Lorentz-ryhmän esitysteoria

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Lorentzin ryhmä on aika-avaruussymmetrioiden Lie - ryhmä erityisessä suhteellisuusteoriassa . Tämä ryhmä voidaan toteuttaa joukkona matriiseja , lineaarisia muunnoksia tai unitaarisia operaattoreita jossain Hilbert-avaruudessa . Ryhmällä on erilaisia näkemyksiä . Missä tahansa relativistisesti invariantissa fysikaalisessa teoriassa näiden ideoiden pitäisi jotenkin heijastua [nb 1] . Itse fysiikka on tehtävä niiden pohjalta. Lisäksi erityinen suhteellisuusteoria yhdessä kvanttimekaniikan kanssa ovat kaksi huolellisesti testattua fysikaalista teoriaa [nb 2] , ja näiden kahden teorian liitto rajoittuu Lorentzin ryhmän äärettömän ulottuvuuden unitaaristen esitysten tutkimiseen. Tällä on sekä historiallista merkitystä valtavirran teoreettisessa fysiikassa että linkkejä spekulatiivisempiin nykyteorioihin .

Täydellinen teoria Lorentz-ryhmän Lie-algebran äärellisulotteisista esityksistä johdetaan käyttämällä puoliyksinkertaisten Lie-algebroiden esitysteorian yleistä kehystä . Täyden Lorentzin ryhmän O(3; 1) yhdistetyn komponentin äärellisulotteiset esitykset saadaan käyttämällä Lie-vastaavuutta ja matriisieksponenttia . Saadaan täydellinen teoria komponentin yleisen peittoryhmän [en] äärellisulotteisista esityksistä (samoin kuin spinoriryhmästä , kaksoiskannesta), ja esitetään eksplisiittisesti funktion tilassa tapahtuvan vaikutuksen suhteen ryhmät ja . Ajan käänteis- ja tilankääntöesitykset on annettu julkaisuissa Space Inversion ja Time Reversal , mikä täydentää äärellisulotteisen teorian koko Lorentz-ryhmälle. Esitysten yleiset ominaisuudet ( m , n ) esitetään lyhyesti . Toimintoja funktioavaruuksiin tarkastellaan , esimerkkeinä pallomaisia harmonisia ja Riemannin P-symboleja . Pelkistymättömien unitaaristen esitysten äärettömän ulottuvuuden tapaus on määritetty pääsarjalle ja lisäsarjoille . Lopuksi annetaan Plancherelin kaava ja ryhmän SO(3, 1) esitykset luokitellaan ja toteutetaan Lie-algebroille. ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Edustusteorian kehitystä seurasi yleisemmän puoliyksinkertaisten ryhmien esitysteorian kehittäminen pääasiassa Elie Joseph Cartanin ja Hermann Weylin ansiosta, mutta Lorentz-ryhmä sai erityistä huomiota sen merkityksen vuoksi fysiikassa. Merkittävän panoksen Lorentz-ryhmien teoriaan antoivat fyysikko Eugene Wigner ja matemaatikko Valentin Bargman Bargman -Wigner-ohjelmallaan [1] , jonka yhtenä johtopäätöksenä karkeasti sanottuna on kaikkien ryhmien yhtenäisten esitysten luokittelu. epähomogeeninen Lorentz-ryhmä pelkistetään kaikkien mahdollisten relativististen yhtälöiden luokitukseen [2] . Lorentz-ryhmän pelkistymättömien äärettömän ulottuvuuden esitysten luokituksen perusti Paul Diracin teoreettisen fysiikan tohtori Harish-Chandra , josta tuli myöhemmin matemaatikko [nb 3] vuonna 1947. Vastaavan luokituksen ryhmälle julkaisi itsenäisesti Bargman ja Israel Moiseevich Gel'fan yhdessä Mark Aronovich Naimarkin kanssa samana vuonna [3] . $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$

Epävirallinen johdanto sisältää joitain alustavia vaatimuksia lukijalle, joka ei tunne esitysteoriaa. Tässä käytetyt standarditulokset äärellisulotteisten esitysten yleisestä teoriasta on hahmoteltu kohdassa Introduction to the Theory of Finite-Dimensional Representations . Lie-algebran perusteet ja muut konventiot on esitetty osiossa "Lie-algebran yleissopimukset ja perusteet" .

