Suhde (joukkoteoria)

Relaatio on matemaattinen rakenne , joka määrittelee muodollisesti eri objektien ominaisuudet ja niiden suhteet. Yleisiä esimerkkejä suhteista matematiikassa ovat tasa-arvo (=) , jaollisuus , samankaltaisuus , rinnakkaisuus ja monet muut.

Käsite relaatiosta karteesisen tuotteen osajoukona on formalisoitu joukkoteoriassa ja yleistynyt matematiikan kielessä kaikilla sen aloilla. Joukkoteoreettinen näkemys suhteesta luonnehtii sitä tilavuuden suhteen – millä elementtien yhdistelmillä se on täytetty; mielekästä lähestymistapaa tarkastellaan matemaattisessa logiikassa , jossa relaatio on propositionaalinen funktio , eli lauseke, jossa on epämääräisiä muuttujia, joiden tiettyjen arvojen korvaaminen tekee siitä tosi tai epätosi. Relaatioilla on tärkeä rooli universaalissa algebrassa , jossa osan perustutkimuksen kohteena on joukko, jossa on mielivaltainen joukko operaatioita ja suhteita. Yksi silmiinpistävimmistä matemaattisten suhteiden tekniikan sovelluksista sovelluksissa on relaatiotietokannan hallintajärjestelmät , jotka perustuvat metodologisesti muodolliseen relaatioalgebraan .

Suhteet luokitellaan yleensä toisiinsa liittyvien objektien lukumäärän ( arity ) ja niiden omien ominaisuuksien, kuten symmetrian , transitiivisuuden , refleksiivisuuden , perusteella .

Muodolliset määritelmät ja merkinnät

$n$ -local ( -ary ) relaatio , joka on määritelty joukoissa , on osajoukko näiden joukkojen karteesisesta tulosta : . Se tosiasia, että elementit on yhdistetty relaatiolla , on merkitty tai . $n$ $R$ $M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}$ ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$ $n$ $\langle m_{1}\in M_{1},m_{2}\in M_{2},\dots m_{n}\in M_{n}\rangle$ $R$ $R(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})$ $(m_{1},m_{2},\dots ,m_{n})\in R$

Objektien ja binäärirelaation välisen yhteyden tosiasiaa ilmaistaan yleensä infix-merkinnällä : . Yksittäiset (unaariset) relaatiot vastaavat ominaisuuksia tai attribuutteja, pääsääntöisesti tällaisissa tapauksissa relaatioiden terminologiaa ei käytetä. Joskus käytetään kolmipaikkasuhteita ( ternary ), neljän paikkasuhteita (kvartaari); äärimmäisen korkean tason suhteita kutsutaan "multiaariseksi", "monipaikkaiseksi". $m_{1}\in M_{1}$ $m_{2}\in M_{2}$ ${\displaystyle R\subset M_{1}\times M_{2))$ ${\displaystyle m_{1}\,R\,m_{2))$

Universaalirelaatio on relaatio, joka yhdistää annettujen joukkojen kaikki alkiot, eli se on yhtäpitävä karteesisen tuotteen kanssa:. Nollarelaatio on relaatio, joka ei linkitä mitään elementtejä, eli tyhjä joukko :. ${\displaystyle R=M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$ ${\displaystyle R=\varnothing \subset M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n))$

Funktionaalinen relaatio on relaatio, joka muodostaa funktion : on funktionaalinen, jos suorituksesta seuraa, että ( funktion arvon ainutlaatuisuus varmistetaan). ${\displaystyle R\subseteq M_{1}\times M_{2}\times \dots M_{n}\dots M_{n+1))$ $R(m_{1},\dots ,m_{n},x)$ $R(m_{1},\dots ,m_{n},y)$ $x=y$

Binäärisuhteiden yleiset ominaisuudet ja tyypit

Matematiikan kielessä yleisimmät relaatiot ovat binäärisiä yhden joukon yli ( ), joita käytetään useimmiten joillakin yhteisillä ominaisuuksilla [1] : $R\subseteq M^{2}$

symmetria ( ) tai antisymmetria ( ), $a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a$ $a\,R\,b\,\wedge \,b\,R\,a\Rightarrow a\,=\,b$
refleksiivisyys ( ) tai antireflexiivisyys , $a\,R\,a$ ${\näyttötyyli \neg \,(a\,R\,a)}$
transitiivisuus ( ) tai antitransitiivisuus ( ), $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow a\,R\,c$ $a\,R\,b\land b\,R\,c\Rightarrow \neg \,a\,R\,c$
liitettävyys ( ). $a\neq b\Rightarrow a\,R\,b\tai b\,R\,a$

Binäärisuhteiden ominaisuuksien joukosta riippuen muodostetaan joitain laajalti käytettyjä niistä:

ekvivalenssirelaatio - mikä tahansa refleksiivinen , transitiivinen ja symmetrinen suhde;
ennakkotilaussuhde on refleksiivinen ja transitiivinen;
osittaisen järjestyksen suhde - refleksiivinen, transitiivinen ja antisymmetrinen;
tiukan järjestyksen suhde - antirefleksiivinen, transitiivinen, antisymmetrinen;
lineaarinen järjestyssuhde on yhdistetty, refleksiivinen, antisymmetrinen.

Tärkeä rooli on tasa -arvosuhteella - ekvivalenssisuhteella, joka suoritetaan vain kahdelle yhtenevälle elementille.

Relaatioiden ominaisuuksien yhdistelmiä voi olla muitakin, esimerkiksi transitiivinen ja refleksiivinen, mutta sillä ei ole muita yksinkertaisia ominaisuuksia, luonnollisten lukujen joukossa oleva jaollisuusrelaatio , jota yleensä merkitään symbolilla , se koostuu muodon pareista , jossa jakautuu tasaisesti. Esimerkki kolmiosaisesta suhteesta on Pythagoraan kolminkertaisen muodostaminen kolmella luvulla, ja Pythagoraan nelinkertaisen suhteen oleminen on esimerkki kvaternaarisesta suhteesta. $|$ $\langle x,y\rangle$ $x$ $y$

Graafiteoriassa sovelletaan löyhempää joukkoa binäärisuhteiden ominaisuuksia : suuntaamaton graafi voidaan määritellä joukoksi pisteitä, joiden päällä on symmetrinen binäärisuhde, ja suunnattu graafi joukoksi pisteitä, joilla on mielivaltainen binäärisuhde.

Suhteiden algebrat

Kaikki karteesisen tulon väliset suhteet muodostavat Boolen algebran liiton , leikkauspisteen ja komplementin joukkoteoreettisten operaatioiden alla . $n$ ${\displaystyle M_{1}\times \dots \times M_{n))$

Relaatioalgebra on suljettu relaatioiden operaatiojärjestelmä relaatiotietomallissa .

Muistiinpanot

↑ Yleiset kvantoijat jätetty pois kaavoista

Kirjallisuus

Relation - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . D. M. Smirnov
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Johdatus matemaattiseen logiikkaan. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1982. - 120 s. — 29 500 kappaletta.