Implisiittinen käyrä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. maaliskuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Implisiittinen käyrä on tasokäyrä , jonka määrittää implisiittinen yhtälö , joka liittyy kahteen koordinaattimuuttujaan, joita yleensä merkitään x ja y . Esimerkiksi yksikköympyrä saadaan yhtälöstä . Yleisessä tapauksessa mikä tahansa implisiittinen käyrä saadaan muodon yhtälöllä $x^{2}+y^{2}=1$

F(x,y)=0

jollekin kahden muuttujan funktiolle F. Siksi implisiittistä funktiota voidaan pitää kahden muuttujan funktion nollien joukona. Implisiitti tarkoittaa , että yhtälö ei ilmaise muuttujan y ratkaisua x eikä päinvastoin.

Jos funktio on polynomi kahdessa muuttujassa, vastaavaa käyrää kutsutaan algebralliseksi ja sen tutkimiseen on olemassa erityisiä menetelmiä. $F(x,y)$

Tasokäyrä voidaan esittää suorakulmaisina koordinaatteina ( x , y koordinaatit ) millä tahansa kolmesta menetelmästä, joista yksi on yllä oleva implisiittinen yhtälö. Toista tapaa - funktion kuvaajaa yhtälön avulla , jossa funktio on eksplisiittisesti esitetty - kutsutaan eksplisiittiseksi esitykseksi. Kolmas tärkeä tapa kuvata käyrää on parametrinen kuvaus, jossa käyrän pisteiden x- ja y - koordinaatit esitetään kahdella funktiolla x ( t ), y ( t ) , sekä eksplisiittisenä esityksenä että yhteisestä riippuen. parametri $y=f(x)$ $t.$

Esimerkkejä implisiittisistä käyristä:

suoraan : $x+2y-3=0,$
ympärysmitta : $x^{2}+y^{2}-4=0,$
Puolikuutioinen paraabeli : $x^{3}-y^{2}=0,$
Cassini soikeat (katso kuva), $(x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{ 4})=0$
$\sin(x+y)-\cos(xy)+1=0$ (katso kuva).

Ensimmäiset neljä esimerkkiä edustavat algebrallisia käyriä, mutta viimeinen ei. Ensimmäiset kolme käyrää ovat yksinkertainen parametrinen esitys, toisin kuin neljäs ja viides esimerkki. Viides esimerkki osoittaa implisiittisen käyrän monimutkaisen geometrisen rakenteen mahdollisuuden.

Implisiittisen funktion lause kuvaa ehtoja, joissa yhtäläisyys voidaan ratkaista implisiittisesti x :ssä ja/tai y:ssä, ts. olosuhteissa, joissa voidaan laillisesti kirjoittaa tai . Tämä lause on avain kaarevien tangenttien , normaalien ja kaarevuuden tärkeiden geometristen ominaisuuksien laskemiseen . Käytännössä implisiittisillä käyrillä on merkittävä haittapuoli - niiden visuaalinen esittäminen on usein vaikeaa. On kuitenkin olemassa tietokoneohjelmia, joiden avulla voit piirtää implisiittisen käyrän. $F(x,y)=0$ ${\näyttötyyli x=g(y)}$ $y=f(x)$

Implisiittistä käyrää, jossa on yhtälö, voidaan pitää tasona , jonka pinnan arvo on 0 (katso kolmas kuva). $F(x,y)=0$ $z=F(x,y)$

Kallistus ja kaarevuus

Yleensä implisiittiset käyrät eivät sovi funktiotestiin pystysuoralla viivalla (mikä tarkoittaa, että jotkut x -arvot vastaavat useampaa kuin yhtä y -arvoa ), joten käyrä ei ole funktiokaavio. Implisiittisen funktion lauseella on kuitenkin ehto, jossa implisiittisen käyrän antaa paikallisesti funktion kuvaaja (etenkään käyrä ei saa leikkaamaan itseään). Jos konstitutiiviset suhteet ovat riittävän tasaisia tällaisilla alueilla, implisiittisillä käyrillä on hyvin määritellyt kulmat, tangenttiviivat, normaalivektorit ja kaarevat.

