Cauchy-Lagrange integraali

Cauchy-Lagrange- integraali on ideaalinesteen liikeyhtälöiden integraali ( Euler-yhtälöt ) potentiaalisten virtausten tapauksessa .

Nimimuunnelmia

Venäjänkielisessä kirjallisuudessa käytetään nimien Cauchy-Lagrange-integraali [1] ja Lagrange-Cauchy-integraali [2] lisäksi termejä Cauchyn integraali [3] , Lagrange-integraali . Englanninkielisessä kirjallisuudessa integraalilla joko ei ole erityistä nimeä [4] tai sitä pidetään Bernoulli-integraalin erikoismuotona epävakaille virtauksille ( englanniksi unsteady Bernoulli -yhtälö [5] , Bernoullin lause epävakaalle potentiaalivirtaukselle [6] )

Historiallinen tausta

Yleisesti ottaen Cauchy-Lagrange-integraalin loi vuonna 1755 L. Euler [7] . Myöhemmin integraalia käytti Lagrange työssään ihanteellisten nestevirtausten teoriasta [8] ja Cauchy työssään gravitaatioaaltojen teoriasta nesteen pinnalla [9] .

Sanamuoto

Kokoonpuristumattoman nesteen virtaus gravitaatiokentässä

Erityistapauksessa ihanteellisen kokoonpuristumattoman nesteen potentiaalivirtauksen tasaisessa painovoimakentässä Cauchy-Lagrange-integraalilla on muoto

${\frac {\partial \varphi }{\partial t))+{\frac ({\text{grad))^{2}\,\varphi }{2))+{\frac {p} {\rho }}+gz=f(t),$

missä on nopeuspotentiaali , paine nesteessä, on sen tiheys, on vapaan pudotuksen kiihtyvyys , , , ovat suorakulmaisia koordinaatteja (akseli on suunnattu pystysuunnassa ylöspäin, painovoimaa vastaan). Tässä on tietty ajan funktio, jota voidaan pitää identtisenä nollana, jos nopeuspotentiaalia muutetaan (tällaisella muutoksella potentiaalin avaruudellisten derivaattojen määräämä nopeuskenttä ei muutu). ${\näyttötyyli \varphi (x,y,z,t)}$ ${\näyttötyyli p(x,y,z,t)}$ $\rho$ $g$ $x$ $y$ $z$ $z$ $f(t)$ ${\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt$

Yleinen tapaus

Ihanteellisen nesteen potentiaalisen virtauksen yleisessä tapauksessa Cauchy-Lagrange-integraali on voimassa, jos tiheyden ja paineen välillä on yksiselitteinen suhde (tällaista prosessia kutsutaan barotrooppiseksi ). Tässä tapauksessa kehon voimien kenttä (nesteeseen vaikuttava kehon voima massayksikköä kohti) on välttämättä potentiaalinen: missä on kehon voimapotentiaali (ei pidä sekoittaa nopeuspotentiaaliin ), ja Cauchy-Lagrange-integraali on kirjoitettuna lomakkeeseen ${\näyttötyyli \rho =\rho (p)}$ ${\vec {F}}={\text{grad}}\,U,$ $U(x,y,z,t)$ $\varphi$

${\frac {\partial \varphi }{\partial t))+{\frac {({\text{grad))\,\varphi )^{2)){2))+\int {\ frac {dp}{\rho (p)}}-U=f(t).$

Katso myös

Bernoullin integraali
Bernoullin yhtälö epävakaalle potentiaalivirtaukselle

Muistiinpanot

↑ Sedov L.I. Jatkuva mekaniikka. - M .: Nauka, 1970. - T. 2. - 568 s.
↑ Loitsyansky L. G. Neste- ja kaasumekaniikka, 2003 , §42. Lagrange-Cauchyn integraali.
↑ Kochin N.E., Kibel I.A., Rose N.V. Teoreettinen hydromekaniikka. - M .: Fizmatgiz, 1963. - T. 1. - 584 s.
↑ Lamb G. Hydrodynamiikka. - M. - L .: OGIZ. GITTL, 1947. - 928 s.
↑ Kundu PK, Cohen IM Fluid Mechanics. - Academic Press, 2002. - 730 s.
↑ Faber T.E. Fluidin dynamiikkaa fyysikoille. - Cambridge University Press, 1995. - 440 s.
↑ Euler L. Principes généraux du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. - Berliini, 1757 (1755). - T. 11 . — S. 274–315 . , venäjänkielinen käännös: Euler L. Nesteen liikkeen yleiset lait // Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Nesteen ja kaasun mekaniikka. - 1999. - Nro 6 . , historiallinen kommentti: Mikhailov G.K. Hydrauliikan ja hydrodynamiikan muodostuminen Pietarin akateemikkojen teoksissa (XVIII vuosisata) // Izvestiya Rossiiskoi akademii nauk. Nesteen ja kaasun mekaniikka. - 1999. - Nro 6 .
↑ Lagrange. Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides // Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin. – 1781.
↑ Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie // Mémoires présentés par divers savants à l'Académie royale des Sciences de l'Institut de France. Tieteet, matematiikka ja fysiikka. - 1827. - T. 1 .

Kirjallisuus

Loytsyansky L.G. Nesteen ja kaasun mekaniikka. - M . : Bustard, 2003. - 842 s. — ISBN 5-7107-6327-6 .