Lineaarinen epätasa-arvo

Lineaarinen epäyhtälö on epäyhtälö , johon liittyy lineaarisia funktioita . Lineaarinen epäyhtälö sisältää yhden epäyhtälösymboleista [1]

< - vähemmän
> - enemmän
$\leqslant$ - pienempi tai yhtä suuri
$\geqslant$ - suurempi tai yhtä suuri
$\neq$ - ei tasavertainen

ja myös (muodollisesti)

= - on yhtä suuri

Lineaarinen epäyhtälö näyttää täsmälleen lineaariselta yhtälöltä , mutta yhtäläisyysmerkin sijasta laitetaan epäyhtälömerkki.

Reaalilukujen lineaariset epäyhtälöt

Kaksiulotteiset lineaariset epäyhtälöt

Kaksiulotteiset lineaariset epäyhtälöt ovat muodon ilmauksia:

ax+by<c

ax+by\geqslant c,

jossa eriarvoisuus voi olla tiukkaa tai ei. Tällaisen epäyhtälön ratkaisujoukko voidaan esittää graafisesti euklidisen tason puolitasona (kaikki pisteet kiinteän viivan "yhdellä puolella") [2] . Puolitason määrittävä suora ( ax + by = c ) ei sisälly ratkaisuun, jos epäyhtälö on tiukka. Yksinkertainen menetelmä sen määrittämiseksi, mikä puolitasoista on ratkaisu, on laskea funktion ax + arvo pisteessä ( x 0 , y 0 ), joka ei ole suoralla, ja tarkistaa, täyttääkö tämä piste epäyhtälön. .

Esimerkiksi [3] piirtääksesi ratkaisun x + 3 y < 9, piirrä ensin viiva yhtälöllä x + 3 y = 9 (katkoviiva) osoittaaksesi, että suora ei kuulu ratkaisualueeseen, koska epäyhtälö on tiukka. Sitten valitsemme sopivan pisteen, joka ei ole suoralla, kuten (0,0). Koska 0 + 3(0) = 0 < 9, tämä piste kuuluu epäyhtälön ratkaisujen joukkoon, ja tämän pisteen sisältävä puolitaso (viivan "alapuolella") on ratkaisujoukko lineaarinen epätasa-arvo.

Lineaariset epäyhtälöt korkeamman ulottuvuuden avaruudessa

Avaruudessa R n lineaariset epäyhtälöt ovat lausekkeita, jotka voidaan kirjoittaa muodossa

f({\bar {x)))<b

tai

f({\bar {x)))\leqslant b,

jossa f on lineaarinen muoto , , ja b on vakio reaaliarvo. ${\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

Tarkemmin sanottuna tämä voidaan kirjoittaa näin

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b

tai

a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant b.

Täällä niitä kutsutaan tuntemattomiksi, mutta niitä kutsutaan kertoimiksi. ${\näyttötyyli x_{1},x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n))$

Vaihtoehtoisesti sama voidaan kirjoittaa nimellä

g(x)<0\,

tai

g(x)\leqslant 0,

missä g on affiinifunktio [4]

Tuo on

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0

tai

a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leqslant 0.

Huomaa, että mikä tahansa epäyhtälö, joka sisältää merkkejä "suurempi kuin" tai "suurempi tai yhtä suuri kuin" voidaan kirjoittaa uudelleen epäyhtälöksi, jossa on merkit "pienempi kuin" tai "pienempi tai yhtä suuri kuin", joten lineaarisia epäyhtälöitä ei tarvitse määritellä. näillä merkeillä.

Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmät

Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmä on joukko epäyhtälöitä, joilla on samat muuttujat:

{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n }&&\;\leqslant \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_ {n}&&\;\leqslant \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_ {m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leqslant \;&&&b_{m}\ \\end{alignedat}}

Tässä on muuttujia, järjestelmäkertoimia ja vakiotermejä. ${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n))$ ${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn))$ ${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m))$

Lyhyesti sanottuna tämä voidaan kirjoittaa matriisi- epäyhtälöksi

Ax\leqslant b,

missä A on m × n matriisi , x on n × 1 muuttujan sarakevektori ja b on vakioiden m × 1 sarakevektori.

