Pistedynamiikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Pistedynamiikka on dynamiikan osa, joka tutkii materiaalipisteiden liikkeen muutosten syitä eli kappaleita, joiden ominaismitat voidaan jättää huomioimatta ongelman koon mittakaavassa. Tällaisten kappaleiden liikkeen matemaattinen kuvaus analysoimatta liikkeen syitä on pistekinematiikan aihe . Osio on perustavanlaatuinen dynamiikassa, jossa mitä tahansa kiinteää kappaletta, nestettä tai kaasua pidetään vuorovaikutuksessa olevien materiaalipisteiden järjestelmänä.

Perusteet

Avaruuden ominaisuudet : homogeenisuus , isotropia . Toisin sanoen suljetussa järjestelmässä tapahtuviin prosesseihin ei vaikuta sen sijainti tai suunta.
Suhteellisuusperiaate : mekaaniset prosessit, jotka tapahtuvat erilaisissa inertiavertailujärjestelmissä (eli ne, joissa pisteen kiihtyvyys , johon voimien vaikutus kompensoituu, on yhtä suuri kuin nolla) etenee samalla tavalla. Vähintään yhden inertiaalisen viitekehyksen olemassaolo edellyttää Newtonin ensimmäistä lakia .
Determinismin periaate [1] : mekaanisen järjestelmän alkutila (joukko järjestelmän pisteiden asentoja ja nopeuksia jossain vaiheessa) määrittää yksiselitteisesti sen koko liikkeen. Matemaattisessa kielessä tämä tarkoittaa, että liikkeen laki määräytyy yksiselitteisesti sijainnin ja nopeuden perusteella jossain vaiheessa . Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa liike määräytyy differentiaaliyhtälön ratkaisulla , jossa vektorifunktio määritetään fysikaalisista näkökohdista. ${\vec r}(t)$ ${\vec {r}}(\tau )$ ${\piste {\vec {r}}}(\tau )$ $\tau$ ${\ddot {\vec {r}}}(t)={\vec {f}}\left(t,{\vec {r}}(t),{\piste {\vec {r} }}(t)\oikea)$ $\vec f$

Peruskäsitteet

Mass

Inertiamassa

Jokapäiväisestä kokemuksesta tiedetään, että mitä suurempi kehon "massa" on, sitä vaikeampaa on muuttaa sen liikkeen luonnetta. Painavamman kehon saattamiseksi liikkeelle sinun on ponnisteltava enemmän, ja raskaan kehon pysäyttäminen on myös vaikeampaa. Inertiamassan käsitteen virallistaminen mahdollisti eristetyn mekaanisen järjestelmän (järjestelmän, johon vieraiden kappaleiden vaikutus voidaan jättää huomiotta) tarkastelu inertiaalisessa viitekehyksessä.

Empiirisesti (katso liikemäärän säilymislaki ) havaittiin, että kahden vuorovaikutuksessa olevan pisteen järjestelmässä niiden nopeudet eri ajankohtina liittyvät suhteeseen: , jossa kerroin ei riipu valituista ajankohdista tai nopeudet. ${\näyttötyyli t_{1},t_{2))$ ${\vec {v}}_{1}(t_{1})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{1})={\vec {v }}_{1}(t_{2})+\mu _{12}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$ $\mu _{12}$

Kokeissa suuremmalla määrällä kappaleita kävi ilmi, että . Koska se ei liity kolmanteen ruumiiseen, se täyttyy , eli se, mikä on kirjoitettu aiemmin, saa muotonsa: . ${\displaystyle \mu _{12}={\frac {\mu _{32)){\mu _{31))))$ $\mu _{12}$ ${\displaystyle \mu _{32}=m_{3}m_{2},\;\mu _{31}=m_{3}m_{1))$ $m_{1}{\vec {v}}_{1}(t_{1})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{1})=m_{1 }{\vec {v}}_{1}(t_{2})+m_{2}{\vec {v}}_{2}(t_{2})$

Huomaa, että massa määritetään siis vakioon asti (mielivaltainen kerroin ), mikä puolestaan johtaa massastandardin käyttöönottoon . $k$

Gravitaatiomassa

Messulle annetaan myös tavallisesti erilainen määritelmä. Käytä tätä varten vaakavaakaa ja massastandardia. Tämä määritysmenetelmä perustuu oletukseen, että painovoima vaikuttaa tasaisesti kahdella vaa'alla punnittuihin massoihin. Siksi tällä tavalla määriteltyä massaa kutsutaan gravitaatioksi.

