Weierstrass-Enneper parametrisointi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7. helmikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Minimaalisten pintojen Weierstrass-Enneper-parametrisointi on klassinen differentiaaligeometrian haara .

Alfred Enneper ja Karl Weierstrass tutkivat minimaalisia pintoja jo vuonna 1863 .

Parametrisointi

Olkoon ja olla funktioita täyskompleksitasolla tai yksikkölevyllä, jossa on meromorfinen ja analyyttinen , jolla on järjestysnapa , jonka kertaluku on nolla (tai vastaavasti niin, että tulo on holomorfinen funktio ), ja olkoon vakioita. Tällöin pinta koordinaatteineen on minimaalinen, missä määritellään kompleksin integraalin reaaliosa : $f$ $g$ $g$ $f$ $g$ $m$ $f$ $2 m$ ${\displaystyle fg^{2))$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3))$ $(x_1,x_2,x_3)$ $x_k$

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz \right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2 }&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

Päinvastoin on myös totta - mikä tahansa ei-tasoinen minimaalipinta, joka on määritelty yhdistetyn alueen yli, voidaan parametroida tällä tavalla [1] .

Esimerkiksi Enneper-pinnalla on parametrisointi . ${\näyttötyyli f(z)=1,g(z)=z^{m))$

Monimutkaisten muuttujien parametripinta

Weierstrass-Enneper-malli määrittää minimaalisen pinnan ( ) kompleksitasolla ( ). Olkoon (kompleksitaso avaruudena ), pinnan Jacobilainen matriisi voidaan kirjoittaa sarakkeeksi, jossa on monimutkaisia merkintöjä: $X$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C}$ $\omega =u+vi$ $UV$

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2} (\omega )\oikea)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}

Tässä ja ovat holomorfiset toiminnot . $f(\omega)$ $g(\omega )$ $\omega$

Jacobian edustaa kahta ortogonaalista tangenttia vektorin pintaan [2] : ${\mathbf {J}}$

\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operaattorinnimi {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operaattorin nimi {Re} \mathbf {J} _{2}\\ \operaattorinimi {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \ mathbf {J} _{1}\\-\operaattorinnimi {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operaattorinimi {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}

Normaali pintaan on annettu

\mathbf {\hat {n)) ={\frac {\mathbf {X_{u)) \times \mathbf {X_{v)) }{|\mathbf {X_{u)) \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operaattorinimi {Re} g\\2\operaattorinimi {Im} g \\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}

Jacobilainen johtaa useisiin tärkeisiin ominaisuuksiin: , , , ${\mathbf {J}}$ $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$ $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operaattorinimi {Re} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{v)) ^{2}=\operaattorinimi {Im} (\mathbf {J} ^{2})$ $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0.$

Todiste löytyy Sharman paperista: Weierstrass-esitys antaa aina minimaalisen pinnan [3] . Derivaataista voidaan muodostaa matriisi , jolla on ensimmäinen neliömuoto :

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}= {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}

ja toisen asteen muodon matriisit

{\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n } )) \\\mathbf {X_{vu)) \cdot \mathbf {\hat {n)) &\;\;\mathbf {X_{vv)) \cdot \mathbf {\hat {n)) \end { bmatrix}}

Lopuksi kompleksisen tason piste kartoitetaan pisteeseen , joka on pienimmällä pinnalla ${\displaystyle \omega _{t))$ $\mathbf {X}$ $\mathbb {R} ^{3}$

\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operaattorinimi {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d \omega \\\operaattorin nimi {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operaattorinimi {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}

missä kaikille minimaalisille pinnoille paitsi Costa -minimaalille , missä . $\omega _{0}=0$ $\omega _{0}=(1+i)/2$

Sisäkkäiset minimaaliset pinnat ja esimerkit

Klassisia esimerkkejä sisäkkäisistä minimaalisista pinnoista, joissa on äärellinen topologia, ovat taso, katenoidi , helikoidi ja Costan minimaalipinta . Costan pinta sisältää Weierstrassin elliptisen funktion [4] : $\mathbb {R} ^{3}$ ${\displaystyle\wp}$

g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )))

f(\omega )=\wp (\omega )

missä on vakio [5] . $A$

Helikatenoidi

Valitsemalla toiminnot ja , saamme sarjan minimaalisia pintoja. $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ $g(\omega )=e^{-\omega /A}$

