arvioi esineitä, jotka liikkuvat toisen tarkkailijan pienentyessä. Tämä näennäisesti paradoksaalinen tilanne on seurausta samanaikaisuuden suhteellisuudesta, kuten Minkowskin diagrammia käyttävä analyysi osoittaa.

Kaikkien näiden näkökohtien perusteella oletettiin, että molemmat tarkkailijat ottavat huomioon valon nopeuden ja etäisyydet kaikkiin näkemiinsä tapahtumiin määrittääkseen todelliset hetket, jolloin tapahtumat tapahtuvat heidän näkökulmastaan.

Valonnopeuden vakio

Toinen erityisen suhteellisuusteorian postulaatti on valonnopeuden vakio. Siinä todetaan, että jokainen inertiaalisessa vertailukehyksessä oleva havainnoija, joka mittaa valon nopeutta suhteessa itseensä tyhjiössä, saa saman arvon riippumatta omasta liikkeestään ja valonlähteen liikkeestä. Tämä väite vaikuttaa paradoksaalliselta, mutta se seuraa suoraan sille saadusta differentiaaliyhtälöstä ja on yhdenmukainen Minkowskin diagrammin kanssa. Tämä selittää myös Michelson-Morleyn kokeen tuloksen , jota pidettiin mysteerinä ennen suhteellisuusteorian löytämistä, kun fotoneja pidettiin aaltoina havaitsemattomassa väliaineessa.

Fotonien maailmanlinjoille, jotka kulkevat origon kautta eri suuntiin, ehdot x = ct ja x = − ct täyttyvät . Tämä tarkoittaa , että mikä tahansa sijainti tällaisella maailmanviivalla vastaa samoja x - ja ct - koordinaattiarvoja . Säännöstä koordinaattien saamiseksi vinossa koordinaattijärjestelmässä seuraa, että nämä kaksi maailmanviivaa ovat x- ja ct - akselien muodostamien kulmien puolittajia . Minkowskin diagrammi osoittaa, että ne ovat myös x'- ja ct' - akselien kulman puolittajia . Tämä tarkoittaa, että molemmat tarkkailijat mittaavat molemmille fotoneille saman nopeuden c .

Tähän Minkowski-kaavioon voidaan lisätä myös muita koordinaattijärjestelmiä, jotka vastaavat mielivaltaisilla nopeuksilla olevia tarkkailijoita. Kaikissa näissä järjestelmissä fotonien maailmanviivat ovat koordinaattiakselien muodostamien kulmien puolittajia. Mitä lähempänä tarkkailijan nopeus on valon nopeutta, sitä enemmän akselit lähestyvät vastaavia kulman puolittajia. Reittiakseli on aina tasaisempi ja aika-akseli jyrkempi kuin fotonien maailmanviivat. Molempien akselien asteikot ovat aina samat, mutta yleensä eroavat muista koordinaattijärjestelmistä.

Valon nopeus ja kausaalisuuden periaate

Fotonien origon läpi kulkevat ja maailman viivoja jyrkemmät suorat vastaavat valon nopeutta hitaammin liikkuvia kappaleita. Tämä pitää paikkansa jokaisen tarkkailijan näkökulmasta, koska fotonien maailmanviivat ovat kulman puolittajia missä tahansa inertiaalisessa vertailukehyksessä. Siksi mikä tahansa piste molempien fotonien origon yläpuolella ja maailmanlinjojen välillä voidaan saavuttaa valon nopeutta pienemmällä nopeudella, ja sillä voi olla syy-yhteys origon kanssa. Tämä alue on ehdoton tulevaisuus, koska mikä tahansa tapahtuma tällä alueella tapahtuu myöhemmin kuin tapahtuma alkupisteessä, riippumatta tarkkailijasta, mikä näkyy selvästi Minkowskin diagrammissa.

Vastaavasti origon alapuolella oleva ja fotonimaailman linjojen välinen alue on absoluuttinen menneisyys suhteessa origoon. Mikä tahansa tapahtuma tältä alueelta voi olla syynä tapahtumaan alkupisteessä.