Kokeet ( Galileo , Newton , Braginsky ) osoittivat, että gravitaatio- ja inertiamassat täsmäävät erittäin suurella tarkkuudella (jopa ). Heidän identiteettinsä olettaminen johti yleisen suhteellisuusteorian luomiseen . $10^{-12}$

Momentum, force

Aineellisen pisteen liikemäärän määritelmä on lauseke ( on pisteen massa ja sen nopeuden vektori). Determinismin periaatteen perusteella: ${\vec p}$ ${\vec p}=m{\vec v}$ $m$ ${\vec {v}}$

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}(t,{\vec {r} }(t),{\piste {\vec {r}}}(t))

, jossa vektori vastaa voimaa ja lauseke itse vastaa Newtonin toista lakia .

{\vec {F}}

Tästä seuraa erityisesti, että hankittu impulssi ei riipu vain voimasta, vaan myös altistusajasta. ${\vec {p}}-{\vec {p}}_{0}=\int _{t_{0}}^{t}{\vec {F}}\,dt$

Olettaen parin vuorovaikutuksen periaatteen pätevyyden (eli siten, että kahden aineellisen pisteen toiminta toisiinsa ei riipu muiden aineellisten pisteiden läsnäolosta), suljetussa järjestelmässä liikemäärän säilymislaki täyttyy :

{\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i} =const

mistä seuraa, että (jos tähän lisätään, että voimat suuntautuvat pisteitä yhdistävää suoraa pitkin, saadaan Newtonin kolmas laki ). Osoittautuu, että superpositioperiaate on voimassa: monien voimien vaikutus on yhtä suuri kuin yhden voiman (tuloksen) vaikutus, yhtä suuri kuin vaikuttavien voimien vektorisumma. ${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}$

Liikemäärän säilymislain perusteella tästä seuraa, että suljetun järjestelmän sisäisten voimien summa on nolla. Mielivaltaiselle järjestelmälle: , missä on ulkoisten voimien resultantti (vauhdin muutoksen laki). ${\dot {\vec {p}}}={\vec {F}}$ ${\vec {F}}$

Aineellisten pisteiden järjestelmälle otetaan käyttöön massakeskuksen käsite : , jolla järjestelmän liikemäärän muutoslakia yksinkertaistetaan . ${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}m_{i}}{\sum _{i}m_{ i}}},\;m_{c}=\sum _{i}m_{i}$ $\sum _{i}{\dot {\vec {p}}}_{i}={\vec {F}}\;\Leftrightarrow \;m_{c}{\ddot {\vec {r }}}_{c}={\vec {F}}$

Toisin sanoen materiaalipistejärjestelmän massakeskipiste liikkuu aineellisena pisteenä, jonka massa on yhtä suuri kuin järjestelmän kokonaismassa ja vaikuttava voima on yhtä suuri kuin kaikkien järjestelmään vaikuttavien ulkoisten voimien geometrinen summa. järjestelmä. Massakeskipisteen ohella alennettu massa otetaan usein käyttöön .

Voimien luokitus

Perusvoimat (perusvuorovaikutukset):

Painovoiman vetovoimat _
Sähkömagneettiset voimat
Vahva voima on hadronien ja kvarkkien välinen vuorovaikutus . Toimi asteikolla, joka on atomiytimen kokoluokkaa tai pienempi
Heikot vuorovaikutusvoimat ovat vuorovaikutus, joka on vastuussa erityisesti atomiytimien beetahajoamisprosesseista ja alkuainehiukkasten heikosta hajoamisesta. Ne näkyvät etäisyyksillä, jotka ovat paljon pienempiä kuin atomiytimen koko

Johdetut voimatyypit:

Elastiset voimat - kehon reaktiot sen muodon muutokseen
Kitka- ja vastusvoimat _
- Viskoosi kitka - kitka kiinteän kappaleen pinnan ja ympäröivän nestemäisen tai kaasumaisen väliaineen välillä (tai kitka tällaisen väliaineen eri kerrosten välillä)
- Kuivakitka on kitka kahden kosketuksessa olevan kiinteän kappaleen pintojen välillä. Jos suhteellista liikettä ei ole, kuivakitka on staattista tai koheesio kitkaa. Suhteellisen liikkeen kanssa - liukukitka tai vierintäkitka