Epävirallinen johdatus esitysteoriaan

Tämän osan tarkoituksena on havainnollistaa ryhmäesitysteorian roolia matematiikassa ja fysiikassa. Jäykkyys ja yksityiskohdat häipyvät taustalle, sillä päätavoitteena on fiksoida käsitys Lorentzin ryhmän äärellis- ja äärettömän ulottuvuuden esityksistä. Nämä käsitteet tuntevat lukijat voivat ohittaa tämän osion.

Yhteenveto käsitteistä

Tilan ja ajan symmetria

Avaruus itsessään on symmetrinen. Se näyttää samalta riippumatta siitä, kuinka pyörität sitä, ja kiertosymmetria nähdään avaruuden isotropiana. Tässä tapauksessa käytetään yleensä passiivisia rotaatioita , mikä tarkoittaa, että havainnoitsija [nb 4] pyörii itse. Matemaattisesti aktiivinen kiertotoiminto suoritetaan kertomalla sädevektorit rotaatiomatriisilla . Passiivinen kierto suoritetaan vain kiertämällä koordinaattijärjestelmän kantavektoreita (koordinaattijärjestelmää voidaan pitää kiinteänä pyörivään tarkkailijaan, havainnoija pyörii fyysisesti). Siten mikä tahansa piste avaruudessa saa uudet koordinaatit, ikään kuin avaruus pyörisi.

Lorentz-ryhmä sisältää kaikki rotaatiomatriisit, jotka on laajennettu neljänteen ulottuvuuteen, nollat ensimmäisellä rivillä ja ensimmäisessä sarakkeessa, paitsi vasen yläelementti, joka on yhtä suuri kuin yksi.

Lisäksi on olemassa matriiseja, jotka suorittavat Lorentzian tehosteita (tila-ajallisia rotaatioita). Niitä voidaan pitää passiivisessa havainnointissa (jatkuvasti!) koordinaattijärjestelmän (ja sen mukana havainnoinnin) nopeuden asettamiseksi valittuun suuntaan.

Lopuksi käytetään kahta erikoismuunnosta koordinaattijärjestelmän invertoimiseksi avaruus-avaruus- inversiossa ja aika- aika-käännöksessä . Ensimmäisessä tapauksessa tilakoordinaattiakselit käännetään. Toisessa tapauksessa ajan suunta on päinvastainen. Tämä voidaan nähdä passiivisessa havainnoinnissa siten, että tarkkailija siirtää kelloa taaksepäin siten, että kello kulkee vastapäivään. Fyysinen aika menee eteenpäin.

Matemaattisesti Lorentzin ryhmä määritellään joukkona muunnoksia, jotka säilyttävät bilineaarisen muodon

(ct_{1},x_{1},y_{1},z_{1})\cdot (ct_{2},x_{2},y_{2},z_{2})=-c ^{2}t_{1}t_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2},

jossa vasen puoli on kahden aika -avaruustapahtuman Minkowski - pistetulo ja oikea puoli on aika -avaruusväli, katso matemaattisia yksityiskohtia artikkelista "Klassinen ryhmä"

Lorentzin muunnokset

Erityisen suhteellisuusteorian aika-avaruudessa , jota kutsutaan Minkowski - avaruudeksi, tila ja aika kietoutuvat toisiinsa. Sitten neljä aika-avaruuden pisteen koordinaattia, joita kutsutaan tapahtumiksi , muuttuvat odottamattomalla tavalla (ennen erityissuhteellisuusteorian tuloa) siten, että ajan laajeneminen ja pituuden supistuminen ovat kaksi välitöntä seurausta. Neliulotteiset Lorentzin muunnosmatriisit muodostavat Lorentz - ryhmän . Sen elementit edustavat symmetrioita ja, kuten fyysisiä objekteja, voidaan kiertää käyttämällä rotaatiomatriiseja, fyysisiä objekteja (jonka koordinaatit sisältävät nyt aikakoordinaatin) voidaan muuntaa käyttämällä Lorentzin muunnoksia edustavia matriiseja. Erityisesti tapahtumaa Lorentzin viitekehyksessä edustava 4-vektori muunnetaan muodossa

x'={\begin{bmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\\x'^{2}\\x'^{3}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}&\lambda _{02}&\lambda _{03}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\lambda _{20}&\lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\\\lambda _{30}&\ lambda _{31}&\lambda _{32}&\lambda _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2} \\x^{3}\end{bmatrix}},

tai lyhyessä muodossa

x'=\Lambda x.