Tällaisten tapahtumaparien välistä yhteyttä kutsutaan aikakaltaiseksi , koska kaikkien havaintojen välillä on nollasta poikkeava positiivinen aikaväli. Kahden tällaisen tapahtuman yhdistävä suora viiva voi aina olla jonkun havainnoijan aika-akseli, jolle nämä tapahtumat tapahtuvat samassa paikassa avaruudessa. Kahta tapahtumaa, jotka voidaan yhdistää vain valonnopeutta vastaavalla viivalla, kutsutaan valomaiseksi .

Minkowski-kaavioon voidaan lisätä yksi tilan ulottuvuus, jolloin saadaan kolmiulotteinen esitys. Tässä tapauksessa tulevaisuuden ja menneisyyden alueista tulee kartioita , joiden kärjet koskettavat toisiaan origossa. Niitä kutsutaan valokartioksi .

Valon nopeus rajana

Kuten yllä olevassa esimerkissä, kaikki origon läpi kulkevat ja fotonimaailman viivoja vaakasuoremmat viivat vastaavat valonnopeutta nopeammin liikkuvia esineitä tai signaaleja , riippumatta havainnoijan nopeudesta. Siksi mitään valokartioiden ulkopuolella olevaa tapahtumaa ei voida saavuttaa origosta valosignaalilla tai millään valon nopeutta pienemmällä nopeudella liikkuvalla esineellä tai signaalilla. Tällaisia ​​tapahtumapareja kutsutaan avaruuskaltaisiksi , koska niillä on äärellinen nollasta poikkeava tilaetäisyys kaikille havainnoijille. Tällaisia ​​tapahtumia yhdistävä suora on aina tilakoordinaattiakseli mahdolliselle tarkkailijalle, jolle nämä tapahtumat tapahtuvat samanaikaisesti. Pienellä muutoksella tämän koordinaattijärjestelmän nopeudessa molempiin suuntiin voidaan aina löytää kaksi inertiavertailukehystä, joiden tarkkailijat pitävät näiden tapahtumien kronologista järjestystä erilaisena.

Siten, jos esine liikkuu valoa nopeammin, esimerkiksi pisteestä O paikkaan A, kuten vieressä olevassa kaaviossa näkyy, tämä tarkoittaisi, että jokaiselle havainnoijalle, joka tarkkailee kohteen liikettä paikasta O paikkaan A, löytyy yksi havainnoija lisää. (liikkuu nopeudella, joka on pienempi kuin valon nopeus c suhteessa ensimmäiseen), jolle kohde liikkuu paikasta A paikkaan O. Kysymykseen, kumpi havainnoitsija on oikeassa, ei ole yksiselitteistä vastausta, joten sillä ei ole fyysistä merkitystä. Mikä tahansa esine tai signaali, joka liikkuu tällä tavalla, rikkoisi kausaalisuuden periaatetta.

Lisäksi kyky lähettää signaaleja nopeammin kuin valonnopeus mahdollistaa tiedon siirtämisen lähteen omaan menneisyyteen. Kaaviossa x - ct -kehyksen O:ssa oleva tarkkailija lähettää valoa nopeamman viestin A:lle. Pisteessä A sen vastaanottaa toinen x' - ct'- kehyksessä oleva havainnoija (eli eri nopeus), joka lähettää sen takaisin, myös valonnopeutta nopeammin, B:ssä. Mutta B on menneisyydessä O:n suhteen. Tilanteen absurdi on siinä, että molemmat havainnoijat vahvistavat myöhemmin, etteivät he tehneet. vastaanottaa viestejä ollenkaan, ja kaikkia viestejä ei vastaanotettu, vaan ne lähetettiin jokaiselta toiselle tarkkailijalle, kuten tämä näkyy Minkowskin diagrammissa. Lisäksi, jos havaitsijaa voitaisiin kiihdyttää valonnopeuteen, niin niiden tila- ja aikaakselit olisivat yhteneväisiä kulman puolittajan kanssa. Koordinaattijärjestelmä romahtaa johtuen siitä, että aikadilataatio saavuttaa sellaisen arvon, että ajan kuluminen yksinkertaisesti pysähtyy.

Nämä pohdinnat osoittavat, että valonnopeuden raja on seurausta aika-avaruuden ominaisuuksista, ei esineiden ominaisuuksista, kuten esimerkiksi teknisesti - avaruusalusten epätäydellisyydestä. Siten valoa nopeamman liikkeen kiellolla Minkowskin avaruudessa ei ole mitään tekemistä sähkömagneettisten aaltojen tai valon kanssa, vaan se johtuu aika-avaruuden rakenteesta.

