Projektiivinen esitys

Ryhmän projektiivinen esitys vektoriavaruudessa kentän päällä on homomorfismia projektiiviseksi ryhmäksi $G$ $V$ $F$ $G$

\mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},

jossa on täydellinen lineaarinen ryhmä ja normaali alaryhmä , joka koostuu identiteettioperaattorin skalaaritekijöistä. [1] Toisin sanoen se on joukko operaattoreita siten, että $\mathrm {GL} (V)$ $F^{*}$ $\rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G$

{\näyttötyyli \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)}

joillekin jatkuvalle . $c(g,h)\in F$

Jotkut projektitiiviset esitykset voidaan saada esityksistä osamäärän kuvauksen avulla . Algebran kannalta erityisen kiinnostava on tilanne, jossa tietty projektiivinen esitys voidaan "nostaa" tavalliseen lineaariseen esitykseen , yleensä tämän esteet kuvataan ryhmäkohomologioilla . $\mathrm {GL} (V)$ $\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ $\mathrm {GL} (V);$

Merkittävin tapaus on Lie - ryhmien projektiiviset esitykset , joiden tutkiminen johtaa niiden keskuslaajennusten esitusten pohtimiseen . Monissa mielenkiintoisissa tapauksissa riittää, kun tutkitaan niiden peittävien ryhmien esityksiä, joita katetun ryhmän projektitiiviset esitykset vastaavat:

Erityinen ortogonaalinen ryhmä katetaan kahdesti spinoriryhmällä . $\mathrm {SO} (n,F)$ $\mathrm {Spin} (n,F)$
Erityisesti kattaa kolmiulotteisen avaruuden kiertojen ryhmän, jonka esitysten tutkiminen on siten äärimmäisen tärkeää ei-relativistiselle spin -teorialle . ${\mathrm {SO}}(3)$ ${\mathrm {SU}}(2)$
Samoin relativistinen spinin teoria alkaa tarkastelemalla esityksiä Lorentzin ryhmän universaalista peitteestä . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathrm {SO} ^{+}(3,1)$
Poincarén ryhmän universaali peite on puolisuora tuote , jonka esitykset antavat meille Wigner-luokituksen hiukkasista ja kentistä fysiikan alalla. $\mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )$

Bargmanin lause sanoo, että jos Lie-algebran kaksiulotteinen kohomologia on triviaali, niin mikä tahansa projektiivinen unitaarinen esitys voidaan nostaa tavalliseen unitaariseen esitykseen . [2] [3] Lauseen ehdot täyttyvät erityisesti puoliyksinkertaisille Lie-ryhmille ja Poincarén ryhmälle . $H^{2}({\mathfrak {g});\mathbb {R} )$ $\mathfrak g$ $G$ $G$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Gannon, 2006 , s. 176-179.
↑ Bargmann, 1954
↑ Simms, 1971

Kirjallisuus

Bargmann, Valentine (1954), Jatkuvien ryhmien unitaarisista sädeesityksistä , Annals of Mathematics , osa 59 (1): 1–46 , DOI 10.2307/1969831
Gannon, Terry (2006), Moonshine Beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83531-2
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , voi. 267, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras ja Representations: An Elementary Introduction , voi. 222 (2. painos), Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
Schur, I. (1911), Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen , Crelle's Journal vol. 139: 155–250 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/en /dms/load/img/?IDDOC=261150 >
Simms, DJ (1971), Lyhyt todiste Bargmannin kriteeristä Lie-ryhmien projektiivisten esitysten poistamiseksi , Reports on Mathematical Physics osa 2 (4): 283–287 , DOI 10.1016/0034-4877(71)90011-5