On olemassa useita mahdollisia tapoja laskea nämä suuret implisiittiselle käyrälle. Yksi menetelmä on käyttää implisiittistä differentiaatiota laskeaksesi y :n derivaatan x :n suhteen . Lisäksi implisiittisen yhtälön antamalla käyrällä nämä kaavat voidaan ilmaista suoraan funktion osittaisderivaataina . Alla käytetään seuraavaa merkintää: osittaiset derivaatat (derivaata x :n suhteen ), , (toiselle derivaatalle x :n suhteen ), (sekoitetulle toiselle osaderivaatalle), $F(x,y)=0$ $F$ $F_{x}$ $F_{y}$ ${\displaystyle F_{xx))$ ${\displaystyle F_{xy))$ $F_{yy}.$

Tangentti ja normaalivektori

Käyräpistettä kutsutaan säännölliseksi , jos ensimmäiset osittaiset derivaatat eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti. $(x_0, y_0)$ $F_{x}(x_{0},y_{0})$ $F_{y}(x_{0},y_{0})$

Tangenttiviivan yhtälö säännöllisessä pisteessä on seuraava: $(x_{0},y_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) =0,

niin, että tangenttiviivan kaltevuus ja siten käyrän kaltevuus kyseisessä pisteessä on

-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0}))).

Jos ehto täyttyy pisteessä , käyrä on pystysuora tässä pisteessä. $(x_{0},y_{0})$ $F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)$

Jos molemmat derivaatat ja ovat nolla tässä pisteessä , käyrä ei ole differentioituva ja sillä on singulaarinen piste , joko piste tai itseleikkauspiste . $F_{y}(x,y)=0$ $F_{x}(x,y)=0$

Käyrän normaalivektori pisteessä saadaan yhtälöstä

\mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0 }))

(tässä vektori kirjoitetaan merkkijonona).

Kaarevuus

Argumentit on jätetty pois luettavuuden vuoksi . Säännöllisen pisteen kaarevuus saadaan kaavalla $(x_{0},y_{0})$ $\kappa$

\kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy)) {(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}

[1] .

Kaavojen johtaminen

Implisiittinen funktiolause takaa funktion olemassaolon sellaisen pisteen läheisyydessä , että . $(x_{0},y_{0})$ $f$ $F(x,f(x))=0$

Kompleksisen derivaatan kaavan mukaan funktion derivaatat ovat yhtä suuret $f$

f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))))

f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_ {yy}}{F_{y}^{3}}}

(josta toisen kaavan oikealla puolella olevat argumentit on jätetty pois lukemisen helpottamiseksi). ${\näyttötyyli (x,f(x))}$

Jos lisäämme funktion derivaatat tangenttiviivan ja graafin kaarevuuden kaavoihin, saadaan eksplisiittinen yhtälö $f$ $y=f(x)$

y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})

(tangentiaalinen viiva)

\kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2)) }

(kaarevuus).

Implisiittisten käyrien edut ja haitat

Haitat

Implisiittisen käyrän merkittävä haittapuoli on helpon tavan puute laskea yksittäinen piste, mikä on tärkeää käyrän visualisoinnin kannalta (katso seuraava osa).

Edut

Implisiittiset esitykset mahdollistavat leikkauspisteiden laskemisen - jos yksi käyrä on esitetty implisiittisesti ja toinen parametrisesti, leikkauspisteiden laskemiseen tarvitaan vain yksinkertainen (yksiulotteinen) Newton-iteraatio , toisin kuin implisiittinen-implisiittinen ja parametrinen- parametriset tapaukset (katso leikkaus ).
Implisiittinen esitys mahdollistaa käyrän ulkopuolisten pisteiden erottamisen merkillä . Tästä voi olla hyötyä esimerkiksi käytettäessä vääriä paikannusmenetelmiä Newtonin iteroinnin $F(x,y)=0$ $F(x,y)$
On helppo luoda käyriä, jotka ovat geometrisesti melkein samanlaisia kuin annettu implisiittinen käyrä lisäämällä vain pieni luku: (katso Smooth Fit -osio ). $F(x,y)=0,$ $F(x,y)-c=0$

Implisiittisten käyrien käyttäminen

Matematiikassa algebrallisten käyrien muodossa olevilla implisiittisillä käyrillä on tärkeä rooli.

Lisäksi implisiittisiä käyriä käytetään luomaan halutun geometrian käyriä. Tässä on kaksi esimerkkiä.

