Taso on yksi geometrian peruskäsitteistä . Geometrian systemaattisessa esittelyssä tason käsite otetaan yleensä yhdeksi alkukäsitteeksi, jonka geometrian aksioomat määräävät vain epäsuorasti. Tason läheisessä yhteydessä on tapana tarkastella siihen kuuluvia pisteitä ja viivoja ; ne on myös pääsääntöisesti otettu käyttöön määrittelemättöminä käsitteinä, joiden ominaisuudet määritellään aksiomaattisesti [1] .
Löytyi ensimmäisen kerran julkaisusta A. K. Clairaut ( 1731 ).
G. Lame ( 1816-1818 ) kohtasi ilmeisesti ensimmäisen tason yhtälön segmenteissä .
Normaaliyhtälön esitteli L. O. Hesse ( 1861 ).
Taso on ensimmäisen asteen algebrallinen pinta : karteesisessa koordinaatistossa taso voidaan määrittää ensimmäisen asteen yhtälöllä .
missä ja ovat vakioita, ja ne eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti; vektorimuodossa : _
missä on pisteen sädevektori , vektori on kohtisuorassa tasoon nähden (normaalivektori). Vektorin suunnan kosinit :
Jos yksi tasoyhtälön kertoimista on nolla, yhtälön sanotaan olevan epätäydellinen . Sillä , Taso kulkee koordinaattien alkupisteen kautta , sillä (tai , ) taso on yhdensuuntainen akselin kanssa (vastaavasti , tai ). Kun ( , tai ), taso on yhdensuuntainen tason ( tai vastaavasti ) kanssa.
jossa , ovat segmentit leikattu pois koneen akseleilla ja .
vektorimuodossa:
(vektorien sekatulo), muuten
vektorimuodossa:
missä - yksikkövektori, - etäisyys P. origosta. Yhtälö (2) saadaan yhtälöstä (1) kertomalla normalisointikertoimella
(merkit ja ovat vastakkaisia).
Kolmiulotteisessa avaruudessa yksi tärkeimmistä tavoista määritellä taso on määrittää tasossa oleva piste ja sen normaalivektori.
Oletetaan , että on tasolle määritellyn pisteen sädevektori, ja oletetaan, että n on nollasta poikkeava vektori, joka on kohtisuorassa tasoon nähden (normaali). Ajatuksena on, että piste , jonka sädevektori on r , on tasossa silloin ja vain, jos vektori kohteesta to on kohtisuorassa n :n kanssa .
Palataan siihen tosiasiaan, että kaksi vektoria ovat kohtisuorassa silloin ja vain, jos niiden pistetulo on yhtä suuri kuin nolla. Tästä seuraa, että tarvitsemamme taso voidaan ilmaista kaikkien pisteiden r joukkona siten, että:
(Tässä piste tarkoittaa pistetuloa, ei kertolaskua.)Laajennamme ilmaisua, saamme:
joka on tason tuttu yhtälö.
Esimerkiksi: Annettu: piste tasossa ja normaalivektori .
Tasoyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:
Etäisyys pisteestä tasoon on pienin tämän pisteen ja tason pisteiden välisistä etäisyyksistä. Tiedetään, että etäisyys pisteestä tasoon on yhtä suuri kuin tästä pisteestä tasoon pudonneen kohtisuoran pituus.
Jos vektorimuodossa, niin
tai (Ristituote)Tasometriikan ei tarvitse olla euklidinen . Pisteiden ja suorien käyttöönotetuista insidenssisuhteista riippuen erotetaan projektitiiviset , affiiniset , hyperboliset ja elliptiset tasot [1] .
Olkoon n-ulotteinen affini-ääriulotteinen avaruus annettu , todellisten lukujen kentän yli. Siinä on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä . M-taso on joukko pisteitä, joiden sädevektorit täyttävät seuraavan suhteen — matriisi, jonka sarakkeet muodostavat tason ohjaavan aliavaruuden, — muuttujien vektori, — tason yhden pisteen sädevektori.
Määritetty suhde voidaan kääntää matriisi-vektorimuodosta vektoriykseksi: - m-tason vektoriyhtälö.
Vektorit muodostavat ohjaavan aliavaruuden. Kahta m-tasoa kutsutaan rinnakkaiseksi , jos niiden ohjausavaruudet ovat samat ja .
(n-1)-tasoa n-ulotteisessa avaruudessa kutsutaan hypertasoksi tai yksinkertaisesti tasoksi . Hypertasolle on olemassa yleinen yhtälö tasolle. Olkoon tason normaalivektori, on muuttujien vektori, on tasoon kuuluvan pisteen sädevektori, sitten: on tason yleinen yhtälö.
Suuntavektorien matriisin avulla yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti: , tai: . Tasojen välinen kulma on pienin kulma niiden normaalivektorien välillä.
Esimerkki 1-tasosta kolmiulotteisessa avaruudessa (n=3) on suora . Sen vektoriyhtälön muoto on: . Tapauksessa n = 2, suora on hypertaso.
Hypertaso kolmiulotteisessa avaruudessa vastaa tavallista tason käsitettä.
Sanakirjat ja tietosanakirjat |
|
---|