Sähkömagneettisen kentän vektoripotentiaali

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Sähkömagneettisen kentän vektoripotentiaali
${\vec A}$
Ulottuvuus	MLT -2 I -1
Yksiköt
SI	Tl m $\,\cdot \,$
GHS	Gf cm $\,\cdot \,$
Huomautuksia
Vektorisuure

Sähkömagneettisen kentän vektoripotentiaali A (vektoripotentiaali, magneettipotentiaali) - sähködynamiikassa vektoripotentiaali , jonka roottori on yhtä suuri kuin magneettinen induktio :

\mathbf {B} =\operaattorinimi {rot} \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {A} .

Määritetty mielivaltaisen skalaarifunktion gradienttiin asti . Se mitataan T m (SI) tai G cm (CGS). $\nabla \psi$ $\cdot$ $\cdot$

Vektoripotentiaali (A) on sähkömagneettisen potentiaalin 4-vektorin spatiaalinen komponentti .

Maxwellin yhtälöt

Yksi tapa kirjoittaa Maxwellin yhtälöitä on muotoilla ne vektori- ja skalaaripotentiaalina.

Tässä tapauksessa yhtälö täyttyy automaattisesti. $\operaattorin nimi {div}{\mathbf B}=0$

Ilmaisun korvaus sanalla in ${\mathbf A}$

\operaattorin nimi {rot}{\mathbf E}=-{\frac {\partial {\mathbf B}}{\partial t}}

johtaa yhtälöön

\operaattorin nimi {rot} \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=0,

jonka mukaan, aivan kuten sähköstatiikassa , otetaan käyttöön skalaaripotentiaali. Nyt sekä skalaari- että vektoripotentiaalit vaikuttavat kuitenkin: $\mathbf {E}$

\mathbf {E} =-\operaattorinimi {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Se seuraa yhtälöstä $\operaattorin nimi {rot}{\mathbf H}={\mathbf j}+{\frac {\osittinen {\mathbf D)){\osittinen t))$

\operaattorinnimi {rot} \;\operaattorin nimi {rot} \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\ partial }{\partial t))\left(-\operatorname {grad} \;\varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right).

Yhtälön avulla vektorin ja skalaaripotentiaalin yhtälöt voidaan kirjoittaa muodossa $\operaattorinimi {rot}\;\operaattorinnimi {rot}{\mathbf A}=\operaattorinimi {grad}\;\operaattorinnimi {div}{\mathbf A}-\nabla ^{2}{\mathbf A}$

\Delta \mathbf {A} -\operaattorinnimi {grad} \left(\operaattorinimi {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial \varphi }{\partial t))\right)-{\frac {1}{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2 }}}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\Delta \varphi +{\frac {\partial }{\partial t))\operaattorinimi {div} \mathbf {A} =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0))}.

Vektoripotentiaali ja magneettivuo

Stokes-lauseen mukaisesti piirin läpi kulkeva magneettivuo ilmaistaan helposti vektoripotentiaalin kiertona tätä piiriä pitkin: $\Phi$ $L$ $\mathbf {A}$

\Phi =\oint \limits _{L}\mathbf {A} \cdot \mathbf {dl} .

Vektoripotentiaalin kalibrointi

On helppo varmistaa, että muutokset

\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi ,

\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t)),

jossa on mielivaltainen koordinaattien ja ajan skalaarifunktio , älä muuta Maxwellin yhtälöitä ( mittarin invarianssi Noetherin lauseen mukaan se vastaa sähkövarauksen säilymislakia ). Näiden yhtälöiden ratkaisemisen helpottamiseksi asetetaan keinotekoinen lisäehto, jota kutsutaan potentiaalimittariksi . Kun ratkaistaan eri luokan ongelmia, yksi tai toinen kalibrointi on kätevämpää. Kaksi on laajalti käytössä - Coulombin mittari ja Lorentz-mittari. $\psi$

Coulombin kalibrointi

Coulombin mittaria kutsutaan lausekkeeksi:

\operaattorinimi {div} \mathbf {A} =0.

Tämä kalibrointi on kätevä magnetostaattisten ongelmien huomioon ottamiseksi (virtojen ollessa vakio ajan suhteen).

Lorentzin mittari

Lorentzin mittari on ehto, että potentiaalin 4-divergenssi on yhtä suuri kuin nolla (SI):

\nabla _{\mu }A_{\mu }=\operaattorinimi {div} \mathbf {A} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t }}=0.

Tässä tapauksessa yhtälöt kirjoitetaan uudelleen D'Alembertilaisiksi :

\square \mathbf {A} \equiv \Delta \mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} } {\partial t^{2))}=-\mu _{0}\mathbf {j} ,

\square \varphi \equiv \Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}} }=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

Tähän muotoon kirjoitettuja yhtälöitä on helpompi käyttää ei-stationaaristen ongelmien ratkaisemiseen.

