Kesto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. tammikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Duration ( englanniksi kesto - "duration") - maksuvirran painotettu keskimääräinen termi ja painot ovat maksujen diskontattuja kustannuksia. Duraatio on kassavirran tärkein ominaisuus, joka määrittää sen nykyisen arvon herkkyyden koron muutoksille . Virran kesto ei riipu pelkästään sen rakenteesta, vaan myös sen hetkisestä korosta. Mitä korkeampi korko, sitä pienempi osuus pitkäaikaisten maksujen kustannuksista on lyhyisiin verrattuna ja mitä lyhyempi kesto, ja päinvastoin, mitä alhaisempi korko, sitä pitempi maksuvirran kesto.

Keston käsitteen esitteli amerikkalainen tiedemies F. Macaulay ( eng. FR Macaulay ).

Määritelmä, laskentakaava ja tulkinta

Kesto - painotettu keskiarvo

Ei-optiolainojen duraatio lasketaan painotetun keskiarvon kaavalla seuraavasti:

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}\ PV_{i}\cdot t_{i}}{\sum _{i}PV_{i}}}={ \frac {\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}\cdot t_{i}}{\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}}}

tai

D={\overline {T}}={\frac {\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}} \cdot t_{i}}{\sum _{i}{CF_{i}}\cdot {e}^{-{r_{c}}{t_{i}}}}},

missä:

{\displaystyle CF_{i))

— th maksu;

i

r

- diskonttokorko , vaihtoehtoisen sijoituksen tuotto aikayksikköä kohden (vuosi, vuosineljännes jne.);

r_{c}

- jatkuvan koronkertymän diskonttokorko;

PV_{i}

— i :nnen maksun diskontattu arvo ;

t_{i}

— i :nnen maksun ajankohta ;

Tämän kaavan nimittäjä on arvio kassavirran nykyarvosta tietyllä diskonttokorolla. Jos kassavirran tuottaa rahoitusinstrumentti, jolla on markkina- (tai muu) arvio nykyisestä hinnasta, diskonttokorko on tässä tapauksessa tämän instrumentin sisäinen tuotto (joukkovelkakirjalainojen tuotto eräpäivään asti ). Tämä korko määräytyy tasa-arvon perusteella $P$

P=PV(r)=\sum _{i}{\frac {CF_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}.

Oletetaan, että markkinat määrittävät tehokkaasti vaaditun diskonttokoron ja heijastavat vaadittua tuottoa instrumenteilta, joilla on samanlainen riskitaso.

Duration mittaa korkoriskiä

Jos tarkastelemme kassavirran diskontattua arvoa koron funktiona, voimme osoittaa, että kassavirran kesto on yhtä suuri kuin kassavirran diskontattu arvo korolla (tai vastaavasti ) , otettuna kimmoisuuden vastakkaisella merkillä (logaritminen derivaatta) eli $1+r$

D=-{\frac {d\ln PV}{d\ln(1+r)))=-{\frac {dPV/PV}{d(1+r)/(1+r)} }=-{\frac {1+r}{PV}}{\frac {dPV}{dr}}.

Näin ollen

dPV/PV=-Dd\ln(1+r)=-Ddr/(1+r).

Pienillä hintojen muutoksilla erot voidaan korvata yksinkertaisesti muutoksilla:

\delta PV=\Delta PV/PV\approx =-D\delta r=-D\Delta r/(1+r).

Siten duraatio mahdollistaa yksinkertaistetun arvioinnin instrumentin markkinahinnan riippuvuusasteesta koron muutoksista. Mitä pidempi instrumentin duraatio on, sitä suurempi on sen markkina-arvon muutos korkojen muuttuessa, eli sitä suurempi on korkoriski .

Muokattu kesto

Jos yllä olevassa likimääräisessä yhtälössä käytämme ns. modifioitua kestoa , joka on yhtä suuri

MD=-{\frac {d\ln PV}{dr}}=D/(1+r),

korkoherkkyyden arviointi on yksinkertaistettu:

\delta PV\approx -MD\cdot \Delta r.

Huomautus

Arvioitaessa mahdollista (modifioitua) duraatiota käyttävän rahavirran käyvän arvon muutosta tulee ottaa huomioon tämän arvion likimääräinen luonne. Lisäksi kvantitatiivisten epätarkkuuksien lisäksi todellisen riippuvuuden ja duraatiolla tai modifioidulla duraatiolla linearisoidun välillä on myös laadullinen ero: samat positiiviset ja negatiiviset muutokset korkotasossa vaikuttavat hinnanmuutokseen samassa absoluuttisessa arvossa. Todellisuudessa näin ei ole – hinta muuttuu epäsymmetrisesti korkojen noustessa ja laskussa, nimittäin koron alentaminen johtaa suuremmalle hinnannousulle kuin hinnan alentaminen nostettaessa korkoa samalla absoluuttisella arvolla. Selvennystarkoituksessa (sekä määrällisesti että laadullisesti) käytetään keston ohella myös ns. kassavirran kuperuutta , joka on toisen asteen korjaus. Tämä hinnanmuutoksen oikaisu riippuu kurssin muutoksen neliöstä (eli se ei riipu etumerkistä), joten kun korot nousevat, se vähentää keston ennustamaa hinnan laskun astetta ja kun kurssi laskee, se vähentää lisää keston perusteella arvioitua kasvua. Näin ollen myös epäsymmetria otetaan huomioon ja arvio määritellään kvantitatiivisesti.

