Tähti Hodge

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Hodge-tähti on tärkeä lineaarinen operaattori q - vektorien avaruudesta ( n − q )-muotojen avaruuteen . Metrinen tensori määrittelee kanonisen isomorfismin q -muotojen ja q -vektorien avaruuden välillä , joten yleensä Hodge-tähti on operaattori dimensioiden q differentiaalimuotojen avaruudesta n − q -muotojen avaruuteen.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\-\Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Tämän operaattorin esitteli William Hodge .

Määritelmä

Apumääritelmät

Määritä tilavuuden muoto

\Omega =f(X)dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

jossa on ei-negatiivinen skalaari jakosarjassa ja on täysin antisymmetrinen symboli . . Jopa metriikan puuttuessa, jos , on mahdollista määrittää tilavuuden muodon vastakkaiset komponentit. $f(X):M\to {\mathbb {R}}$ $M$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\partial }{\partial {X^{0))))\wedge \cdots \wedge {\frac {\osittainen }{\osittainen {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

tässä antisymmetrinen symboli vastaa . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

Jos mittarissa on korotettuja indeksejä, se voi poiketa merkistä: . Täällä ja edelleen $\Omega$ ${\tarkista {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\check {\Omega ))$ $\sigma =\operaattorinnimi{sgn} \det(g_{{mk}})$

Esittelemme antisymmetrisoinnin toiminnan :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum _{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\operaattorinnimi{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. Summaus suoritetaan kaikilla hakasulkeissa olevien indeksien permutaatioilla, ottaen huomioon niiden pariteetti . Ylempien indeksien antisymmetrisaatio määritellään samalla tavalla; on mahdollista antisymmetrisoida vain samantyyppisten indeksien ryhmässä. Esimerkkejä: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operaattorinimi{sgn}(\sigma )

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Käsitellään nyt konvoluutiooperaatiota. Kun taitetaan antisymmetristen indeksien joukko, on kätevää ottaa käyttöön seuraava merkintä:

^ ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ ldots K_{k}D\ldots }}

Jos tensori on antisymmetrinen sekä ylemmissä että alemmissa kokoonpuristuvissa indekseissä, on mahdollista summata suluissa olevat indeksit vain järjestetyistä joukoista jakamatta luvulla , tämä johtuu siitä, että erilaiset indeksijoukot , jotka eroavat toisistaan vain indeksit antavat saman panoksen summaan . $\llattia\;\rlattia$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Määrittelemme nyt tensorit:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\lpisteitä M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\lpisteitä N_{p }}}=A_{{\llattia K_{1}\lpisteitä K_{k}\rlattia M_{{k+1}}\lpisteitä M_{q}}}B^{{\llattia K_{1}\lpisteitä K_ {k}\rlattia N_{{k+1}}\lpisteitä N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{qk))))^{{\alleviivaus {(k)}}}{}^{{N_{1}\lpisteet N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\lpisteitä M_{{qk}}\llattia K_{1}\lpisteitä K_{k}\rlattia }}B^{{N_{1}\lpisteitä N_{{pk} }\lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor }}

Indeksi (k) osoittaa niiden indeksien lukumäärän, joilla konvoluutio suoritettiin. Jos tämä ei voi johtaa epäselvyyteen, kohta (k) jätetään pois. Yllä olevat tensorit voivat erota (tai olla eroamatta) vain etumerkillä.

Hodge-tähden yleinen määritelmä

Tilavuusmuotoa ja polyvektoria käyttämällä voidaan ottaa käyttöön operaatio , joka muuntaa asteen polyvektorin asteen differentiaalimuodoksi ja käänteisoperaation, joka muuntaa asteen muodon asteen polyvektoriksi $\Omega$ ${\tarkista {\Omega ))$ $*$ $B$ $s$ $*B$ $np$ $*^{{-1}}$ $A$ $q$ $*^{{-1}}A$ $nq$

*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\tarkista {\Omega }})^{{\alleviivaus {(q)))}

Tätä toimintoa kutsutaan Hodge-tähdeksi tai Hodge- kaksoisiksi . Komponenteissa se näyttää tältä:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Koska ja , olemme luoneet yksi-yhteen vastaavuuden asteen q differentiaalimuotojen ja asteen nq polyvektorien välille $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Operaattoreiden ja lisäksi esittelemme operaattoriparin: ja , jotka eroavat niistä merkillä. $*$ $*^{{-1}}$ ${\tarkistaa {*}}$ ${\tarkista {*}}^{{-1}}$

{\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\alleviivaus {(p)))}

{\check {*}}^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{(q)))

Hodgen tähti metriikan läsnä ollessa

Olkoon metrimitta mittausjoukollemme n . Merkitään . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

Mittarin luoma $g_{{mk}}$ tilavuuselementti tai tilavuusmuoto on muoto In komponentit: $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operaattorinnimi{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Koska meillä on metriikka, voimme tehdä kanonisen isomorfismin polyvektorien ja differentiaalimuotojen välillä:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Siksi voimme muodostaa yksi-yhteen vastaavuuden q-muotojen ja (nq)-muotojen välille. $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Muut operaattorit

Polyvektoreissa voit ottaa käyttöön divergenssin ottavan operaattorin , joka vähentää polyvektorin astetta yhdellä:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\partial _{{M_{q}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Metriikan läsnä ollessa divergenssioperaattori ilmaistaan kovarianttijohdannaisoperaattorina , joka määritellään käyttämällä metriikan mukaista symmetristä yhteyttä : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla ,A)^{{\alleviivaus {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\osittainen _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

Joskus operaatiota ( ulkoderivaata ) kutsutaan differentiaalimuotojen gradientiksi ja operaatiota kutsutaan divergenssiksi. 1-muodossa operaatio määrittelee tavanomaisen eron (metriikan läsnä ollessa differentiaalimuodot ja polyvektori tunnistetaan käyttämällä kanonista isomorfismia ) $d$ $\delta$ $\delta$

-muodon laplalainen saadaan seuraavasti : $\Delta$ $q$ $A$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

Skalaarille (0-muoto) laplalainen on Laplace -Beltrami-operaattori :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\partial _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\osittainen _{N}\varphi

Skalaarille . Jos , Bochnerin kaavan mukaan mielivaltaiselle metriikolle in , ilmestyy muita termejä, jotka ovat lineaarisia kaarevuudeltaan. Joten siinä tapauksessa $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q = 1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

missä on Ricci-tensori , joka on muodostettu metriikan mukaisesta symmetrisestä yhteydestä. $R_{K}{}^{M}$

Lähteet

M. G. Ivanovin luennot kurssilla "Geometric Methods in Classical Field Theory". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html