Kvantori

Kvantori on yleinen nimi loogisille operaatioille, jotka rajoittavat predikaatin totuuden laajuutta ja luovat lausunnon . Useimmiten mainittu:

Universaali kvantori (nimitys:, lukee: "jokaiselle ...", "jokaiselle ...", "kaikille ..." tai "jokaiselle ...", "mikä tahansa ...", "kaikki .. ."). $\kaikille$
Olemassaolotunnistin (nimitys:, lue: "on ..." tai "on ..."). $\olemassa$

Matemaattisessa logiikassa kvantisoijan osoittamista kaavalle kutsutaan sitomiseksi tai kvantisoimiseksi .

Moniarvoisessa logiikassa otetaan käyttöön myös muita kvantisoijia, esimerkiksi moniarvosana ( Rescher - kvantioija) (merkitty käänteisellä M :llä , lue "enemmistölle ...").

Esimerkkejä

Merkitään predikaatti " x on jaollinen 9:llä". Universaalin kvantorin avulla voidaan kirjoittaa muodollisesti seuraavat väitteet (tietysti vääriä): $P(x)$

mikä tahansa luonnollinen luku on luvun 9 kerrannainen;
jokainen luonnollinen luku on 9:n kerrannainen;
kaikki luonnolliset luvut ovat 9:n kerrannaisia;

seuraavalla tavalla:

(\forall x\in {\mathbb {N}})P(x)

Seuraavat (jo totta) lausumat käyttävät eksistentiaalista kvantoria :

on luonnollisia lukuja, jotka ovat 9:n kerrannaisia;
on luonnollinen luku, joka on 9:n kerrannainen;
ainakin yksi luonnollinen luku on 9:n kerrannainen.

Niiden muodollinen merkintä on:

(\olemassa x\in {\mathbb {N}})P(x)

Johdatus käsitteeseen

Olkoon predikaatti : "Alkuluku on pariton" annetaan alkulukujoukolle. Korvaa sana "mikä tahansa" ennen tätä predikaattia. Saamme väärän lauseen "jokainen alkuluku on pariton" (tämä väite on väärä, koska 2 on parillinen alkuluku). $X$ $P(x)$ $x$ $x$

Korvaamalla sanan "olemassa" ennen tätä predikaattia saadaan tosi lause "On alkuluku , joka on pariton" (esimerkiksi ). $P(x)$ $x$ $x=3$

Näin ollen on mahdollista muuttaa predikaatti lauseeksi asettamalla predikaatin eteen sanat ("kaikki", "olemassa" ja muut), joita kutsutaan logiikassa kvantoriksi.

Kvantifiers matemaattisessa logiikassa

Lauseke tarkoittaa, että muuttujan alue sisältyy predikaatin totuusalueeseen . $\forall xP(x)$ $x$ $P(x)$

("Kaikille arvoille väite on tosi"). $x$

Lausunto tarkoittaa, että predikaatin totuusalue ei ole tyhjä. $\exists xP(x)$ $P(x)$

("On olemassa , jonka alla väite on totta"). $x$

Vapaat ja sidotut muuttujat

Kaavan F vapaiden muuttujien joukko* määritellään rekursiivisesti seuraavasti:

Vapaat muuttujat.

Kaikki atomikaavaan sisältyvät muuttujat ovat tämän kaavan vapaita muuttujia,
kaavan F vapaat muuttujat ovat kaavan ¬F vapaita muuttujia,
muuttujat, jotka ovat vapaita ainakin yhdelle kaavoista F tai G, ovat kaavan (F D G) vapaita muuttujia,
kaikki kaavan F vapaat muuttujat v:tä lukuun ottamatta ovat kaavan Kv F vapaita muuttujia.

suljettu kaava.

Kaavaa ilman vapaita muuttujia kutsutaan suljetuksi kaavaksi tai lauseeksi.

Liittynyt muuttuja.

Muuttuja v on sidottu kaavaan F, jos F sisältää Kv:n esiintymän, jossa K on kvantori.

Sidottu uudelleennimeäminen, ilmainen uudelleennimeäminen

Kvantoijien operaatiot

Kvantioijan negaatiosääntöä käytetään kvantisoijia sisältävien lauseiden negaatioiden rakentamiseen, ja sen muoto on:

$\lnot (\forall x)P(x)=(\olemassa x)\lnot P(x)$
$\lnot (\exists x)P(x)=(\forall x)\lnot P(x)$

Ulkoasuhistoria

Filosofit ovat jo pitkään kiinnittäneet huomiota loogisiin operaatioihin, jotka rajoittavat predikaatin totuuden laajuutta, mutta eivät erottaneet niitä erillisenä operaatioluokkana. Joten Thomas Hobbes uskoi, että ne ovat osia nimistä [1] .

Vaikka kvantoriloogisia konstruktioita käytetään laajasti sekä tieteellisessä että jokapäiväisessä puheessa, niiden formalisointi tapahtui vasta vuonna 1879 Fregen kirjassa "The Calculus of Concepts". Fregen merkintä näytti vaivalloisilta graafisilta rakenteilta, eikä sitä hyväksytty. Myöhemmin ehdotettiin monia onnistuneita symboleja, mutta Charles Piercen vuonna 1885 ehdottama merkintä olemassaolon kvantorille ( englannin olemassaolon käänteinen ensimmäinen kirjain on olemassa) ja yleisen kvantisoijan ( saksa: Alle ) merkintä. $\olemassa$ $\kaikille$ - "kaikki", "kaikki"), jonka Gerhard Gentzen muodosti vuonna 1935 analogisesti eksistentiaalisen kvantorin symbolin kanssa. Peirce ehdotti myös termejä "kvantifioija", "kvantifiointi".

Muistiinpanot

↑ "Mutta sanat: mikä tahansa, mikä tahansa, jotkut jne., jotka osoittavat muiden sanojen yleistä tai erityistä merkitystä, eivät ole nimiä, vaan vain nimien osia." (Thomas Hobbes "On the Body")

Kirjallisuus

Kleene S. K. Johdatus metamatematiikkaan, s. Englannista, M., 1957, s. 72-80, 130-138
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matemaattinen logiikka. Ed. Kolmas, stereotyyppinen. — M.: KomKniga, 2006. — 240 s.
Novikov PS Matemaattisen logiikan elementit. - M.: Nauka, 1973. - 400 s.
Kirkko A. Johdatus matemaattiseen logiikkaan, käänn. englannista, osa 1, M., 1960, s. 42-48.

Linkit

kvantisoijat

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11931538s GND : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323