Toinen tarkemman arvion versio perustuu siihen tosiasiaan, että laadullinen epätarkkuus ei liity pelkästään (eikä niinkään) linearisointiin, vaan myös logaritmien muutosten korvaamiseen tavallisilla kasvunopeuksilla. Jos käytämme itse logaritmeja, arviot ovat kvalitatiivisesti riittävämpiä todelliseen riippuvuuteen (vaikka siinä on myös kvantitatiivista epätarkkuutta):

\Delta \ln PV=-D\Delta \ln(1+r).

Tästä suhteesta johdetaan seuraava todellisempi likimääräinen riippuvuus nykyisen arvon muutoksista:

\delta PV\approx (1+\Delta r/(1+r))^{-D}-1.

Tässä riippuvuudessa epäsymmetria otetaan luonnollisesti huomioon (tämä laskentatapa on tarkempi, mutta riippuvuuden epälineaarisuuden vuoksi hieman vähemmän kätevä).

Lisätulkinta

Kun otetaan huomioon yllä oleva viimeinen likimääräinen yhtäläisyys, kestolle voidaan antaa yksi tulkinta lisää. Mieti, kuinka virtauksen nykyinen kustannus noin muuttuu, jos korko laskee nollaan ( ): $\Delta r=0-r=-r$

\delta PV\noin (1+(-r)/(1+r))^{-D}-1=(1+r)^{D}-1.

Näin ollen

P(0)\approx P(r)(1+r)^{D}.

On selvää, että - kassavirran kokonaismäärä. Siten kesto (tietyllä korolla) voidaan tulkita myös likimääräiseksi ajanjaksoksi, jolle sinun on sijoitettava määrä tietyllä korolla saadaksesi summan, joka vastaa kokonaiskassavirtaa tämän jakson lopussa. Tämä tulkinta on sitä tarkempi, mitä pienempi korko. $P(0)=\summa _{i}CF_{i}$ $PR)$ $r$

Joidenkin maksuvirtojen kesto

Eläkkeen kesto

Voidaan osoittaa, että termillä T rajoitetun annuiteetin kesto on yhtä suuri kuin seuraava arvo:

D={\frac {1+r}{r}}-{\frac {T}{(1+r)^{T}-1}}.

Muokattu kesto saadaan jakamalla . $1+r$

Tässä kaava tarkoittaa annuiteettivälin efektiivistä korkoa ja kestoa ja kestoa myös annuiteettiväleissä. Jos käytämme vuosittaista efektiivistä korkoa, kaava on vuosien keston osalta:

D=t\times {\frac {(1+r)^{t}}{(1+r)^{t}-1}}-{\frac {T}{(1+r)^ {T}-1}},

missä on annuiteettivälin kesto vuosina (vuoden murto-osa), on annuiteettikausi vuosina, on vuotuinen efektiivinen korko. Kun t = 1, saadaan edellinen kaava. $t$ $T$ $r$

Perpetual annuiteetille kestokaava voidaan määritellä yllä olevan kaavan rajaksi (tässä tapauksessa toinen termi on yleensä nolla). Voit myös johtaa kaavan suoraan. Perpetual annuiteetin nykyarvo on . Käytetään kaavaa derivaatan kautta. Tämän funktion johdannainen suhteessa on ilmeisesti yhtä suuri kuin . Kun tämä arvo kerrotaan ja jaetaan arvolla , saadaan lopulta kestokaava: $T\rightarrow\infty$ $PV=A/r$ $r$ $-A/r^{2}$ $(1+r)$ $PV$

D=(1+r)/r.

Muokattu kesto on tässä tapauksessa luonnollisesti yhtä suuri kuin . $MD=1/r$

Joukkovelkakirjalainan kesto

Nollakuponkilainan , jonka eräpäivä on, nykyarvo on $N$ $t$

PV=N/(1+r)^{t}.

Se on myös sama kuin yksittäisen maksun diskontattu arvo, joten sen kesto on yksinkertaisesti yhtä suuri kuin joukkovelkakirjalainan aika:

D=t.

