Operaattori (fysiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 16. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kvanttimekaniikan operaattori on lineaarinen kuvaus , joka vaikuttaa aaltofunktioon , joka on kompleksiarvoinen funktio, joka antaa täydellisimmän kuvauksen järjestelmän tilasta. Operaattorit on merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla , joiden yläosassa on ympyrä . Esimerkiksi:

${\hattu {A)],{\hattu {B)],{\hattu {C)),\pisteet$

Operaattori toimii sen oikealla puolella olevaan funktioon (sen sanotaan myös sovellettavan funktioon tai kerrottuna funktiolla):

${\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}$

Kvanttimekaniikka käyttää lineaaristen itseadjoint (Hermitian) -operaattorien matemaattista ominaisuutta , että jokaisella niistä on ominaisvektorit ja todelliset ominaisarvot . Ne toimivat annettua operaattoria vastaavien fyysisten suureiden arvoina .

Aritmeettiset operaattorit

Operaattoria kutsutaan operaattoreiden summaksi (erotukseksi) , jos jollekin funktiolle kaikkien kolmen operaattorin määritelmäalueesta täyttyy seuraava ehto: ${\hattu {C}}$ ${\hattu {A},{\hattu {B}}$ $\ \ Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi$

Operaattoria kutsutaan operaattoreiden tuloksi , jos seuraava ehto täyttyy jollekin funktiolle: ${\hattu {C}}$ ${\hattu {A},{\hattu {B}}$ $\ \ Psi$

${\hattu {C}}\Psi ={\hattu {A}}({\hattu {B}}\Psi )$

Yleisesti

{\hattu {A}}{\hattu {B}}\not ={\hattu {B}}{\hattu {A}}

Jos , niin operaattoreiden sanotaan matkustavan . Operaattorikommutaattori määritellään seuraavasti ${\hattu {A}}{\hattu {B}}={\hattu {B}}{\hattu {A}}$ ${\hattu {A},{\hattu {B}}$

$[{\hattu {A)],{\hattu {B}}]={\hattu {A}}{\hattu {B}}-{\hattu {B}}{\hattu {A}}$

Operaattorin ominaisarvot ja ominaisfunktiot

Jos tasa-arvo on olemassa:

${\hat {A}}\Psi =a\Psi ,$

sitten he kutsuvat operaattorin ominaisarvoa ja funktiota kutsutaan annettua ominaisarvoa vastaavan operaattorin ominaisfunktioksi . Useimmiten operaattorilla on joukko ominaisarvoja: Kaikkien ominaisarvojen joukkoa kutsutaan operaattorin spektriksi . $\a$ ${\hattu {A}}$ $\ \ Psi$ ${\hattu {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\pisteet ,a_{n},\pisteet$

Lineaariset ja itseadjoint-operaattorit

Operaattoria kutsutaan lineaariseksi , jos ehto täyttyy jollekin parille: ${\hattu {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\hat {L}}\sum _{{i}}C_{{i}}\varphi _{{i}}=\sum _{{i}}C_{{i}}{\hat {L} }\varphi_{{i}}.$

Operaattoria kutsutaan itseadjointiksi ( Hermitian ), jos seuraava ehto täyttyy jollekin: ${\hattu {A}}$ $\Psi ,\varphi$

$\left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Lisäksi itseadjoint-operaattorien summa on itseadjoint-operaattori. Itseadjoint-operaattorien tuote on itseadjoint-operaattori, jos he matkustavat. Itseliitosoperaattoreiden ominaisarvot ovat aina todellisia. Eri ominaisarvoja vastaavien itseadjoint-operaattoreiden ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia .

Kvanttifysiikassa käytetyt operaattorit

Kvanttifysiikan fyysisen järjestelmän pääominaisuudet ovat havaittavissa olevat suureet ja tilat .

Kvanttifysiikassa havaittavat suureet liitetään lineaarisiin itseadjoint -operaattoreihin kompleksisessa erotettavassa Hilbert-avaruudessa , ja tilat liitetään tämän avaruuden normalisoitujen elementtien luokkiin (normin 1 kanssa). Tämä tehdään pääasiassa kahdesta syystä:

Fysikaalisten suureiden tiettyjä arvoja vastaavien itseliittyvien operaattoreiden ominaisarvot ovat reaalilukuja , eli mitä kokeilijat käsittelevät käytännössä (instrumentin lukemat, laskentatulokset jne.).

Yksi ja sama kvanttihiukkanen voi olla samanaikaisesti joukossa kvanttitiloja , joille on tunnusomaista vastaavan operaattorin ominaisarvot. Se voi olla äärellinen joukko (erillinen arvoalue), intervalli ( jatkuva arvoalue ) tai sekajoukko.

Kvanttifysiikassa on olemassa "epätiukka" sääntö fysikaalisten suureiden operaattorin muodostamiseksi : operaattoreiden välinen suhde on yleensä sama kuin vastaavien klassisten suureiden välillä. Tämän säännön perusteella otettiin käyttöön seuraavat operaattorit (koordinaatistossa):

Koordinaattioperaattori : _

${\hat {{\mathbf {x}}}}=x$

Koordinaattioperaattorin toiminta on kertoa koordinaattivektorilla.

Momentum- operaattori :

${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Tässä on kuvitteellinen yksikkö ja nabla -operaattori . $\i$ $\nabla$

Kineettisen energian operaattori :

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Tässä on Dirac-vakio , on Laplace-operaattori . $\hbar$ $\Delta$

Potentiaalinen energiatoimija :

${\hat {U}}=U(x,y,z,t)$

Tässä operaattorin toiminta pelkistetään kertolaskuksi funktiolla.

Hamiltonin operaattori :

${\hattu {H}}={\hattu {T}}+{\hattu {U}}$

Momentum- operaattori :

${\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Tämä muoto valittiin myös Noetherin lauseeseen ja SO(3) -ryhmään liittyvistä syistä

spin- operaattori :

Spin 1/2:n tärkeimmässä tapauksessa spin -operaattorilla on muoto: , missä ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$

${\hat {\sigma }}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - ns. Pauli matriisit . Tämä laji on samanlainen kuin edellinen, mutta se liittyy SU(2) -ryhmään . ${\hat {\sigma }}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\hat {\sigma }}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Katso myös

Kirjallisuus

Landau L. D. , Lifshits E. M. " Teoreettinen fysiikka ", 10 osaa, v. 3, "Kvanttimekaniikka (ei-relativistinen teoria)", 5. painos, M., Fizmatlit, 2002, 808 s. , ISBN 5-05721 -2 (osa 3);
"Functional Analysis", toim. 2, rev. ja ylimääräistä (Series "Reference Mathematical Library"), kirjoittajien ryhmä, toim. S. G. Kerin , Moskova, "Nauka", 1972, 517.2 F 94