Kertotaulukko ja esitykset

Minkä tahansa äärellisen ryhmän pääominaisuus on sen kertotaulukko , jota kutsutaan myös Cayley-taulukoksi , johon tallennetaan kahden elementin kertolaskutulokset. Ryhmäesitys voidaan katsoa uutena elementtijoukona, äärellisulotteisena ja äärettömän ulottuvuuden matriiseina, jolloin saadaan sama tulotaulukko sen jälkeen, kun vanhat elementit on kartoitettu uusiin yksi-yhteen [nb 5] . Sama pätee äärettömien ryhmien tapauksessa, kuten Lorentz-ryhmän rotaatioryhmä SO(3) . Kertotaulukko on vaikeampi visualisoida, jos kyseessä on lukematon koko (reaalilukujoukon koko). Yksi tapa tehdä tämä on järjestää ryhmän alkiot kokonaan järjestysnumerolla ρ , joka on järjestystyyppi . "Infinite Cayley-taulukko" indeksoidaan sitten kahdella ordinaalilla , jotka on kirjoitettu Cantorin normaalimuodossa . $0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant \rho$

Tavallinen matriisi Lorentzin muunnos ei riitä

Muunnettavissa olevat kohteet voivat erota tavallisista fyysisistä objekteista jakaantua kolmelle tilaulottuvuudelle (ja ajalle, jos viitekehys ei ole levossa). Näille kohteille tarvitaan esitysteoria, joka kuvaa matemaattisesti tavanomaisten aika-avaruuden Lorentzin muunnosten aiheuttamia muunnoksia. Esimerkiksi sähkömagneettinen kenttä esitetään usein (naiivisti) osoittamalla jokaiselle aika-avaruuden pisteelle sähkökenttää edustava kolmiulotteinen vektori ja toinen kolmiulotteinen vektori, joka edustaa magneettikenttää .

Avaruuden pyöriessä tapahtuu klassisen odotettuja asioita. Sähkö- ja magneettikenttien vektorit määrätyssä pisteessä pyörivät samalla pituudella ja kulmassa vektorien välillä.

Lorentz-tehosteilla ne käyttäytyvät eri tavalla, mikä osoittaa, että nämä kaksi vektoria eivät ole erillisiä fyysisiä objekteja. Sähköiset ja magneettiset komponentit sekoitetaan. Katso oikealla oleva kuva. Sähkömagneettisen kentän tensori näyttää sähkömagneettisen kentän eksplisiittisesti kovarianssin matemaattisen rakenteen. Siinä on kuusi itsenäistä komponenttia [nb 6] -tapahtumassa .

Äärillisulotteinen esitys matriiseilla

Lorentzin ryhmän esittämisen tehtävänä on äärellisulotteisessa tapauksessa löytää uusi joukko matriiseja, jotka eivät välttämättä ole kooltaan 4 × 4 , jotka täyttäisivät saman kertotaulukon kuin alkuperäisen Lorentz-ryhmän matriisit. Palataksemme sähkömagneettisen kentän esimerkkiin, tarvitsemme 6 × 6 matriisia, joita voidaan soveltaa kuusiulotteisiin vektoreihin, jotka sisältävät kaikki kuusi sähkömagneettisen kentän komponenttia. Siten etsitään 6 × 6 matriisia siten, että