Avaruus-aikakaaviot kiihtyvästä tarkkailijasta erityissuhteellisuusteoriassa

Välittömästi liikkuvat inertiavertailukehykset nopeasti kiihtyvän havaitsijan (keskellä) maailmanlinjaa pitkin. Pystysuunta ilmaisee aikaa, vaakasuunta etäisyyttä, katkoviiva on tarkkailijan avaruus-aika-rata ("maailmaviiva"). Pienet pisteet ovat tiettyjä tapahtumia aika-avaruudessa. Jos ajattelet näitä tapahtumia valon välähdyksenä, tapahtumat, jotka kulkevat kuvan alaosassa olevien kahden diagonaalisen viivan (alkukohdan aiemman havainnoijan valokartio) läpi, ovat havainnoijalle näkyviä tapahtumia. Maailmanviivan kaltevuus (poikkeama pystysuorasta) antaa havainnoijan suhteellisen nopeuden. Huomaa, kuinka hetkessä liikkuva inertiakehys muuttuu havainnoijan kiihtyessä.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Mermin (1968) Luku 17
  2. ↑ Katso Vladimir Karapetov
  3. ↑ Einstein, Albert. Zur Elektrodynamik bewegter Körper  (neopr.)  // Annalen der Physik . - 1905. - T. 322 , nro 10 . - S. 891-921 . - doi : 10.1002/andp.19053221004 . - . . Katso myös: Englanninkielinen käännös Arkistoitu 25. marraskuuta 2005 Wayback Machinessa .
  4. ↑ Minkowski, Hermann. Raum und Zeit  (saksa)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1909. - Bd. 10 . - S. 75-88 .
    • Useita käännöksiä Wikilähde: Space and Time
  5. ↑ Demtröder, Wolfgang. Mekaniikka ja termodynamiikka  (neopr.) . - kuvitettu. - Springer, 2016. - S. 92-93. - ISBN 978-3-319-27877-3 . Ote sivusta 93 Arkistoitu 11. elokuuta 2020 Wayback Machinessa
  6. ↑ Freund, Jürgen. Erityinen suhteellisuusteoria aloittelijoille: Oppikirja opiskelijoille  (englanniksi) . - World Scientific , 2008. - S. 49. - ISBN 981277159X .
  7. ↑ 1 2 Mirimanoff, Dmitri. La transformation de Lorentz-Einstein et le temps universel de M. Ed. Guillaume  (fr.)  // Archives des sciences physiques et naturelles (liite): aikakauslehti. - 1921. - Voi. 3 . - s. 46-48 . (Käännös: Lorentz-Einsteinin muunnos ja toim. Guillaumen universaali aika )
  8. ↑ Shadowitz, Albert. Sähkömagneettinen kenttä  (neopr.) . - Uusintapainos vuodelta 1975. - Courier Dover Publications , 2012. - S. 460. - ISBN 0486132013 . Katso [ [1]  " Google Books " Google Books, s. 460]
  9. ↑ 1 2 Sartori, Leo. Suhteellisuusteorian ymmärtäminen: Yksinkertaistettu lähestymistapa Einsteinin  teorioihin . — University of California Press , 1996. — P. 151ff. - ISBN 0-520-20029-2 .
  10. ↑ 1 2 Gruner, Paul; Sauter, Joseph. Représentation géométrique élémentaire des formulas de la théorie de la relativité  (ranska)  // Archives des sciences physiques et naturelles: aikakauslehti. - 1921. - Voi. 3 . - s. 295-296 . (Käännös: Erikoissuhteellisuusteorian kaavojen alkeisgeometrinen esitys )
  11. ↑ 1 2 Gruner, Paul. Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie  (saksa)  // Physikalische Zeitschrift  : magazin. - 1921. - Bd. 22 . - S. 384-385 . (Käännös: Elementaarinen geometrinen esitys erityissuhteellisuusteorian muunnoskaavoista )
  12. ↑ Shadowitz, Albert. Erikoissuhteellisuusteoria  (uuspr.) . - Uusintapainos vuodelta 1968. - Courier Dover Publications , 1988. - S. 20-22. - ISBN 0-486-65743-4 .

Lähteet