Energia

Kineettinen energia

Siirtymävoiman perustyö määräytyy lausekkeella . _ Osalla lentoradan kokonaistyö on ${\vec {F}}$ $d{\vec {r))$ $dA={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$ $L$

A=\int _{L}{\vec {F}}\,d{\vec {r}}

Siitä lähtien ${\vec {F}}={\piste {\vec {p}}}=m{\piste {\vec {v}}}$

A=m\int _{L}{\vec {v}}\,d{\vec {v}}={\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_ {{\vec {r}}_{2}}-{\frac {mv^{2}}{2}}{\Bigg |}_({\vec {r}}_{1}}

Ilmaisu

T={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {p^{2}}{2m}}

kutsutaan kineettiseksi energiaksi .

Siten voiman työ liikutettaessa aineellista pistettä on yhtä suuri kuin tämän pisteen liike-energian lisäys, mikä on helppo yleistää aineellisten pisteiden järjestelmän tapaukselle (energian muutoksen laki).

Kineettisten energioiden välinen suhde eri viitekehyksessä

Absoluuttiselle nopeudelle , suhteelliselle ja translaatiolle : ${\vec {v}}$ $\vec u$ ${\vec {\mathrm {v} }}$

T=T'+{\frac {m\mathrm {v} ^{2}}{2}}+m\,{\vec {u}}\cdot {\vec {\mathrm {v} } }

Missä on kineettinen energia suhteellisessa vertailukehyksessä. $T'$

Suhteellisessa vertailujärjestelmässä, joka liittyy massakeskuksen translaatioliikkeeseen: ( Königin lause ). $T=T_{c}+{\frac {mv_{c}^{2}}{2}}$

Potentiaalinen energia

Jos voima esitetään muodossa , niin se on potentiaali, ja - potentiaalienergia . Jos potentiaalinen voima ei riipu ajasta, sitä kutsutaan konservatiiviseksi. Konservatiivisen voiman tekemä työ voidaan kirjoittaa seuraavasti: ${\vec {F}}({\vec {r}},t)=-\nabla U({\vec {r}},t)$ $U({\vec {r)),t)$

A=-\int _{L}{\frac {\partial {\vec {F))}{\partial {\vec {r))))\,d{\vec {r))=U ({\vec {r}}_{1})-U({\vec {r}}_{2})

Siten tuodaan sisään kokonaisenergia , joka säästyy järjestelmälle konservatiivisten voimien kentässä, ts. $E=T+U$

T_{1}+U_{1}=T_{2}+U_{2}

( energian säilymisen laki )

Yleisessä tapauksessa energian muutos on yhtä suuri kuin ei-konservatiivisten voimien työ (energianmuutoksen laki)

Tasapaino

Olkoon materiaalipiste tietyssä paikassa ajanhetkellä ja sen nopeus on nolla. Jos näissä alkuolosuhteissa piste pysyy tässä asennossa kohdassa , tätä pistettä kutsutaan tasapainoasemaksi. Potentiaalivoiman tapauksessa tasapainoehto on . $\tau$ $t>\tau$ $\nabla U=0$

Jos tasapaino-asennossa voimapotentiaalilla on eristetty minimi, tämä tasapainotila on stabiili.

Viriaalinen lause

Lisäksi for tarkoittaa arvon keskiarvon laskemista pitkän ajanjakson aikana, eli $\langle f\rangle$ $f(t)$

\langle f\rangle =\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{\tau }^{\tau +T}f(t)\,dt

Matematiikan näkökulmasta, jos , niin . Tällä perusteella, jos järjestelmän liike on rajoitettu avaruudessa, niin Clasiuksen lause pätee: $f(t)={\piste {\varphi }}(t)$ $\langle f\rangle =0$

\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\sum _{i}\langle {\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {F}}_{ i}\rangle

Moments

Voiman momentti pisteen ympärillä on määritelty . On osoitettu, että se ei riipu voiman kohdistamispisteestä. $O$ ${\vec {M}}=[{\vec {r}}\times {\vec {F}}]$

Kulmamomentti M.T. suhteessa napaan määritellään . $O$ ${\vec {L}}=[{\vec {r}}\times {\vec {p}}]$

Kuten määritelmistä seuraa, . Tapauksessa ( liikemäärän säilymislaki ) ${\dot {\vec {L}}}={\vec {M}}$ ${\vec {M}}=0$ ${\vec {L}}=const$

Edellä oleva pätee yleistyksenä myös aineellisten pisteiden systeemille, jossa muun muassa sisäisten voimien hetket tuhoavat toisensa.

Sektoraalinen nopeus

Sektorin alkeislisäys on vektori , jolla on lopussa pyyhkäisyn alkeisalueen merkitys . Lauseketta kutsutaan sektorinopeudeksi. $d{\vec {S}}={\frac {1}{2}}[{\vec {r}}\times {\vec {v}}\,dt]$ ${\vec {r))$ ${\displaystyle {\piste {\vec {S))))$

Yleisesti ottaen . ${\displaystyle {\vec {L}}=2m{\piste {\vec {S))))$

Kulmamomentti CO-massakeskuksessa

Absoluuttisessa vertailukehyksessä olevan kulmamomentin lausekkeen yhteys massakeskipisteeseen (jos se on inertiaalinen) liittyvä vertailukehys ilmaistaan seuraavasti

{\vec {L}}=m[{\vec {r}}_{c}\times {\vec {v}}_{c}]+{\vec {L}}_{c}

Yksiulotteinen liike potentiaalikentässä

Alla tarkastellaan materiaalin pisteen yksiulotteista liikettä . Energian säilymisen lain mukaan: $m{\ddot {x}}}(t)=F(x)$

T=EU

, jossa riittää kokonaisenergian laskeminen tietylle ajanhetkelle. Kun lauseke korvataan kineettisellä energialla, saadaan:

E

{\frac {mv^{2}}{2}}=EU\;\Rightarrow \;

{\displaystyle v=\pm {\sqrt {\frac {2(EU)}{m))))

, joka johtaa erotettavaan muuttujayhtälöön:

{\frac {dx}{\sqrt {EU}}}={\sqrt {\frac {2}{m}}}dt

Viestintäkäyttöinen liike

Jos aineellisen pisteen liike on rajoitettu (esim. piste voi liikkua tasoa tai käyrää pitkin), he kirjoittavat, että pisteen liikkeelle asetetaan yhteys.

Liikkuminen käyrää pitkin

Olkoon käyrä annettu avaruudessa kahden pinnan leikkauspisteenä, jotka on annettu yhtälöillä ja . Normaalit näille pinnoille ja ovat kollineaarisia vektoreille ja vastaavasti. Koska mikä tahansa käyrän normaali on vektorien ja , määrittelemällä tasolla $f_{1}(x,y,z,t)=0$ $f_{2}(x,y,z,t)=0$ $N_1$ $N_2$ $\nabla f_{1}$ ${\displaystyle \nabla f_{2))$ $N_1$ $N_2$

{\vec {R}}=\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Aineellisen pisteen liikeyhtälöt on kirjoitettu seuraavassa muodossa:

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+\lambda _{2}\nabla f_{2}

Jos funktiot ja eivät ole nimenomaisesti riippuvaisia ajasta, niin, kuten pisteen vapaan liikkeen tapauksessa, $f_1$ $f_{2}$

{\frac {d}{dt}}\;{\frac {mv^{2}}{2}}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}

Pintaliike

Olkoon materiaalipiste aina jollain sileällä pinnalla, joka saadaan yhtälöstä . Ideaalisidoksen tapauksessa sidoksen reaktiovoima on kohtisuorassa pintaan nähden , ts . Pisteen liikkeen määräävät täysin liikeyhtälöt ja rajoitusyhtälöt $f(x,y,z,t)=0$ ${\vec {R}}=\lambda \nabla f$

m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\lambda \nabla f

Jos yhteys ei riipu ajasta ja voima on potentiaalinen, elävien voimien integraali täyttyy

Adiabaattiset invariantit

Liike ei-inertiaalisissa viitekehyksessä

Muistiinpanot

↑ MÄÄRITTÄMISPERIAATE • Great Russian Encyclopedia - sähköinen versio . bigenc.ru . Haettu 21. syyskuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 21. syyskuuta 2021. (määrätön)

Kirjallisuus

Sivukhin DV Yleinen fysiikan kurssi. - M .: Tiede , 1979. - T. I. Mekaniikka. - 520 s.
Berezkin E. N. Teoreettisen mekaniikan kurssi. M.: MGU, 1974. -647 s.