F'={\begin{bmatrix}E'^{1}\\E'^{2}\\E'^{3}\\B'^{1}\\B'^{2} \\B'^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Pi (\Lambda )_{00}&\Pi (\Lambda )_{01}&\Pi (\Lambda )_ {02}&\Pi (\Lambda )_{03}&\Pi (\Lambda )_{04}&\Pi (\Lambda )_{05}\\\Pi (\Lambda )_{10}&\ Pi (\Lambda )_{11}&\Pi (\Lambda )_{12}&\Pi (\Lambda )_{13}&\Pi (\Lambda )_{14}&\Pi (\Lambda )_ {15}\\\Pi (\Lambda )_{20}&\Pi (\Lambda )_{21}&\Pi (\Lambda )_{22}&\Pi (\Lambda )_{23}&\ Pi (\Lambda )_{24}&\Pi (\Lambda )_{25}\\\Pi (\Lambda )_{30}&\Pi (\Lambda )_{31}&\Pi (\Lambda ) _{32}&\Pi (\Lambda )_{33}&\Pi (\Lambda )_{34}&\Pi (\Lambda )_{35}\\\Pi (\Lambda )_{40}& \Pi (\Lambda )_{41}&\Pi (\Lambda )_{42}&\Pi (\Lambda )_{43}&\Pi (\Lambda )_{44}&\Pi (\Lambda ) _{45}\\\Pi (\Lambda )_{50}&\Pi (\Lambda )_{51}&\Pi (\Lambda )_{52}&\Pi (\Lambda )_{53}& \Pi (\Lambda )_{54}&\Pi (\Lambda )_{55}\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}E^{1}\\E^{2}\\E^{ 3}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{bmatrix}},

tai lyhyessä muodossa

F'=\Pi (\Lambda )F,

ilmaisee oikein sähkömagneettisen kentän muunnos Lorentzin muunnoksessa Λ [nb 7] Samaa päättelyä voidaan soveltaa Diracin bispinoreihin . Koska niissä on 4 -komponenttia, alkuperäiset 4×4 -matriisit Lorentz-ryhmässä ovat käyttökelvottomia, vaikka rajoittuisivatkin rotaatioihin. Toinen 4×4 -esitys tarvitaan .

Äärillisulotteisia esityksiä käsittelevä osio on tarkoitettu esittämään kaikki sellaiset esitykset äärellisulotteisia matriiseja käyttäen kertotaulukon sääntöjä noudattaen.

Äärettömän ulottuvuuden esitykset funktioiden vektoriavaruuksien toimilla

Äärettömän ulottuvuuden esitykset toteutetaan yleensä siten, että ne vaikuttavat joukon todellisia tai monimutkaisia funktioita joukossa X , mikä on yhdenmukainen ryhmätoiminnan kanssa . "Joukko on sopusoinnussa ryhmätoiminnan kanssa" A tarkoittaa pohjimmiltaan, että jos ja , sitten kanssa . Jos tarkoittaa X :n kaikkien kompleksisten funktioiden joukkoa , joka on vektoriavaruus , ryhmän G esitys Π voidaan määritellä Rosmanin [4] mukaan $x\in X$ $g\in G$ $A(g)x=y$ $y\in X$ $\mathbb {C} ^{X}$

(\Pi (g))f(x)=f(A(g^{-1})x),\quad f\in \mathbb {C} ^{X},g\in G,x \in X.

Sitä on taas korostettava

(\Pi (g))f\in \mathbb {C} ^{X}.

on ryhmän G esitys . Tämä G :n esitys on äärellisulotteinen, jos ja vain jos X on äärellinen joukko. Tämä menetelmä on hyvin yleinen, ja käsillä olevissa joukoissa on yleistä käyttää erikoistuneiden funktioiden vektoriavaruuksia. Tämän menettelyn havainnollistamiseksi tarkastellaan n - ulotteisten matriisien ryhmää G euklidisen avaruuden ja polynomien avaruuden osajoukkona , joilla on sama maksimiaste d tai jopa homogeeniset d-asteiset polynomit , jotka on määritelty . Nämä polynomit (funktioina) rajoittuvat . Sarja saadaan automaattisesti varustettuna ryhmätoimilla, nimittäin $\mathbb {R} ^{n^{2))$ $\mathbb {R} ^{n^{2))$ $G\subset \mathbb {R} ^{n^{2))$ $X=G$

L_{g}h=gh,R_{g}h=hg,C_{g}h=ghg^{-1},g,h\in G.

