Paljon tasoa

Matematiikassa n reaalimuuttujan reaalifunktion f tasojoukko [ ] on muotoa

L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n}) =c\oikea\}~,

eli joukko, jolla funktio saa tietyn vakioarvon c .

Kun muuttujien lukumäärä on kaksi, tasojoukko on yleensä käyrä, jota kutsutaan tasoviivaksi, isoliiniksi tai ääriviivaksi. Tasokäyrä on siis joukko yhtälön todellisia ratkaisuja kahdessa muuttujassa x 1 ja x 2 . Kun , tasojoukkoa kutsutaan tasopinnaksi (tai myös isopinnaksi ), ja jos muuttujia on suurempi määrä n , tasojoukko on hyperpinta. Tasopinta on siis joukko yhtälön kaikki todelliset juuret kolmessa muuttujassa ja , ja tason hyperpinta on joukko yhtälön todellisia juuria n ( n > 3) muuttujassa. $n = 3$ $x_{1},x_{2}$ $x_{3}$

Tasosarja on kerroksen erikoistapaus .

Vaihtoehtoiset otsikot

Useita tasoja esiintyy monissa sovelluksissa, usein eri nimillä.

Esimerkiksi implisiittinen käyrä on tasojoukko, jota tarkastellaan erillään viereisistä käyristä ja korostetaan, että tällainen käyrä määritellään implisiittisen funktion avulla . Samoin tasaista pintaa kutsutaan joskus implisiittiseksi pinnaksi tai isopinnaksi .

Joskus käytetään myös nimeä isocontour [1] , joka tarkoittaa yhtä korkeaa ääriviivaa. Isoääriviivat saavat eri alueilla erityisiä nimiä, jotka usein kuvastavat tarkasteltavan funktion arvojen luonnetta, kuten isobar , isotherm , isogon , isochron , isoquant ja välinpitämättömyyskäyrä .

Esimerkkejä

Tarkastellaan kaksiulotteista eukleideen etäisyyttä

d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Tämän funktion tasojoukko koostuu pisteistä, jotka sijaitsevat etäisyyden päässä origosta, joukosta, joka tunnetaan nimellä ympyrä . Esimerkiksi koska Geometrisesti tämä tarkoittaa, että piste sijaitsee ympyrällä, jonka säde on 5 ja jonka keskipiste on origossa. Yleisempi esimerkki, metrisessä avaruudessa oleva pallo , jonka säde ja keskipiste on, voidaan määritellä tasojoukoksi . $L_{r}(d)$ $r$ ${\näyttötyyli (3,4)\in L_{5}(d)}$ $d(3,4)=5.$ $(3.4)$ ${\näyttötyyli (M,m)}$ $r$ $x \ in M$ $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$

Toinen esimerkki on oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvä Himmelblau-funktiokaavio . Jokainen esitetty käyrä on funktion tasokäyrä ja ne erotetaan logaritmisesti toisistaan - jos käyrä edustaa tasoa , niin lähin "sisäinen" käyrä edustaa tasoa ja lähin "ulkopuolinen" käyrä edustaa tasoa . ${\näyttötyyli L_{x))$ $L_{x/10}$ ${\displaystyle L_{10x))$

Tasojoukot ja gradientit

Lause : Jos funktio f on differentioituva , pisteen f gradientti onjoko nolla tai kohtisuorassa f :n tasojoukkoa vastaan pisteessä.

Ymmärtääksemme, mitä tämä tarkoittaa, kuvitellaan, että kaksi jalankulkijaa on samassa paikassa vuorenrinteellä. Toinen heistä on itsevarma ja päättää mennä jyrkimmän nousun suuntaan, toinen on varovaisempi, hän ei aio kiivetä ylös tai laskea, vaan valitsee polun, jolla on sama korkeus merenpinnasta. Analogiamme mukaan edellä oleva lause sanoo, että molemmat jalankulkijat lähtevät liikkeelle kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Tämän lauseen (ja sen todisteen) seurauksena on, että jos f on differentioituva, tasojoukko on hyperpinta ja monisto f :n kriittisten pisteiden ulkopuolella . Kriittisessä pisteessä tasojoukko voi pienentyä pisteeseen (esimerkiksi funktion f paikallisääripäässä ), tai kriittinen piste voi osoittautua singulariteoksi , kuten itseleikkauspiste tai kärki .

Ala- ja supertasosarjat

Paljon kilttejä

L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_ {n})\leqslant c\right\}

kutsutaan funktion f alitasojoukoksi . Funktion f tiukka alatasojoukko määritellään seuraavasti

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})<c\oikea\))

samoin

L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_ {n})\geqslant c\right\}

kutsutaan funktion f [3] [4] supertasojoukoksi . Toiminnon tiukan supertason joukko määritellään samalla tavalla

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})>c\oikea\))

Alatasojoukot ovat tärkeitä minimointiteoriassa . Jonkin ei-tyhjän alitason joukon rajallisuus ja alempi puolijatkuvuus edellyttävät, että funktio saavuttaa miniminsä Weierstrassin lauseen mukaan . Kaikkien alitasojoukkojen konveksius luonnehtii kvasikonveksia funktioita [5] .

Katso myös

Epiplot
Tasofunktion menetelmä
Tasojoukko (tietorakenteet)

Muistiinpanot

↑ Katso esimerkiksi Geokenttien visuaalisen esityksen menetelmät Arkistoitu 16. kesäkuuta 2017 Wayback Machinessa
↑ Simionescu, 2011 .
↑ Voitsekhovskii, 2001 .
↑ Weisstein, Eric W. Level Set Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Kiwiel, 2001 , s. 1–25.

Kirjallisuus

Simionescu PA Joitakin edistysaskeleita kahden muuttujan rajoitettujen funktioiden ja epätasa-arvoisuuksien visualisoinnissa // Journal of Computing and Information Science in Engineering. - 2011. - T. 11 , no. 1 . - doi : 10.1115/1.3570770 .
Voitsekhovskii MI Tasosarja // Encyclopedia of Mathematics. - EMS Press, 2001.
Krzysztof C. Kiwiel. Aligradienttimenetelmien konvergenssi ja tehokkuus kvasikoveria minimointia varten // Mathematical Programming, Series A. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - Vol. 90 , no. 1 . — ISSN 0025-5610 . - doi : 10.1007/PL00011414 .