Kuponkilainan tapauksessa kassavirta koostuu kuponkimaksuista ja nimellisarvon lunastuksesta. Tässä tapauksessa nimellisarvon lunastus voi tapahtua erissä (poisto) ja kuponkikorko voi yleisesti ottaen muuttua joukkovelkakirjalainan kiertoaikana. Jos kuponkien arvoa merkitään ja nimellisarvon lunastus on , joukkovelkakirjalainan duraatio on yhtä suuri kuin $C_{i}$ $N_{j}$

D={\frac {\sum _{i=1}^{m}{\frac {C_{i}}{(1+r)^{t_{i}}}}t_{i}+ \sum _{j=1}^{k}{\frac {N_{j}}{(1+r)^{t_{j}}}}t_{j}}{P}},

missä on joukkovelkakirjalainan hinta (oletetaan, että arvona käytetään joukkovelkakirjalainan tuottoa eräpäivään asti, joten ). $P$ $r$ $PV(r) = P$

Kaava on täsmälleen sama muoto, jos käytämme kuponkien arvon sijasta vastaavia kuponkikorkoja, nimellisarvon takaisinmaksujen sijaan - nimellisarvon takaisinmaksujen osuuksia ja kuponkien hinnan sijasta joukkovelkakirjalaina rahallisesti , käytä vakiohintaa prosentteina (osakkeet) nimellisarvosta. $C_{i}$ $N_{j}$ $P$

Ceteris paribus, mitä pidempi maturiteetti ja (tai) alhaisempi kuponkikorko ja (tai) mitä alhaisempi tuotto eräpäivään asti, sitä pidempi on joukkovelkakirjalainan duraatio. Jos muut asiat ovat samat, mitä useammin kuponki maksetaan, sitä lyhyempi on sen kesto.

Yksinkertaisimmassa tapauksessa, kun kuponkikorko on vakio ja nimellisarvo lunastetaan kertasummalla jakson lopussa, voit laskea keston käyttämällä Microsoft Office Excel 2007:n sisäänrakennettua DURATION -funktiota .

Esimerkki

Annetaan kuponkilaina, jonka nimellisarvo on 1000 ruplaa ja jonka jäljellä oleva maturiteetti on 2 vuotta ja 3 kuukautta. Joukkovelkakirjalainan lunastus on kertasumma laina-ajan lopussa. Kupongin tuotto - 12% vuodessa. Kupongin maksutiheys on 4 kertaa vuodessa (eli kupongin koko on 30 ruplaa). Oletuksena on, että myös ensimmäinen kuponki on odotettavissa 3 kuukauden kuluttua. Joukkovelkakirjalainan nykyinen markkinahinta on 1 035,85 ruplaa.

Joukkovelkakirjalainan kassavirta (neljännesvuosittain) on (30,30,30,30,30,30,30,1030). Ensinnäkin Excelin sisäänrakennetun IRR-toiminnon avulla voit määrittää erääntymistuoton - noin 2,5% vuosineljänneksessä. Vuositasolla tämä on noin 10,38 % (korkokorot mukaan lukien), mutta tässä tapauksessa sillä ei ole merkitystä. Kesto tulee olemaan

{\begin{aligned}D={\frac {1}{1035.85}}(&1\cdot 30/1{,}025^{1}+2\cdot 30/1{,}025^{2 }+3\cpiste 30/1{,}025^{3}+4\cpiste 30/1{,}025^{4}+\\&+5\cpiste 30/1{,}025^{5} +6\cpiste 30/1{,}025^{6}+7\cpiste 30/1{,}025^{7}+8\cpiste 1030/1{,}025^{8})\noin \end {aligned}}

\quad \approx (29{,}27+57{,}11+83{,}57+108{,}71+132{,}58+155{,}2+176{,}67+ 6762{,}95)/1035{,}85\noin

\quad \noin 7506{,}1/1035{,}85\noin 7{,}246,

eli noin 7,25 neljännestä tai 1,81 vuotta (noin 1 vuosi ja 10 kuukautta) tai 661 päivää.

Vuosien duraatiolla voit arvioida, kuinka paljon joukkovelkakirjalainan hinta muuttuu, kun tuotto muuttuu esimerkiksi 1 % vuodessa. Tätä varten arvioimme muokatun keston: 1,81/1,035 = 1,74. Näin ollen hinnanmuutosprosentti on 1,74 %. Tämä vastaa karkeasti hintaa 1 053,87 ruplaa alhaisemmilla hinnoilla ja 1 017,82 ruplaa. kun korot nousevat. Tarkempi arvio joukkovelkakirjalainan arvon herkkyydestä saadaan lisäksi käyttämällä kassavirran konveksiaa .

Katso myös

Linkit

Kesto sijoitusanalyysin laskennassa esimerkki, määritelmä, ominaisuudet, kaava, vertailuehdot, hyväksymiskriteeri, haitat.