Tässä tarkoittaa vasenta toimintaa ( g ) , oikeaa toimintaa ( g ) ja konjugaatiota ( g ) . Näiden toimien alla toimivat vektorit ovat funktioita. Tuloksena saadut esitykset ovat (jos funktiot ovat rajoittamattomia) ensimmäisessä ja toisessa tapauksessa vasen säännöllinen esitys ja oikea säännöllinen esitys ryhmästä G [ 4] . ${\näyttötyyli L_{g))$ ${\displaystyle R_{g))$ $C_{g}$ $\mathbb {C} ^{G}.$

Edustusteorian tavoitteena äärettömän ulottuvuuden tapauksessa on luokitella kaikki erilaiset mahdolliset esitykset ja ilmaista ne funktioiden vektoriavaruuksina ja funktion argumenttien vakioesitysten toimien avulla.

Äärettömän ulottuvuuden esitykset äärettömän ulottuvuuden matriiseina

Äärettömän ulotteisen avaruuden esitysten suhteuttamiseksi äärellisulotteisten tapausten kanssa valitaan funktioiden vektoriavaruuden järjestyspohja ja tutkitaan kantafunktioiden toimintaa annetuilla muunnoksilla. Kantafunktioiden kuva muunnoksen aikana kirjoitetaan ulos kantafunktioiden lineaarisena yhdistelmänä. Tarkemmin sanottuna, jos f 1 , f 2 , ... on kanta, laske

{\begin{aligned}\Pi (\Lambda )f_{1}&=\lambda _{11}f_{1}+\lambda _{21}f_{2}+\cdots ,\\\Pi (\Lambda )f_{2}&=\lambda _{12}f_{1}+\lambda _{22}f_{2}+\cdots ,\\&\,\,\,\vdots \end{tasattu }}

Perusfunktion kertoimet lausekkeessa jokaiselle kantafunktion muunnokselle on esitysmatriisin sarake. Yleensä tuloksena olevalla matriisilla on laskettavan ääretön ulottuvuus [nb 8] .

\Pi (\Lambda )={\begin{bmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\cdots \\\lambda _{21}&\lambda _{22}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}

Jälleen vaaditaan, että tällä tavalla saatu äärettömien matriisien joukko on yksi yhteen vastaavuus alkuperäisten 4 × 4 matriisien kanssa ja että kertotaulukko vastaa 4 × 4 matriisien kertotaulukkoa. [nb 9] On syytä korostaa, että äärettömän ulottuvuuden tapauksessa koko matriisi on harvoin kiinnostunut. Ne on esitetty tässä vain korostamaan yhteisiä piirteitä. Mutta yksittäisiä matriisielementtejä lasketaan usein, erityisesti Lie-algebroissa (alla).

Lie algebra

Lorentz-ryhmä on Lie-ryhmä ja sellaisenaan sillä on Lie-algebra Lie-algebra on matriisien vektoriavaruus, jota voidaan pitää identiteettielementin lähellä olevan ryhmän mallina. Algebralla on kertolaskutoiminto, Lie-hakasulke . Tällä operaatiolla identiteettielementin lähellä olevan ryhmän tulo voidaan ilmaista Lie-algebroilla (mutta ei kovin yksinkertaisesti). (matriisi) Lie-algebran ja (matriisi) Lie-ryhmän välinen relaatio on matriisieksponentti . Tämä yhteys on yksi yhteen lähellä ryhmän identtistä elementtiä.

Tämän seurauksena usein riittää löytää esitykset Lie-algebrasta . Lie-algebrat ovat paljon yksinkertaisempia objekteja työskennellä kuin Lie-ryhmät. Koska Lie-algebra on äärellisulotteinen vektoriavaruus, Lorentzian Lie-algebran tapauksessa ulottuvuus on 6 ja Lie-algebran edustavia matriiseja tarvitsee löytää vain äärellinen määrä, yksi kutakin kantaa kohden. Lie-algebran elementti vektoriavaruudena. Loput seuraa lineaarisuudesta, ja ryhmän esitys saadaan eksponentioimalla.

Yksi mahdollinen perustan valinta Lie - algebralle standardiesitykseen on annettu kohdassa Lie - algebran yleissopimukset ja perusteet .

