Cartan matriisi

Matematiikassa termillä Cartan matriisi on kolme merkitystä . Kaikki ne on nimetty ranskalaisen matemaatikon Elie Cartanin mukaan . Itse asiassa Cartanin matriiseja Lie-algebroiden yhteydessä tutki ensin Wilhelm Killing , kun taas Killing-muoto johtuu Cartanista.

Lie algebras

Yleistetty Cartan-matriisi on neliömatriisi , jossa on kokonaislukumerkintöjä siten, että $A=(a_{ij})$

Diagonaaliset alkiot a ii = 2.
Diagonaaliset elementit . $a_{ij}\leq 0$
$a_{ij}=0$ jos ja vain jos . $a_{ji}=0$
A voidaan kirjoittaa muodossa DS , jossa D on diagonaalimatriisi ja S on symmetrinen .

Esimerkiksi G2 : n Cartan-matriisi voidaan hajottaa seuraavasti:

\left [ \begin{smallmatrix} \;\,\, 2&-3\\ -1&\;\,\, 2 \end{smallmatrix}\right ] = \left [ \begin{smallmatrix} 3&0\\ 0&1 \ end{smallmatrix}\right ] \left [ \begin{smallmatrix} 2/3&-1\\ -1&\;2 \end{smallmatrix}\right ].

Kolmas ehto ei ole itsenäinen ja on seurausta ensimmäisestä ja neljännestä ehdosta.

Voimme aina valita D :n positiivisilla diagonaalielementeillä. Tässä tapauksessa, jos S laajennuksessa on positiivinen definite , niin A:n sanotaan olevan Cartan-matriisi .

Yksinkertaisen Lie-algebran Cartan-matriisi on matriisi, jonka elementit ovat skalaarituloja

a_{ij}=2 {(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}

(jota joskus kutsutaan Cartanin kokonaisluvuiksi ), jossa r i on algebran juurijärjestelmä . Elementit ovat kokonaislukuja juurijärjestelmän yhdestä ominaisuudesta johtuen . Ensimmäinen ehto seuraa määritelmästä, toinen siitä tosiasiasta, että for on juuri, joka on lineaarinen yhdistelmä yksinkertaisista juurista r i ja r j positiivisella kertoimella r j :lle , ja sitten kertoimen r i on oltava ei - negatiivinen. Kolmas ehto on tosi johtuen ortogonaalisuusrelaation symmetriasta . Ja lopuksi anna ja . Koska yksinkertaiset juuret ovat lineaarisesti riippumattomia, niin S on niiden Gram-matriisi (kertoimella 2), ja siksi se on positiivinen määrätty. $i\neq j, r_j-{2(r_i,r_j)\over (r_i,r_i)}r_i$ $D_{ij}={\delta_{ij}\over (r_i,r_i)}$ $S_{ij}=2(r_i,r_j)$

Ja päinvastoin, jos yleistetty Cartan-matriisi annetaan, löytyy vastaava Lie-algebra (katso yksityiskohdat artikkelista Kac-Moody Algebra ).

Luokitus

Koko matriisi A on hajotettava , jos on olemassa ei-tyhjä osajoukko siten, että kaikille ja . A on hajoamaton , jos tämä ehto ei täyty. $n\ kertaa n$ $I \osajoukko \{1,\pisteet,n\}$ $a_{ij}=0$ $minä\minässä$ $j \ei I$

Olkoon A hajoamaton yleistetty Cartan-matriisi. Sanomme, että A on äärellinen tyyppi, jos kaikki sen päämollit ovat positiivisia, että A on affiinityyppisiä, jos kaikki sen varsinaiset päämollit ovat positiivisia ja A : n determinantti on 0, ja että A on muutoin määrittelemätöntä tyyppiä.

Äärillisen tyyppiset hajoamattomat matriisit luokittelevat äärellisen ulottuvuuden yksinkertaisia Lie-ryhmiä (tyyppiä ), kun taas affiinin tyyppiset hajoamattomat matriisit luokittelevat affiinisia Lie-algebroita (joidenkin algebrallisesti suljettujen kenttien yli, joiden ominaisuus on 0). $A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2$

Cartan-matriisien determinantit yksinkertaisille Lie-algebroille

Yksinkertaisten Lie-algebroiden Cartan-matriisien determinantit on annettu taulukossa.

