Lineaarinen avaruus (geometria)

Lineaarinen avaruus on tulogeometrian perusrakenne . Lineaarinen avaruus koostuu joukosta elementtejä, joita kutsutaan pisteiksi , ja joukosta elementtejä, joita kutsutaan viivoiksi . Jokainen rivi on erilainen pisteiden osajoukko . Viivan pisteiden sanotaan olevan suoran kanssa yhteensopivia . Millä tahansa kahdella viivalla voi olla enintään yksi yhteinen piste. Intuitiivisesti tämä sääntö voidaan osoittaa kahtena euklidisen tason suorana, jotka eivät koskaan leikkaa useammassa kuin yhdessä pisteessä.

( Äärilliset ) lineaariset avaruudet voidaan ajatella projektiivisten ja affiinisten tasojen yleistyksinä ja laajemmin 2 -lohkorakenteina, jotka edellyttävät jokaisen lohkon sisältävän saman määrän pisteitä ja olennainen rakenteellinen ominaisuus on, että kaksi pistettä sattuu täsmälleen yhdelle riville.

Libois loi termin lineaarista avaruutta vuonna 1964, vaikka monet lineaarista avaruutta koskevat tulokset ovat paljon vanhempia.

Määritelmä

Olkoon L = ( P , G , I ) insidenssirakenne , jossa P :n alkioita kutsutaan pisteiksi ja G :n alkioita viivoiksi. L on lineaarinen avaruus , jos seuraavat kolme aksioomaa ovat voimassa:

• (L1) kaksi pistettä sattuu täsmälleen yhdellä viivalla.
• (L2) mikä tahansa suora osuu vähintään kahteen pisteeseen.
• (L3) L sisältää vähintään kaksi riviä.

Jotkut kirjoittajat jättävät (L3) pois määritellessään lineaarisia välilyöntejä. Tässä tapauksessa lineaariavaruuksia, jotka kunnioittavat (L3), pidetään ei-triviaaleina , ja niitä, jotka eivät kunnioita, pidetään triviaaleina .

Esimerkkejä

Säännöllinen euklidinen taso pisteineen ja viivoineen muodostaa lineaarisen avaruuden, lisäksi kaikki affiiniset ja projektiiviset avaruudet ovat lineaarisia avaruuksia.

Alla oleva taulukko näyttää kaikki mahdolliset ei-triviaalit viiden pisteen tilat. Koska mitkä tahansa kaksi pistettä tulevat aina samalle suoralle, viivoja, jotka kohtaavat vain kaksi pistettä, ei näytetä. Triviaali tapaus on viiden pisteen läpi kulkeva suora viiva.

Ensimmäisessä esimerkissä ei piirretä kymmentä suoraa, jotka yhdistävät kymmenen pisteparia. Toisessa kuvassa ei näy seitsemää suoraa viivaa, jotka yhdistävät seitsemän pisteparia.

Lineaarista n pisteen avaruutta, joka sisältää n  − 1 pisteeseen osuvan suoran, kutsutaan melkein nipuksi . (Katso " paketti ")

Katso myös

• lohkon suunnittelu
• Fanon lentokone
• molekyyligeometria
• Osittain lineaarinen avaruus

Muistiinpanot

Kirjallisuus

• Ernest E. Shult. Pisteet ja linjat. - Springer, 2011. - (Universitex). — ISBN 978-3-642-15626-7 . - doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 .

• Albrecht Beutelspacher. Einführung in die endliche Geometrie II  (saksa) . - Bibliographisches Institut, 1983. - S. 159. - ISBN 3-411-01648-5 .
• JH van Lint , R. M. Wilson . Kombinatorian kurssi . - Cambridge University Press, 1992. - s  . 188 . - ISBN 0-521-42260-4 .
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher. Äärillisten lineaaristen avaruuksien teoria . - Cambridge: Cambridge University Press, 1992.