Sovellukset

Monet esityksistä, sekä äärellisulotteiset että äärettömät, ovat tärkeitä teoreettisessa fysiikassa. Esitykset syntyvät klassisen kenttäteorian kenttien kuvauksessa ja mikä tärkeintä, sähkömagneettisen kentän ja hiukkasten teoriassa relativistisessa kvanttimekaniikassa , samoin kuin hiukkasista ja kvanttikentistä kvanttikenttäteoriassa ja erilaisista kohteista merkkijonoteoriassa . Edustusteoria tarjoaa myös teoreettisen perustan spinin käsitteelle . Edustusteoria sisältyy myös yleiseen suhteellisuusteoriaan siinä mielessä, että aika-avaruuden riittävän pienillä alueilla fysiikka on esitys erityisestä suhteellisuusteoriasta [5] .

Äärillisulotteiset pelkistymättömät epäyhtenäiset esitykset yhdessä epähomogeenisen Lorentz-ryhmän, Poincarén ryhmän pelkistymättömien äärettömän ulottuvuuden unitaaristen esitysten kanssa, ovat esityksiä, joilla on suora fyysinen merkitys [6] [7] .

Lorentz-ryhmän äärettömän ulottuvuuden unitaariesitykset näkyvät Poincarén ryhmän pelkistymättömien äärettömän ulottuvuuden unitaariesitysten rajoituksen alaisina , jotka vaikuttavat Hilbertin avaruuteen, relativistiseen kvanttimekaniikkaan ja kvanttikenttäteoriaan . Mutta ne ovat myös matemaattisesti kiinnostavia ja potentiaalisesti suora fyysinen merkitys eri roolissa kuin vain rajoitteina [8] . On ollut spekulatiivisia teorioita [9] [10] (tensoreilla ja spinoreilla on äärettömät vastineet Dirac-laajennuksissa ja Harish -Chandra- expinoreissa ), jotka ovat yhdenmukaisia relativistisen ja kvanttimekaniikan kanssa, mutta niille ei ole löydetty todistettua fyysistä sovellusta. Nykyaikaisilla spekulatiivisilla teorioilla on mahdollisesti samat ainekset.

Matematiikka

Matematiikan, jonka tarkoitus on luokittelu ja kuvaus, näkökulmasta katsottuna Lorentz-ryhmän esitysteoria vuodesta 1947 lähtien on ohitettu luku. Mutta Bargman-Wigner-ohjelman yhteydessä on (vuoteen 2006 mennessä) ratkaisemattomia puhtaasti matemaattisia ongelmia, jotka liittyvät äärettömän ulottuvuuden unitaarisiin esityksiin.

Pelkistymättömillä äärettömän ulottuvuuden unitaarisilla esityksillä voi olla epäsuoraa merkitystä fyysisen todellisuuden kannalta nykyaikaisissa spekulatiivisissa teorioissa, koska (yleistetty) Lorentz-ryhmä esiintyy pienenä ryhmänä Poincarén avaruuden kaltaisten vektoreiden ryhmää korkeamman ulottuvuuden aika-ajoissa. Vastaavat (yleistetun) Poincare-ryhmän äärettömän ulottuvuuden unitaariesitykset ovat ns. takyoniesitykset . Takyonit esiintyvät bosonisten merkkijonojen spektrissä ja liittyvät tyhjiön epävakauteen [11] [12] . Vaikka takyoneja ei voida toteuttaa luonnossa, nämä esitykset on hyväksyttävä matemaattisesti , jotta voidaan ymmärtää merkkijonoteoriaa. Tämä johtuu siitä, että takyonitilat esiintyvät supermerkkijonoteorioissa yrittäessään luoda realistisia malleja [13] .