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A))\right)$

$\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A))\right)$

${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha ))$

$\mathbf {X} (\omega )=\operaattorinimi {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A))\ oikea)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A))\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix }}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operaattorinimi {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operaattorinimi {Im} (\omega )}{A}}\oikea)\\-A\cosh \left({\frac {\operaattorinimi {Re} (\omega )}{A}}\oikea)\sin \left({\frac {\operaattorinnimi {Im} (\omega )}{A}}\oikea)\\\operaattorin nimi {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ) {\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operaattorinnimi {Re} (\omega )}{A))\right)\sin \left({\frac {\operaattorinimi {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operaattorinimi {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operaattorin nimi { Im} (\omega )}{A}}\oikea)\\\operaattorin nimi {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$

Valitaan pintaparametrit : $\omega =s+i(A\phi )$

$\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left (\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+ \sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\oikea)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({ \frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

Äärimmäisissä kohdissa pinta on katenoidi tai helikoidi . Muussa tapauksessa se edustaa kohdistuskulmaa. Tuloksena oleva pinta, kun määrittelyalue valitaan välttääkseen itseleikkauksia, on ketju, joka pyörii akselin ympäri spiraalimaisesti. $(\alpha =0)$ $(\alpha =\pi /2)$ $\alpha$ ${\displaystyle \mathbf {X} _{3))$

Kaarevuusviivat

Toisen perusmatriisin jokainen elementti voidaan kirjoittaa uudelleen esimerkiksi ja funktioiksi $f$ $g$

\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operaattorinimi { Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operaattorin nimi {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right )\\\operaattorin nimi {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operaattorinnimi {Re} \left(2g\right)\\\ operaattorin nimi {Re} \left(-2gi\right)\\\operaattorin nimi {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operaattorinimi {Re} (fg')

Siksi toista perusmuotoa voidaan yksinkertaistaa

{\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operaattorinnimi {Im} fg'\\\operaattorin nimi {Im} fg'&\;\;\operaattorinnimi {Re} fg' \end{bmatrix}}

Yksi matriisin ominaisvektoreista on

{\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'))))

ja se edustaa pääsuuntaa monimutkaisella alueella [6] . Siksi avaruuden kaksi pääsuuntaa ovat $UV$

\phi =-{\frac {1}{2}}Arg(fg')\pm k\pi /2

Katso myös

Liittynyt perhe
Bryantin pinta , hyperbolisessa avaruudessa on samanlainen parametrointi

Muistiinpanot

↑ Dierkes, Hildebrandt, Küster, Wohlrab, 1992 , s. 108.
↑ Andersson, Hyde, Larsson, Lidin, 1988 , s. 221-242.
↑ Sharma, 2012 .
↑ Lawden, 2011 .
↑ Abbena, Salamon, Gray, 2006 , s. 719–766.
↑ Hua, Jia, 2018 , s. 985–995.

Kirjallisuus

Dierkes U., Hildebrandt S., Küster A., Wohlrab O. Minimaaliset pinnat. - Springer, 1992. - T. I. - ISBN 3-540-53169-6 .
Andersson S., Hyde ST, Larsson K., Lidin S. Minimaaliset pinnat ja rakenteet: Epäorgaanisista ja metallikiteistä solukalvoihin ja biopolymeereihin // Chem. Rev .. - 1988. - T. 88 , no. 1 . - doi : 10.1021/cr00083a011 .
Sharma R. Weierstrass-esitys antaa aina minimaalisen pinnan. – 2012.
Lawden D.F. Elliptiset funktiot ja sovellukset. - Berlin: Springer, 2011. - T. 80. - (Applied Mathematical Sciences). - ISBN 978-1-4419-3090-3 .
Abbena E., Salamon S., Gray A. Minimaaliset pinnat monimutkaisten muuttujien kautta // Moderni käyrien ja pintojen differentiaaligeometria Mathematicalla. - Boca Raton: CRC Press, 2006. - ISBN 1-58488-448-7 .
Hua H., Jia T. Kaksipuolisten minimaalisten pintojen lankaleikkaus // Visual Computer. - 2018. - T. 34 , nro 6-8 . - doi : 10.1007/s00371-018-1548-0 .

Minimi pinnat
Liittynyt perhe Bura katalaani katenoidi Chena-Guckstatter Costa Ennepera Helicoid Henneberg k -noid Richmond Riemann Pylonin satula Sherka Kolmesti määräajoin Gyroid Lidinoidi Neovius Schwartz