Ketjukompleksi

Ketjukompleksi ja cochain-kompleksin kaksoiskäsite ovat homologisen algebran peruskäsitteitä .

Näitä käsitteitä käytettiin alun perin algebrallisessa topologiassa topologisten avaruuksien tutkimiseen. Homologisessa algebrassa niitä käsitellään abstrakteina algebrallisina rakenteina ottamatta huomioon topologista tilaa .

Ketjukompleksien homologiaryhmät on määritelty (kohomologiaryhmät koketjukomplekseille). Ketjukompleksit voidaan määritellä myös mielivaltaiseen Abelin kategoriaan .

Määritelmät

Ketjukompleksi on moduulien ja homomorfismien sarja , jota kutsutaan rajaoperaattoreiksi tai differentiaaleiksi : $(K_\bullet, \partial_\bullet)$ $\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}$

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots

sellainen että . Elementtejä kutsutaan -ulotteisiksi ketjuiksi , ydin - -ulotteisten syklien elementtejä , kuvan elementtejä - -ulotteisuusrajoja . Tästä seuraa, että ( puolitarkkuus ). Jos lisäksi , niin tällaista kompleksia kutsutaan tarkaksi . $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $K_n$ $n$ $Z_{n}K=\operaattorinimi {Ker} \partial _{n}$ $n$ $B_{n}K=\operaattorinimi {Im} \partial _{n+1}$ $n$ $\partial_{n}\partial_{n+1}=0$ $B_n K \alajoukko Z_n K$ $B_n K = Z_n K$

Moduulien ketjukompleksit kiinteän renkaan yli muodostavat luokan , jossa on morfismeja , jossa on morfismien sekvenssi , joka liikkuu differentiaalin kanssa, eli . $\varphi _{\bullet }\colon (K_{\bullet },\partial _{\bullet }^{K})\to (L_{\bullet },\partial _{\bullet }^{L })$ $\varphi_{\bullet}$ $\varphi_{n}\colon K_n \to L_n$ $\varphi_{n}$ $\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}$

Ketjukompleksi voidaan määritellä myös porrastetuksi moduuliksi , joka on varustettu asteerolla −1. $M_{*}$ $\partial :M_{*}\to M_{*}$

On myös mahdollista määritellä komplekseja, jotka koostuvat mielivaltaisen Abelin luokan objekteista , kuten Abelin ryhmien lyhteiden kategoriasta . [yksi]

Cochain-kompleksi

Cochain-kompleksi on käsite , joka on kaksinkertainen ketjukompleksille. Se määritellään moduulien ja homomorfismien sarjana siten, että $(\Omega^{\bullet}, d^{\bullet})$ $d^n\kaksoispiste \Omega^n \to \Omega^{n+1}$

d^{n+1} d^n = 0

Cochain-kompleksi, kuten ketjukompleksi, on puolitarkka sekvenssi.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d ^{n+1}}

Koketjukomplekseihin liittyvät ominaisuudet ja käsitteet ovat kaksijakoisia ketjukompleksien analogisten käsitteiden ja ominaisuuksien kanssa.

Homologia ja kohemologia

Ketjukompleksin n-ulotteinen homologiaryhmä on sen tarkkuusmitta n:nnessä termissä ja se määritellään $H n$ $(K_\bullet, \partial_\bullet)$

H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}

. Tarkkaan kompleksin vuoksi

H_n = 0

Koketjukompleksin n-ulotteinen kohemologiaryhmä määritellään samalla tavalla:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1 }

Ketjukompleksien homomorfismit

Ketjukompleksien homomorfismi on sellainen kartoitus, että seuraava kaavio osoittautuu kommutatiiviseksi: $(A^\bullet , \delta^\bullet)$ $(B^\bullet, \gamma^\bullet)$ $f\colon A_n \to B_n, \kaikki n\in \N,$

Ketjukompleksien homomorfismi indusoi niiden homologiaryhmien homomorfismin .

Kompleksien ja sisäisen Homin tensoritulo

Jos V = V ja W = W ovat ketjukomplekseja, niin niiden tensoritulo on ketjukompleksi, jonka i -asteiset alkiot ovat muotoa ${\näyttötyyli {}_{*}}$ ${\näyttötyyli {}_{*}}$ $V\otimes W$

(V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{\{j,k|j+k=i\}}V_{j}\otimes W_{k},

ja ero on annettu kaavalla

\partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \osittinen b,

jossa a ja b ovat satunnaisia homogeenisia V :n ja W :n alkioita , vastaavasti, ja tarkoittaa alkion a astetta . $\left|a\right|$

Tämä tensoritulo mahdollistaa K - moduulien ketjukompleksien luokan varustamisen (mielivaltaiselle kommutatiiviselle renkaalle K ) symmetrisen monoidiluokan rakenteen kanssa . Solmuoperaatio annetaan hajotettavilla tensoreilla kaavalla ${\text{Ch}}_{K}$

a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a

Merkki on välttämätön, jotta solmuoperaatio olisi ketjukompleksien homomorfismi. Lisäksi K -moduulien ketjukompleksien luokassa on sisäinen Hom : ketjukomplekseille V ja W sisäinen Hom V :lle ja W :lle , jota merkitään hom( V , W ), on ketjukompleksi, jonka elementit asteella n on muoto , ja kaavan antama differentiaali $\Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})$

(\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))

On olemassa luonnollinen isomorfismi

{\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))

Ketjuhomotopia

Ketjuhomotoopia kompleksien homomorfismien välillä ja on sellainen ketjukompleksien ja asteen +1 (eli ) homomorfismi, jolle $D\kaksoispiste X \Y:ksi$ $f$ $g$ $(X^\bullet, \partial^\bullet)$ $(Y^\bullet, \delta^\bullet)$ $D_k \kaksoispiste X_k \Y_{k+1}$

\delta D + D \osittais = g - f

\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k

Cochain-komplekseille vastaava kommutatiivinen kaavio on muodossa

Muistiinpanot

↑ Monimutkainen // Matemaattinen tietosanakirja .

Kirjallisuus

Grothendieck A. Joistakin homologisen algebran kysymyksistä, - M .: 1961. (kokoelman "Matematiikka" B-ka).
Dold A. Luentoja algebrallisesta topologiasta, - M .: Mir, 1976.
Cartan A. , Eilenberg S. Homologinen algebra, - M .: Foreign Literature Publishing House, 1960.
McLane S. Homology, - M .: Mir, 1966.