Avoin ongelma (vuodesta 2006) on Bargman-Wigner-ohjelman valmistuminen Sitter-avaruus-ajan dS D -2 isometriaryhmälle SO( D - 2, 1) . Ihannetapauksessa aaltofunktion fysikaaliset komponentit voitaisiin toteuttaa hyperboloidissa dS D – 2, jonka säde on μ > 0 upotettuna , ja vastaaviin O( D − 2, 1) yhtälöihin äärettömän ulottuvuuden unitaarisen esityksen kovarianssiaallon kanssa. tunnetaan [12] . $\mathbb {R} ^{D-2,1}$

On tavallista, että matemaatikot pitävät Lorentz-ryhmää suurimmaksi osaksi Möbius-ryhmää , jolle se on isomorfinen. Ryhmä voidaan esittää Riemannin sfäärillä määritellyllä funktiojoukolla . Ne ovat Riemmannin P-symboleja , jotka ilmaistaan hypergeometrisinä funktioina .

Klassinen kenttäteoria

Vaikka sähkömagneettinen kenttä yhdessä gravitaatiokentän kanssa ovat ainoita klassisia kenttiä, jotka osoittavat tarkan kuvauksen luonnosta, myös muun tyyppiset klassiset kentät ovat tärkeitä. Tarkasteltaessa kvanttikenttäteoriaa (QFT), jota kuvataan toisella kvantisoinnilla , lähtökohtana on yksi tai useampi klassinen kenttää, jossa esimerkiksi Diracin yhtälön ratkaisevia aaltofunktioita pidetään klassisina (toissijaista) kvantisointia edeltävinä kenttinä [ 14] . Vaikka toinen kvantisointi ja siihen liittyvä Lagrangin formalismi eivät ole QFT:n perustavanlaatuisia aspekteja [15] , itse asiassa kaikkia kvanttikenttäteorioita voidaan lähestyä tästä näkökulmasta, mukaan lukien standardimalli [16] . Näissä tapauksissa on olemassa klassisia versioita kenttäyhtälöistä, jotka seuraavat Euler–Lagrange-yhtälöstä ja johdetaan Lagrangin yhtälöstä käyttäen pienimmän toiminnan periaatetta . Näiden kenttäyhtälöiden on oltava relativistisesti invariantteja ja niiden ratkaisut (jotka pidetään relativistisina aaltofunktioina jäljempänä määritellyllä tavalla) on muunnettava jollakin Lorentzin ryhmän esityksellä.

Lorentz-ryhmän toiminta kenttäkonfiguraatioiden avaruudessa ( kenttäkonfiguraatio on tietyn ratkaisun aika-avaruushistoria, esimerkiksi sähkömagneettinen kenttä koko avaruudessa on aina yksi kenttäkonfiguraatio) muistuttaa Hilbertin toimintaa. kvanttimekaniikan avaruudet, paitsi että kommutaattorisulut korvataan kenttäteorian Poissonin suluilla [14] .

Relativistinen kvanttimekaniikka

Tässä osiossa otamme käyttöön seuraavan määritelmän [17] : Relativistinen aaltofunktio on joukko n funktiota aika-avaruudessa, jotka muuntuvat mielivaltaisen Lorentzin ominaismuunnoksen Λ mukaan. $\psi ^{\alpha }$

\psi '^{\alpha }(x)=D{[\Lambda ]^{\alpha }}_{\beta }\psi ^{\beta }\left(\Lambda ^{-1}x \oikea),

missä D [Λ] on n - ulotteinen matriisiesitys muunnoksesta Λ , joka kuuluu samaan esityksen suoraan summaan ( m , n ) , joka esitellään jäljempänä.

Yksihiukkasten teorioiden hyödyllisin relativistinen kvanttimekaniikka (tällaista teoriaa ei ole täysin johdonmukaista) ovat Klein-Gordonin yhtälö [18] ja Diracin yhtälö [19] alkuperäisessä muodossaan. Ne ovat relativistisesti invariantteja ja niiden ratkaisut muuntuvat Lorentz-ryhmän alla Lorentzin skalaareiksi ( ) ja vastaavasti bispinoreiksi ( ). Sähkömagneettinen kenttä on tämän määritelmän mukaan relativistinen aaltofunktio, joka muuntuu alle [20] . ${\näyttötyyli (m,n)=(0,0)}$ $(0,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},0)$ $(1,0)\oplus (0,1)$

Sirontaanalyysissä voidaan käyttää äärettömän ulottuvuuden esityksiä [21] /

Kvanttikenttäteoria

Kvanttikenttäteoriassa relativistisen invariantin vaatimus syntyy muun muassa edellyttäen, että S-matriisi on välttämättä Poincarén invariantti [22] . Tämä tarkoittaa, että Fock-avaruuteen vaikuttavasta Lorentz-ryhmästä on yksi tai useampi ääretön esitys [nb 10] . Eräs tapa taata tällainen esitys on olemassa Lagrangian kuvaus (nykyaikaisilla vaatimuksilla, katso linkki) järjestelmästä käyttäen kanonista formalismia, josta voidaan johtaa Lorentzin ryhmägeneraattoreiden toteutus [23] .