Vektoripotentiaalin fyysinen merkitys

Yleensä uskotaan, että vektoripotentiaali on suure, jolla ei ole suoraa fyysistä merkitystä, ja se otetaan käyttöön vain laskennan helpottamiseksi. On kuitenkin mahdollista tehdä kokeita, jotka osoittivat, että vektoripotentiaali on käytettävissä suorassa mittauksessa. Aivan kuten sähköstaattinen potentiaali liittyy energian käsitteeseen , vektoripotentiaali liittyy läheisesti liikemäärän käsitteeseen .

Kvanttimekaaninen vaihesiirto

Magneettikentän vaikutus kvanttihiukkasen liikkeeseen johtaa vaiheensiirtoon [1] [2] :

\Delta \varphi _{H}={\frac {e}{\hbar c}}\int _{{S}}^{{}}({\mathbf {A}),\;d{\mathbf { l}}),

missä on elektronin varaus , on valon nopeus tyhjiössä, on pelkistetty Planckin vakio , on magneettikentän vektoripotentiaali ja on hiukkasen liikeradan elementti. $e$ $c$ $\hbar$ $\mathbf {A}$ $d{\mathbf {l}}$

Tässä tapauksessa vaihesiirto tapahtuu myös, kun hiukkanen kulkee alueiden läpi, joissa , ei ole yhtä suuri kuin nolla vain . Tämä tapahtuu esimerkiksi havainnoitaessa Aharonov-Bohm-ilmiötä [3] . ${\mathbf B}=0$ ${\mathbf A}$

Yleistetty vauhti

Kun hiukkanen liikkuu sähkömagneettisessa kentässä, kokonaisliikemäärä ei ole vain , vaan . Näin ollen, kun hiukkanen liikkuu puhtaasti magneettikentässä, juuri tämä määrä säilyy. On olemassa analogia hiukkasen kokonaisenergian kanssa , jota voidaan pitää kineettisen ja potentiaalisen energian summana. ${\mathbf {P}}$ ${\mathbf {p}}={\frac {m{\mathbf {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ ${\mathbf {p}}+q{\mathbf {A}}$ $E=T+U={\frac {mc^{2}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+q\varphi$

Hiukkasen liikemäärä magneettikentän nopean sammumisen aikana

Jos varautunut hiukkanen sijaitsee lähellä magneettikentän lähdettä, joka sammuu nopeasti tietyllä hetkellä, se saa lisävauhtia , vaikka se olisi nolla siinä kohdassa, jossa hiukkanen sijaitsi (esim. solenoidin ulkopuolelta). Erityisesti, jos hiukkanen oli levossa ennen kentän sammuttamista, se alkaa liikkua vauhdilla, joka on yhtä suuri kuin . Siten saamme mahdollisuuden mitata suoraan vektoripotentiaalia makroskooppisessa järjestelmässä. $\Delta {\mathbf {p}}=q{\mathbf {A}}$ $\mathbf {B}$ $q{\mathbf {A}}$

Johtopäätös

Kun vektorin potentiaali muuttuu, syntyy sähkökenttä:

\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Kirjoitamme Newtonin toisen lain yleistetyssä muodossa:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {F} ,

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]=-q{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+q[\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]].

Jos kenttä sammutetaan riittävän nopeasti ja hiukkasnopeus on pieni, niin

{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\gg [\mathbf {v} \times [\nabla \times \mathbf {A} ]],

ja osittaisderivaata ajan suhteen on käytännössä sama kuin kokonaissumma:

{\frac {d\mathbf {A} }{dt))={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {A} \noin {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t)).

Meillä on yhteensä:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=-q{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}.

Integroimme ajan myötä:

\mathbf {p} '-\mathbf {p} =-q(\mathbf {A} '-\mathbf {A} ).

Ja koska saamme ${\mathbf {A}}'=0$ $\Delta \mathbf {p} =q\mathbf {A} .$

Mittayksiköt

SI- järjestelmässä vektoripotentiaalin yksikkö on weber per metri ( Wb/ m , mitta - V s / m = kg m s −2 A −1 ) .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. - M . : Mir, 1966. - T. 6. - 344 s.
↑ Feynman R., Hibs A. Kvanttimekaniikka ja polkuintegraalit. - M .: Mir, 1968. - 382 s.
↑ Aharonov, Y. ja D. Bohm. Sähkömagneettisten potentiaalien merkitys kvanttiteoriassa // Phys. Rev.. - 1959. - T. 115 .

Kirjallisuus

Landau L.D. , Lifshits E.M. Kenttäteoria. - (" Teoreettinen fysiikka ", osa II).
Saveljev I. V. Fysiikan kurssi. T.2. sähköä ja magnetismia. Aalto. Optiikka - 1982. - 496 s.