$A_{n}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n = 6,7,8$	$F_{4}$	$G_{2}$
n +1	2	2	neljä	9- n	yksi	yksi

Toinen tämän determinantin ominaisuus on, että se on yhtä suuri kuin siihen liittyvän juurijärjestelmän indeksi, eli se on yhtä suuri kuin , missä tarkoittaa painohilaa ja vastaavasti juurihilaa. $|P/Q|$ $P, Q$

Äärillisulotteisten algebroiden esitykset

Modulaaristen esitysten teoriassa [ ja yleisemmässä teoriassa äärellisulotteisten assosiatiivisten algebroiden esityksistä, jotka eivät ole puoliyksinkertaisia , Cartan-matriisi määritellään ottamalla huomioon (äärellinen) joukko pääasiallisia hajoamattomia moduuleja ja kirjoittamalla niille kokoonpanosarjan alkumoduulien muodossa , jolloin saadaan kokonaislukumatriisi, joka sisältää alkumoduulin esiintymisten lukumäärän.

Cartan-matriisit M-teoriassa

M -teoriassa geometriaa voidaan esittää kahden syklin rajana, jotka leikkaavat toisensa äärellisessä määrässä pisteitä, koska kahden syklin pinta-ala on yleensä nolla. Rajassa syntyy paikallinen symmetriaryhmä . Kaksijaksoisen kannan leikkausindeksien matriisi on hypoteettisesti tämän paikallisen symmetriaryhmän Lie-algebran Cartan-matriisi [1] .

Tämä voidaan selittää seuraavasti: M-teoriassa on solitoneita , jotka ovat kaksiulotteisia pintoja, joita kutsutaan kalvoiksi tai 2-braaneiksi . 2-braaneissa on jännitystä ja siksi niillä on taipumus kutistua, mutta ne voidaan kääriä kahden kierroksen ympärille, jotta kalvot eivät putoa nollaan.

On mahdollista suorittaa yksiulotteinen tiivistys , jossa kaikki kaksi sykliä ja niiden leikkauspisteet sijaitsevat, ja ottaa raja, jossa ulottuvuus romahtaa, nollaan, jolloin saadaan pienennys tähän mittaan. Sitten saadaan tyypin IIA merkkijonoteoria M-teorian rajana, jossa on kaksijaksoisia kääreitä 2-braaneja, jotka nyt esitetään D-braanien väliin venytettyinä avoimina merkkijonoina . Jokaiselle D-braanille on olemassa paikallinen symmetriaryhmä U(1) , joka on samanlainen kuin liikkeen vapausasteet ilman uudelleensuuntausta. Raja, jossa kahdella syklillä on alue nolla, on raja, jossa nämä D-braanit ovat päällekkäin.

Kahden D-braanin väliin venytetty avoin merkkijono edustaa Lie-algebrageneraattoria ja kahden tällaisen generaattorin kommutaattori on kolmas generaattori, jota edustaa avoin merkkijono, joka voidaan saada liimaamalla kahden avoimen merkkijonon reunat. Muut yhteydet eri avoimien merkkijonojen välillä riippuvat tavasta, jolla 2-braanit voivat leikkiä alkuperäisessä M-teoriassa, eli kahden syklin leikkauspisteiden lukumäärästä. Siten Lie-algebra riippuu täysin näistä leikkausluvuista. Yhteyttä Cartan-matriisiin ehdotetaan, koska se kuvaa yksinkertaisia juurikommutaattoreita , jotka liittyvät valitun perustan kahdelle jaksolle.

Huomaa, että Cartan-alibalgebran generaattoreita edustavat avoimet merkkijonot, jotka on venytetty D-braanin ja saman braanin väliin.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Ashoke Sen. Huomautus M- ja String Theory -mittareiden parannetuista symmetrioista // Journal of High Energy Physics. - IOP Publishing, 1997. - T. 1997 , no. 9 . - doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 .

Kirjallisuus

William Fulton, Joe Harris. Edustusteoria: Ensimmäinen kurssi. - Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - S. 334. - ( Graduate Texts in Mathematics ). - ISBN 0-387-97495-4 .
James E. Humphreys. Johdatus Lie-algebroihin ja esitysteoriaan. - Springer-Verlag, 1972. - T. 9. - S. 55-56. — ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). — ISBN 0-387-90052-7 .
Victor G. Kac. Äärettömän ulottuvuuden valhealgebrat. – 3. - 1990. - ISBN 978-0-521-46693-6 .
Michiel Hazewinkel. Matematiikan tietosanakirja. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Cartan matriisi (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .