Koordinaattimuunnos

Koordinaattimuunnos on koordinaattijärjestelmän korvaaminen tasossa, avaruudessa tai yleisimmässä tapauksessa tietyn ulottuvuuden monistossa . $n$

Esimerkki siirtymisestä napakoordinaateista karteesiseen euklidisessa tasossa : ${\displaystyle \{r,\varphi \))$ ${\näyttötyyli \{x,y\))$

{\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases))

Useimmiten koordinaattimuunnos suoritetaan siirtyäkseen yksinkertaisempaan tai kätevämpään matemaattiseen malliin analysointia varten . Esimerkiksi joidenkin tasokäyrien yhtälöt napakoordinaateissa ovat paljon yksinkertaisempia kuin karteesisissa, ja akselisymmetristen kappaleiden tutkimiseksi on kätevää suunnata yksi koordinaattiakseleista symmetria-akselia pitkin.

Määritelmä

Koordinaattimuunnos on sääntöjoukko [1] , joka yhdistää jokaisen koordinaattijoukon jossakin -ulotteisessa monistossa toiseen koordinaattijoukkoon : $\{x_{1},x_{2}\dots x_{n}\}$ $n$ $\{x_{1}',x_{2}'\dots x_{n}'\}$

{\begin{cases}x_{1}'=x_{1}'(x_{1},x_{2},\dots x_{n})\\x_{2}'=x_{2} '(x_{1},x_{2},\pisteet x_{n})\\\pisteet \\x_{n}'=x_{n}'(x_{1},x_{2},\pisteet x_ {n})\loppu{tapaukset}}

Tässä tapauksessa muunnoksen jälkeen on säilytettävä yksi yhteen vastaavuus moniston pisteiden ja koordinaattijoukkojen välillä (joillekin singulaaripisteille sallitaan poikkeuksia).

Tämä muunnos voidaan tulkita kahdella tavalla [2] .

Passiivinen näkökulma - jakosarjan pisteiden koordinaatit muuttuvat. Kaikki pisteet pysyvät paikoillaan.
Aktiivinen näkökulma - muunnos antaa jokaiselle jakosarjan pisteelle toisen pisteen. Koordinaattijärjestelmä ei muutu.

Esimerkki euklidisesta tasosta :

{\begin{cases}x'=x+1\\y'=y\end{cases))

Tämä muunnos voidaan tulkita kahdella tavalla.

Koordinaattijärjestelmän muutos, joka kasvattaa kaikkien pisteiden abskissaa yhdellä.
Käännä kaikki tason pisteet 1:llä yhdensuuntaisesti akselin kanssa $x.$

Yhteenveto käytännön tärkeiden koordinaattijärjestelmien perusmuunnoskaavoista on artikkelissa Koordinaattijärjestelmä .

Luokitus

Kaavojen tyypin mukaan kaikki koordinaattimuunnokset voidaan ryhmitellä useisiin luokkiin, joilla on yhteisiä tyypillisiä ominaisuuksia. Seuraavassa on joitain käytännössä tärkeitä muunnosluokkia, joita voidaan yhdistää toisiinsa.

Isometria - muunnokset, jotka säilyttävät kaikki pituudet. Mukaan lukien:
- Kierto pisteen tai akselin ympäri.
- Rinnakkaissiirto .
- Heijastus . Näiden kolmen tyypin yhdistelmää kutsutaan liikkeeksi .
Konforminen kartoitus , joka säilyttää kaikki kulmat. Mukaan lukien:
- Samankaltaisuus - kulmat säilyvät, mutta kaikki pituudet kerrotaan jollain vakiolla venytys/puristussuhteella.
Affiininen muunnos .

Yleensä erottuva luokka on ryhmä muunnoksia yleisalgebran merkityksessä , eli kahden muunnoksen koostumus kuuluu samaan luokkaan ja jokaiselle muunnokselle on käänteinen. Tämän ryhmän tutkiminen mahdollistaa muunnosten symmetrioiden ja invarianttien erottamisen.

Invariantit

Tämän koordinaattimuunnoksen invariantti on koordinaattien funktio, jonka arvot eivät muutu muunnoksen jälkeen [3] . Esimerkiksi rotaatiot ja käännökset eivät muuta euklidisen avaruuden pisteiden välistä etäisyyttä. Invariantit ovat muunnosryhmän tärkeä ominaisuus.

Katso myös

Kirjallisuus

Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakoulujen opiskelijoille. - toim. 13. - M .: Nauka, 1986. - 544 s.
Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tutkijoille ja insinööreille) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
Yaglom I. M. Geometriset muunnokset. Osat 1, 2. - M .: Gostekhizdat, 1956, 612 s.

Linkit

Zaslavsky A. A. Geometric transformations Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa .

Muistiinpanot

↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 362..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 362-363..
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 363..