Bianchin luokitus

Bianchin luokitus on todellisten kolmiulotteisten Lie-algebroiden ja -ryhmien luokitus . Nimetty Luigi Bianchin mukaan, joka todisti sen vuonna 1898.

Luokittelu sisältää 11 luokkaa; Niistä 9 sisältää kukin yhden algebran ja kaksi jatkuvan algebran perheen. (Joskus kaksi ryhmää sisältyy äärettömiin perheisiin, jolloin luokka on 9 11 luokan sijaan.)

Termiä Bianchi-luokitus käytetään myös samanlaisiin luokitteluihin muissa ulottuvuuksissa sekä monimutkaisten Lie-algebroiden luokittelussa.

Mitat 0, 1 ja 2

Dimension 0: ainoa Lie-algebra on triviaali nollaulotteinen algebra.
Dimension 1: Ainoa Lie-algebra on Abelin Lie-algebra . Sen ulompi automorfismiryhmä on nollasta poikkeavien reaalilukujen kertova ryhmä. $\mathbb {R}$
Dimension 2: Lie-algebraa on kaksi:
1. Abelin Lie Algebra Outer Automorphism Groupin kanssa . $\mathbb {R} ^{2}$ $GL(2,\mathbb {R} )$
2. Ylempien kolmiomaisten 2 × 2 -matriisien ratkaistava valhealgebra nollajäljillä . Siinä on triviaali keskus ja triviaali ulompi automorfismiryhmä. Siihen liittyvä yksinkertaisesti yhdistetty Lie-ryhmä on rivin affiinisten muunnosten ryhmä (joskus sitä kutsutaan -ryhmäksi ). ${\näyttötyyli (a\cdot x+b)}$

Dimension 3

Kaikki kolmiulotteiset Lie-algebrat, lukuun ottamatta tyyppejä VIII ja IX, voidaan rakentaa ja puolisuoraksi tuloksi , ja ne vaikuttavat johonkin 2×2 matriisiin . Eri tyypit vastaavat erityyppisiä matriiseja , kuten alla on kuvattu. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $M$ $M$