Tasaiset likiarvot

Kuperat polygonit

Kuperan monikulmion tasainen approksimaatio saadaan seuraavasti: olkoon monikulmion reunat sisältävien viivojen yhtälöt, kun taas monikulmion sisäpisteet antavat funktioille positiivisia arvoja. Sitten implisiittisten käyrien osajoukko $g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n$ $g_i$

F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0

sopivalla pienellä parametrilla on tasainen (differentioituva) monikulmion approksimaatio. Esimerkiksi käyrät $c$

F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0

varten

c=0{,}03;\dotsc ;0{,}6

sisältävät tasaisia likiarvoja monikulmiosta, jossa on 5 reunaa (katso kuva).

Viivaparit

Kahden rivin tapauksessa

F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0

saamme

yhdensuuntaisten viivojen kynä , jos annetut viivat ovat yhdensuuntaisia hyperbolien lyijykynä, jotka ovat antaneet käyriä asymptootteina.

Esimerkiksi koordinaattimuuttujien tulo antaa hyperbolien lyijykynän , jonka koordinaattiakselit ovat asymptootteja. $xy-c=0,\ c\neq 0$

Muut

Jos käytämme muita yksinkertaisia implisiittisiä käyriä kuin suoria viivoja (ympyrät, paraabelit,...), saamme laajan valikoiman uusia mielenkiintoisia käyriä. Esimerkiksi,

F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0

(ympyräkaavan ja suoran kaavan tulo - y-akseli) antaa tasaisen likiarvon puoliympyrästä (katso kuva),

F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4) -c=0

(kahden ympyrän kaavojen tulo) antaa tasaisen likiarvon kahdesta ympyrästä (katso kuva).

Sekoituskäyrät

CAD käyttää implisiittisiä käyriä luomaan käyräliitoksia [ 2] [3] , erityinen käyrä, joka mahdollistaa tasaisen liitoksen käyrästä toiseen. Esimerkiksi,

F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0

muodostaa yhdistäviä käyriä kahden ympyrän välille

f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,

f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.

Menetelmä takaa tangenttien ja kaarevuuden jatkuvuuden tangenttipisteissä (katso kuva). kaksi suoraa viivaa

g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0

määrittää kosketuspisteet ympyröiden kanssa. Kuvan parametri on . $\mu$ $0{,}05;\dotsc ;0{,}2$

Kahden pisteen varauksen isolinjat

Kahden samansuuruisen pistevarauksen isoliinit pisteissä voidaan esittää yhtälöllä $P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)$

f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c

={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2))))+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{ 2}+y^{2}}}}-c=0.

Käyrät näyttävät Cassinin soikeilta , mutta eivät sitä ole.

Implisiittisen käyrän visualisointi

Implisiittisen käyrän visualisoimiseksi yleensä määritellään käyrälle monikulmio ja piirretään se. Parametrisen käyrän kohdalla tämä tehtävä on yksinkertainen - laske vain parametriarvojen sarjaa vastaavat pisteet. Implisiittistä käyrää varten on ratkaistava kaksi aliongelmaa:

määritetään käyrän ensimmäinen piste lähellä tiettyä aloituspistettä,
pisteen määrittäminen käyrällä alkaen tunnetusta käyrän pisteestä.

Molemmissa tapauksissa on luonnollista laittaa . Käytännössä tätä oletusta rikotaan yhdessä yksittäisessä kohdassa. $\operatorname {grad} F\neq (0,0)$

Pistealgoritmi

Molempien edellä mainittujen ongelmien ratkaisemiseksi tarvitaan ohjelma (jota kutsumme nimellä ), joka tietyn pisteen ollessa lähellä implisiittistä käyrää löytää pisteen, joka sijaitsee tällä käyrällä: ${\mathsf {CPpoint}}$ $Q_{0}=(x_{0},y_{0})$ $P$

(P1) Asetamme

j=0

(P2) toista

(x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_ {x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}( x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\oikea)

( Newtonin askel funktiolle ) (P3) kunnes pisteiden välinen etäisyys on tarpeeksi pieni.

g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{ j})\oikea)\ .

{\näyttötyyli (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}

(P4) on käyrän piste lähellä aloituspistettä .