Yllä kuvatuissa järjestelmissä voidaan käyttää sekä tiukkaa että ei-tiukkaa epätasa-arvoa.

Kaikilla lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmillä ei ole ratkaisua.

Sovellukset

Polyhedra

Reaaliepäyhtälön ratkaisujoukko muodostaa n -ulotteisen reaaliavaruuden puoliavaruuden , toisen vastaavan lineaarisen yhtälön määrittelemästä kahdesta puoliavaruudesta.

Lineaaristen epäyhtälöiden järjestelmän ratkaisujoukko vastaa yksittäisten epäyhtälöiden määrittelemien puoliavaruuksien leikkauspistettä. Se on kupera joukko, koska puoliavaruudet ovat kuperia joukkoja, ja myös kuperajoukkojen joukon leikkauspiste on konveksi joukko. Ei - degeneroituneissa tapauksissa tämä kupera joukko on kupera monitahoinen (mahdollisesti rajaton, kuten puoliavaruus, levy kahden yhdensuuntaisen puoliavaruuden välissä tai kupera kartio ). Se voi myös olla tyhjä tai kupera polyhedri, jolla on pienempi ulottuvuus ja jota rajoittaa n - ulotteisen avaruuden R n affiininen aliavaruus .

Lineaarinen ohjelmointi

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelmana etsitään funktion (kutsutaan tavoitefunktioksi) optimia (maksimi- tai minimiarvo) tietyn muuttujien rajoitusten alaisena, jotka yleensä ovat lineaarisia epäyhtälöitä [5] . Näiden rajoitusten luettelo on lineaaristen epätasa-arvojen järjestelmä.

Yleistys

Yllä oleva määritelmä vaatii hyvin määriteltyjä yhteen- , kerto- ja vertailuoperaatioita . Siten lineaarisen epäyhtälön käsite voidaan laajentaa järjestetyille renkaille ja erityisesti järjestetyille kenttiin . Tämän tyyppiset yleistykset ovat vain teoreettisia, kunnes näiden yleistysten sovellukset tulevat selväksi.

Muistiinpanot

↑ Miller ja Heeren 1986 , s. 355.
↑ Teknisesti tällainen väite on oikein, kun a ja b eivät ole yhtä aikaa nolla. Kun kyseessä on yhtäläisyys nollaan, ratkaisu on tyhjä joukko tai koko taso.
↑ Angel, Porter, 1989 , s. 310.
↑ Kaksiulotteisen avaruuden tapauksessa sekä lineaarista muotoa että affiinifunktiota kutsutaan historiallisesti lineaarisiksi funktioiksi, koska niiden kuvaajat ovat suoria viivoja. Muissa dimensioissa millään näistä funktioista ei ole suoraa kaaviona, joten lineaarisen funktion yleistäminen korkeampiin ulottuvuuksiin tapahtuu algebrallisten ominaisuuksien mielessä, mikä johtaa erotteluun kahdentyyppisiksi funktioiksi. Näiden funktioiden ero on kuitenkin vain lisävakio.
↑ Angel, Porter, 1989 , s. 373.

Kirjallisuus

Allen R. Angel, Stuart R. Porter. Tutkimus matematiikasta sovelluksilla. – 3. - Addison-Wesley, 1989. - ISBN 0-201-13696-1 .
Charles D. Miller, Vern E. Heeren. Matemaattisia ideoita . – 5. - Scott, Foresman, 1986. - ISBN 0-673-18276-2 .
Khan Academy: Lineaariset epätasa-arvot, ilmaiset online-mikroluennot
Vyalyi MN Lineaariset epäyhtälöt ja kombinatoriikka . M.: MTsNMO, 2003. 32 s.