Kvanttiharmoninen oskillaattori

Kvanttiharmoninen oskillaattori on kvanttimekaniikan fysikaalinen malli , joka on parabolinen potentiaalikaivo massaiselle hiukkaselle ja on yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin analogi . Tämän systeemin käyttäytymistä analysoitaessa ei oteta huomioon hiukkaseen vaikuttavia voimia, vaan Hamiltonin , eli oskillaattorin kokonaisenergiaa, ja potentiaalienergian oletetaan olevan neliöllisesti riippuvainen koordinaateista. Seuraavien termien huomioon ottaminen potentiaalienergian laajenemisessa koordinaattia pitkin johtaa anharmonisen oskillaattorin käsitteeseen . $m$

Harmonisen oskillaattorin ongelma koordinaattiesituksessa

Massoisen m kvanttioskillaattorin Hamiltonin , jonka luonnollinen taajuus on ω, näyttää tältä:

\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}} {2}}

Koordinaattiesityksessä , . _ Ongelma harmonisen oskillaattorin energiatasojen löytämisessä rajoittuu sellaisten lukujen E löytämiseen, joille osittaisdifferentiaaliyhtälö ${\hat p}=-i\hbar \partial /\partial x$ ${\hattu q}=x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)

on ratkaisu neliön integroitavien funktioiden luokassa .

varten $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$

ratkaisu näyttää tältä:

\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!))))\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\oikea)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\ vasen ({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\right),

funktiot ovat Hermite-polynomeja : $H n$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{- x^{2}}}

Tämä E -arvojen alue ansaitsee huomion kahdesta syystä: Ensinnäkin energiatasot ovat erillisiä ja tasaisin välimatkoin (tasavälisiä) , eli kahden vierekkäisen tason välinen energiaero on vakio ja yhtä suuri kuin ; toiseksi pienin energiaarvo on . Tätä tasoa kutsutaan pää- , tyhjiö- tai nollavärähtelytasoksi . $\hbar \omega$ $\hbar \omega /2$

Luomisen ja tuhoamisen operaattorit

On paljon helpompaa saada harmonisen oskillaattorin spektri käyttämällä luomis- ja annihilaatiooperaattoreita , jotka konjugoidaan toisiinsa .

Syntymäoperaattori on , annihilaatiooperaattori on , niiden kommutaattori on yhtä suuri kuin ${\hat {a}}^{+}$ ${\näyttötyyli {\hattu {a}}}$

[{\hat {a)),{\hat {a}}^{+}]={\hattu {a}}{\hattu {a}}^{+}-{\hattu {a} }^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hattu {q}}-{\hattu {q}}{\hattu {p)))=1

Luomis- ja annihilaatiooperaattoreita käyttämällä kvanttioskillaattorin Hamiltonin voidaan kirjoittaa kompaktissa muodossa:

{\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \vasen({\hattu {n}}+{\frac {1}{2}}\oikea)

missä on tasonumeron operaattori (täyttönumerot). Tällaisen Hamiltonin ominaisvektorit ovat Fock-tiloja , ja ongelman ratkaisun esittämistä tässä muodossa kutsutaan "hiukkasten lukumäärän esitykseksi". ${\hat {n}}={\hattu {a}}^{+}{\hattu {a}}$

Anharmoninen oskillaattori

Anharmonisella oskillaattorilla tarkoitetaan oskillaattoria, jonka potentiaalienergia ei ole neliöllisesti riippuvainen koordinaatista. Anharmonisen oskillaattorin yksinkertaisin approksimaatio on potentiaalienergian approksimaatio Taylor-sarjan kolmanteen termiin asti :

{\hat {H}}={{\hattu {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{ 2}+\lambda {\hattu {q}}^{3}

Tällaisen oskillaattorin energiaspektrin ongelman tarkka ratkaisu on melko työläs, mutta energian korjaukset on mahdollista laskea, jos oletetaan, että kuutiotermi on pieni verrattuna neliölliseen ja käytetään häiriötä. teoria .

Luomis- ja tuhoamisoperaattoreiden esityksessä (toinen kvantisointiesitys) kuutiotermi on yhtä suuri kuin

\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hattu {a}}^{+})^{3 }.

Tällä operaattorilla on nolla diagonaalielementtiä, ja siksi ensimmäinen häiriöteorian korjaus puuttuu. Toinen korjaus mielivaltaisen ei- tyhjiötilan energiaan on $\left|\psi _{E}\right\rangle$

\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q ^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .

Monipartikkelinen kvanttioskillaattori

Useiden hiukkasten vuorovaikutuksen yksinkertaisimmassa tapauksessa voidaan soveltaa monihiukkasen kvanttioskillaattorin mallia, mikä tarkoittaa naapurihiukkasten vuorovaikutusta toisen lain mukaan:

{\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}({\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2} m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hattu {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}

Tässä ja :lla tarkoitamme poikkeamaa tasapainoasennosta ja -:nnen hiukkasen liikemäärää. Summaus suoritetaan vain viereisten hiukkasten yli. ${\hat {q}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}$ $i$

Tällainen malli johtaa teoreettiseen perusteluun kiinteässä aineessa havaittujen fononien - Bose - kvasihiukkasten osalta.

Siirtymät ulkoisen voiman vaikutuksesta

Ulkoisen voiman vaikutuksesta kvanttioskillaattori voi siirtyä energiatasolta ( ) toiselle ( ). Tämän siirtymän todennäköisyys oskillaattorille ilman vaimennusta saadaan kaavalla: $f(t)$ $n$ $m$ $W_{n,m}(t)$

W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(nm)}exp\left(-|\delta ^{2}|\ vasen(L_{n}^{mn}(|\delta |^{2})\oikea)^{2}\oikea)

jossa funktio määritellään seuraavasti: ${\näyttötyyli \delta (t)}$

\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }

ja ovat Laguerren polynomeja . $L_{m}^{{mn}}$

Katso myös

Kirjallisuus

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria). — 3. painos, tarkistettu ja laajennettu. - M .: Nauka , 1974 . — 752 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa III).

Kvanttimekaniikan mallit
Yksiulotteinen ilman pyöritystä	vapaa hiukkanen Kuoppa loputtomilla seinillä Suorakulmainen kvanttikuivo deltapotentiaalia Kolmiomainen kvanttikuivo Harmoninen oskillaattori Mahdollinen ponnahduslauta Pöschl-Teller potentiaali hyvin Muokattu Pöschl-Teller-potentiaalikaivo Partikkeli jaksollisessa potentiaalissa Dirac-potentiaalikampa Partikkeli renkaassa
Moniulotteinen ilman spiniä	pyöreä oskillaattori Vetymolekyyli-ioni Symmetrinen toppi Pallosymmetriset potentiaalit Woods-Saxon potentiaalia Keplerin ongelma Yukawan potentiaali Morsen potentiaalia Hulthen potentiaalia Kratzerin molekyylipotentiaali Eksponentiaalinen potentiaali
Mukaan lukien spin	vetyatomi Hydridi-ioni helium atomi