Nolla morfismia

Kategoriteoriassa nollamorfismi  on morfismi , joka yleistää lineaaristen kuvausten ominaisuudet nollaan .

Määritelmä

Olkoon C  luokka ja f  : X → Y  morfismi C :ssä . f kutsutaan vakiomorfismiksi , jos mille tahansa C : n objektille W ja mille tahansa g , h  : W → X , fg = fh . Vastaavasti f :tä kutsutaan kovakiomorfismiksi , jos mille tahansa objektille Z ja mille tahansa g : lle h ∈ Mor C ( Y , Z ), gf = hf . Nollamorfismi  on morfismi, joka on sekä vakio että ko-vakio.

Kategoria, jossa on nolla morfismia  , on luokka, jossa kahdelle kohteelle A ja B morfismi 0 AB  : A → B on kiinteä niin, että kaikille C:n objekteille X , Y , Z ja kaikille morfismeille f  : Y → Z , g  : X → Y seuraava kaavio on kommutatiivinen:

Silloin morfismit 0 XY ovat välttämättä nolla. Jos C  on luokka, jolla on nolla morfismia, niin 0 XY määritetään yksiselitteisesti.

Esimerkkejä

• Ryhmien (tai moduulien ) luokassa nollamorfismi on homomorfismi f  : G → H , joka kuvaa G:n kaikki alkiot H : n neutraaliin elementtiin . nollaobjekti ryhmien luokassa on triviaaliryhmä 1 = {1}. Jokainen nollamorfismi pyyhkäisee arvon 1 läpi , eli f  : G → 1 → H .

• Yleisemmin sanottuna olkoon C  luokka, jossa on nollaobjekti 0 . Sitten kahdelle kohteelle X ja Y on ainutlaatuinen morfismien sarja

• Jos C  on preadditiivinen luokka , niin jokainen Morfismijoukko Mor( X , Y ) on Abelin ryhmä ja siinä on nollaelementti. Nämä nollaelementit muodostavat nollamorfismien perheen, mikä tekee C :sta luokan, jossa on nolla morfismia.

• Joukkojen luokassa ei ole nollaobjektia, mutta sillä on alkuolio , tyhjä joukko ∅. Ainoat kovakiofunktiot joukossa ovat  muotoa ∅ → X olevia funktioita .

Kirjallisuus

• Kohta 1.7 , Pareigis, Bodo. Kategoriat ja funktionaaliset  (neopr.) . - Academic Press , 1970. - V. 39. - (Puhdas ja sovellettu matematiikka). — ISBN 978-0-12-545150-5 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Kategoriateoria  (epämääräinen) . – Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973 .