Yksittäisen pisteen indeksi

Vektorikentän singulaaripisteen indeksi on matemaattinen käsite, joka liittyy differentiaalitopologiaan, differentiaaligeometriaan, dynaamisten järjestelmien teoriaan ja differentiaaliyhtälöiden teoriaan. Se on vektorikentän eristetyn singulaaripisteen topologinen ominaisuus, ja se määritellään Gaussin mappauksen asteena tietyssä pisteessä.

Määritelmä

Olkoon vektorikenttä annettu pisteen naapurustossa , joka on tämän kentän eristetty singulaaripiste, eli kaikille riittävän pienessä pisteen ympäristössä . Singulaarinen pisteindeksi (merkitty ) on riittävän pienen säteen keskipisteen omaavan -ulotteisen pallon Gaussin mappauksen aste, joka on valittu siten, että sen kenttä ei katoa palloksi . Nimittäin Gaussin kartoitus määritellään kaavalla: ${\näyttötyyli \xi (x)}$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $\xi (x_{0})=0$ $\xi (x)\neq 0$ ${\displaystyle x\neq x_{0))$ $x_{0}$ $x_{0}$ $\operaattorin nimi {ind} _{x_{0}}\xi$ $(n-1)$ ${\displaystyle S_{\varepsilon }^{n-1))$ $x_{0}\in \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon > 0$ $\xi$ ${\displaystyle S_{1}^{n-1))$ $f_{x_{0}}:S_{\varepsilon }^{n-1}\to S_{1}^{n-1}$ $f_{x_{0}}(x)={\frac {\xi (x)}{|\xi (x)|}}\quad \forall \ x\in S_{\varepsilon }^{n -yksi}.$

Ominaisuudet ja esimerkit

Vektorikentän singulaaripistettä kutsutaan ei- degeneroituneeksi , jos se täyttää ehdon $x_{0}$ ${\näyttötyyli \xi (x)}$

\Delta =\operaattorinimi {det} \left({\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{ 0}}\oikea)\neq 0.

Ei-degeneroitunut singulaaripiste on aina eristetty, ja sen indeksi on yhtä suuri kuin determinantin etumerkki . $\Delta$

Yllä olevan matriisin (kentän lineaarisen osan matriisi tietyssä pisteessä) ominaisarvoja kutsutaan ei-degeneroidun singulaaripisteen juuriksi . Gradienttikentillä ei-degeneroituneen singulaaripisteen indeksi on sama kuin Hessenin etumerkki : ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n))$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }={\tfrac {\partial f}{\partial x^{\alpha ))))$

{\displaystyle \operaattorinnimi {ind} _{x_{0}}\xi =\operaattorinimi {sgn} {\Bigg |}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{\ alfa }\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right){\Bigg |}=(-1)^{i(x_{0}})) )

missä on negatiivisten neliöiden lukumäärä toisen asteen muodon kanonisessa esityksessä . $i(x_{0})$ $d^{2}f{\bigr |}_{x=x_{0))$

Kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa ei-degeneroituneiden singulaaripisteiden indeksi, jotka muodostavat keskustan (kaikki juuret ovat kuvitteellisia), solmun (kaikki juuret ovat saman merkin todellisia), fokuksen (juuret ovat monimutkaisia konjugaatteja) , satulapisteille (eri merkkien todelliset juuret) indeksi on . $yksi$ $-yksi$

Katso myös

Kirjallisuus

Arnold V. I. Tavalliset differentiaaliyhtälöt. - Mikä tahansa painos.
Dubrovin B. A. , Novikov S. P. , Fomenko A. T. Luku 3, §14, kohta 4. Vektorikentän singulaaripisteen indeksi // Modern Geometry. - 4. painos - M. : Editorial URSS, 1998. - T. Volume 2. Geometry and topology of Monifolds. - S. 90-92. - 280 s. - 1000 kappaletta. kopio. - ISBN 5-901006-27-5 .
Milnor J., Wallace A. Differentiaalitopologia. Alkukurssi. M: Mir, 1972.
M. I. Voitsekhovsky. Yksittäispisteindeksi // Matemaattinen tietosanakirja. - Neuvostoliiton tietosanakirja . - M. , 1977-1985. (Venäjän kieli)

Yksittäisen pisteen indeksi

Määritelmä

Ominaisuudet ja esimerkit

Katso myös

Kirjallisuus

Muistiinpanot