P=(x_{j+1},y_{j+1})

Q_0

Jäljitysalgoritmi

Jos haluat luoda lähes samanlaisen monikulmion kuin käyrä, valitse askelpituus ja $s$

(T1) valitse sopiva aloituspiste lähellä käyrää (T2) määrittää virtakäyrän ohjelmakohtaisesti

P_1

{\mathsf {CPpoint}}

(T3) määritä tangentti (katso yllä), valitse tangentin aloituspiste askelpituudella erotettuna (katso kuva) ja etsi käyrän toinen piste ohjelman avulla .

s

P_2

{\mathsf {CPpoint}}

\cdots

Koska algoritmi löytää pisteitä peräkkäin käyrältä, sitä kutsutaan jäljitysalgoritmiksi .

Algoritmi jäljittää vain käyrän kytketyt osat. Jos implisiittinen käyrä koostuu useista osista, algoritmi on käynnistettävä uudelleen useita kertoja eri sopivista lähtökohdista.

Rasterialgoritmi

Jos implisiittinen käyrä koostuu useista tai jopa tuntemattomista osista, voi olla tarkoituksenmukaisempaa käyttää rasterointialgoritmia . Sen sijaan, että se seuraisi käyrää tarkasti, rasterialgoritmi kattaa koko käyrän niin monella pisteellä, että ne sulautuvat yhteen ja näyttävät käyrältä.

(R1) Muodosta pisteverkosto (rasteri) meitä kiinnostavalla alueella xy-tasossa. (R2) Jokaiselle rasterin pikselille suoritetaan algoritmi lähtöpisteellä P ja tulos merkitään muistiin.

P

{\mathsf {CPpoint}}

Jos verkko on riittävän tiheä, tulos on likimääräinen implisiittisen käyrän yhdistettyjä osia. Jos tarvitset jatkossa monikulmion käyrään, voit ajaa jäljitysalgoritmin haluamallesi osalle.

Implisiittiset avaruuskäyrät

Mikä tahansa kahdella yhtälöllä määritelty avaruuskäyrä

{\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matriisi))

kutsutaan implisiittiseksi avaruuskäyräksi .

Käyrän pisteen sanotaan olevan säännöllinen , jos gradienttien ristitulo ja ei ole sama tässä pisteessä: $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F$ $G$ ${\näyttötyyli (0,0,0)}$

\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operaattorinimi {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \ operaattorin nimi {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);

Muuten pistettä kutsutaan singulaariseksi (singulaariseksi). Vektori on käyrän tangenttivektori pisteessä $\mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})$ $(x_{0},y_{0},z_{0}).$

Esimerkkejä:

$(1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0$

on suora.

$(2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0$

on tason, eli ympyrän, leikkaus pallosta.

$(3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0$

on ellipsi (sylinterin leikkaus tason mukaan).

$(4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2} -9=0$

on pallon ja sylinterin leikkauspiste.

Katso käyräpisteiden laskeminen ja implisiittisen spatiaalisen käyrän visualisointi artikkelista Leikkaus .

Katso myös

Implisiittinen pinta

Muistiinpanot

↑ Goldman, 2005 , s. 632.
↑ Hoffmann, Hopcroft, 1985 , s. 347-365.
↑ Hartmann, 1990 , s. 500-507.
↑ Taubin, 1994 .

Kirjallisuus

Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implisiittiset käyrät ja pinnat: Mathematics, Data Structures and Algorithms. - Springer-Verlag, 2009. - ISBN 978-1-84882-405-8 .
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch. Pintojen leikkauspisteiden jäljitys // Comp. Auttoi Geomia. design. - 1988. - Numero. 5 . - S. 285-307 .
C. Hoffmann, J. Hopcroft. Mahdollinen menetelmä pintojen ja kulmien sekoittamiseen // Geometric-Modeling / G. Farin (Toim.). - Philadelphia: SIAM, 1985.
E. Hartmann. Implisiittisten pintojen sekoitus toiminnallisilla splineillä // CAD,. - Butterworth-Heinemann, 1990. - T. 22 , no. 8 .
Goldman R. Kaarevuuskaavat implisiittisille käyrille ja pinnoille // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , no. 7 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
G. Taubin. Implisiittisten käyrien rasteroinnin etäisyysarvioinnit // ACM Transactions on Graphics. - 1994. - T. 13 , nro 1 .
Geometria ja algoritmit tietokoneavusteiselle SUUNNITELLUlle Arkistoitu 30. lokakuuta 2017 Wayback Machinessa

Linkit

Famous Curves Arkistoitu 13. huhtikuuta 2006 Wayback Machinessa