Tyyppi I. Se on Abelin ja unimodulaarinen Lie-algebra . Sen yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on keskus ja ulompi automorfismiryhmä . Tämä on tilanne, kun se on 0. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $GL(3,\mathbb {R} )$ $M$
Tyyppi II : Heisenberg-algebra , joka on nilpotentti ja yksimodulaarinen. Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on keskus ja ulompi automorfismiryhmä . Tämä on tilanne, kun nilpotentti, mutta ei 0 (kaikki ominaisarvot ovat 0). $\mathbb {R}$ $GL(2,\mathbb {R} )$ $M$
Tyyppi III : Tämä algebra on 2-ulotteisen ei-Abelin Lie -algebran tulos. (Tämä on tyypin VI rajoittava tapaus, kun yksi ominaisarvo katoaa.) Se on päätettävissä eikä yksimodulaarinen. Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on keskus . Sen ulompi automorfismiryhmä on nollasta poikkeavien reaalilukujen ryhmä. Matriisissa on yksi nolla ja yksi nollasta poikkeava ominaisarvo. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $M$
Tyyppi IV : algebra, jonka määrittää [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Se on päätettävissä eikä yksimodulaarinen. Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on triviaalikeskus ja ulompi automorfismiryhmä, joka on todellisten lukujen ja kertaluvun 2 ryhmän tulo. Matriisissa on kaksi yhtä suurta nollasta poikkeavaa ominaisarvoa, mutta se ei ole diagonalisoitavissa . $M$
Tyyppi V : [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . Ratkaistava eikä yksimodulaarinen. (Tyypin VI rajatapaus, kun molemmat ominaisarvot ovat samat.) Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on triviaalikeskus ja ulommat automorfismien ryhmäelementit determinantilla +1 tai −1. Matriisilla on kaksi samanarvoista ominaisarvoa ja se on diagonalisoitavissa. $GL(2,\mathbb {R} )$ $M$
Tyyppi VI : ääretön perhe: puolisuorat tulot arvolla , jossa matriisilla on nollasta poikkeavat erilliset todelliset ominaisarvot nollasta poikkeavalla summalla. Algebrat ovat päätettäviä eivätkä unimodulaarisia. Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on triviaalikeskus ja ulompi automorfismiryhmä, joka on nollasta poikkeavien reaalilukujen ja kertaluvun 2 ryhmän tulo. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
Tyyppi VI 0: Tämä Lie-algebra on puolisuora tulo , jossa matriisilla M on nollasta poikkeavat erilliset todelliset nollasumman ominaisarvot. Se on päätettävissä oleva ja yksimodulaarinen. Tämä on 2-ulotteisen Poincarén ryhmän Lie-algebra, 2-ulotteisen Minkowski-avaruuden isometriaryhmä . Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on triviaalikeskus ja ulompi automorfismiryhmä, positiivisten reaalilukujen tulo 8 :n asteen dihedraalisella ryhmällä . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$
Tyyppi VII : ääretön perhe: puolisuorat tulot , jossa matriisilla on monimutkaisia ominaisarvoja, ei todellisia eikä imaginaarisia. Ratkaistava eikä yksimodulaarinen. Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on triviaali keskus ja ulommat automorfismit ryhmässä nollasta poikkeavat reaaliluvut. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
Tyyppi VII 0 : puolisuora tulo , jossa matriisilla on nollasta poikkeavat imaginaariset ominaisarvot. Ratkaistava ja unimodulaarinen. Tämä on tasoisometriaryhmän Lie-algebra. Yksinkertaisesti yhdistetyllä ryhmällä on keskus Z ja ulompi automorfismiryhmä, joka on nollasta poikkeavien reaalilukujen ja kertaluvun 2 ryhmän tulo. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
Tyyppi VIII : 2 × 2 -matriisien valhealgebra, jossa ryhmään liittyy jälki nolla . Yksinkertainen ja yksimodulaarinen. Yksinkertaisesti yhdistetty ryhmä ei ole matriisiryhmä; se on merkitty , sillä on keskus Z ja ulompi automorfismiryhmä, joka on kertaluokkaa 2. $sl(2,\mathbb {R} ^{2})$ $SL(2,\mathbb {R} ^{2})$ ${\widetilde {\mbox{SL}}}(2,\mathbf {R} )$
Tyyppi IX : Ortogonaalisen ryhmän valhealgebra . Se on merkitty 𝖘𝖔(3) ja on yksinkertainen ja yksimodulaarinen. Vastaava yksinkertaisesti yhdistetty ryhmä on SU(2) ; sillä on kertaluvun 2 keskus ja triviaali ulompi automorfismiryhmä, ja se on spin-ryhmä . $O(3,\mathbb {R} )$

Kolmiulotteisten kompleksisten Lie-algebroiden luokitus on samanlainen, paitsi että tyypeistä VIII ja IX tulee isomorfisia, kun taas tyypeistä VI ja VII tulee osa yhtä Lie-algebroiden perhettä.

Yhdistetyt 3-ulotteiset Lie-ryhmät voidaan luokitella seuraavasti: ne ovat keskuksen diskreetin aliryhmän vastaavan yksinkertaisesti yhdistetyn Lie-ryhmän tekijä, joten ne voidaan lukea annetusta listasta.

Ryhmät liittyvät 8 eri geometriaan Thurstonin geometrisaatiooletuksissa . Tarkemmin sanottuna seitsemän kahdeksasta geometriasta voidaan toteuttaa vasemmanpuoleisina muuttumattomina mittareina yksinkertaisesti yhdistetyssä ryhmässä (joskus useammalla kuin yhdellä tavalla). Tyyppigeometriaa ei voida toteuttaa tällä tavalla. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {R}$

Linkit

R. Borcherds (Englanti) , Valheryhmät : Bianchi-luokitus YouTubessa