Kenttäoperaattoreiden muunnos havainnollistaa Lorentz-ryhmän äärellisulotteisten esitysten ja Poincare-ryhmän äärettömän ulottuvuuden unitaariesitysten toisiaan täydentäviä rooleja, mikä osoittaa matematiikan ja fysiikan syvää yhtenäisyyttä [24] . Esimerkkinä harkitaan n - komponentin kenttäoperaattorin määritelmää [25] . Relativistinen kenttäoperaattori on joukko n funktiota, joiden arvot ovat aika-avaruusoperaattoreita, jotka muunnetaan sopivilla Poincarén muunnoksilla (Λ, a ) lausekkeen [26] [27] mukaisesti .

\Psi ^{\alpha }(x)\to \Psi '^{\alpha }(x')=U[\Lambda ,a]\Psi ^{\alpha }(x)U^{-1 }\left[\Lambda ,a\right]=D{\left[\Lambda ^{-1}\oikea]^{\alpha }}_{\beta }\Psi ^{\beta }(\Lambda x+ a )

Tässä U [Λ, a] on unitaarinen operaattori, joka edustaa (Λ, a) Hilbert-avaruudessa, jossa Ψ on määritelty , D on Lorentzin ryhmän n - ulotteinen esitys. Muunnossääntö on Whitemanin toinen kvanttikenttäteorian aksiooma

Differentiaalirajoitussopimuksista, joita kenttäoperaattorin on noudatettava kuvatakseen yksittäistä hiukkasta, jolla on tietty massa m ja spin s (tai helicity), seuraa, että [28] [nb 11]

\Psi ^{\alpha }(x)=\sum _{\sigma }\int dp\left(a(\mathbf {p} ,\sigma )u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x}+a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{-ip \cdot x}\right),

(X1)

jossa tulkitaan luomis- ja tuhoamisoperaattoreiksi, vastaavasti. Synnytysoperaattori muunnetaan kaavojen [28] [29] mukaan. $a^{\dagger },a$ ${\displaystyle a^{\tikari ))$

a^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )\rightarrow a'^{\dagger }\left(\mathbf {p} ',\sigma \right)=U[\Lambda ]a ^{\dagger }(\mathbf {p} ,\sigma )U\left[\Lambda ^{-1}\right]=a^{\dagger }(\Lambda \mathbf {p} ,\rho )D^ {(s)}{\left[R(\Lambda ,\mathbf {p} )^{-1}\right]^{\rho }}_{\sigma },

ja samoin annihilaatiooperaattorille. Tässä tapauksessa on korostettava, että kenttäoperaattori muuntuu Lorentz-ryhmän äärellisulotteisen ei-unitaarisen esityksen mukaan, kun taas luontioperaattori muuntuu Poincare-ryhmän äärettömän ulottuvuuden unitaariesityksen mukaan, jota kuvaa massa- ja hiukkasen spin ( m , s ) . Näiden kahden välinen yhteys ovat aaltofunktiot , joita kutsutaan myös kerroinfunktioiksi

u^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{ip\cdot x},\quad v^{\alpha }(\mathbf {p} ,\sigma )e^{- ip\cdotx}

jotka sisältävät molemmat indeksit, sekä ( x , α ) , jotka toimivat Lorentzin muunnoksilla, ja indeksit ( p , σ ) , jotka toimivat Poincarén muunnoksilla. Tätä voidaan kutsua Lorentz-Poincarén yhteydeksi [30] . Yhteyden osoittamiseksi käytämme yhtälön (X1) molemmille puolille Lorentz-muunnosta , joka antaa esim .

{D[\Lambda ]^{\alpha }}_{\alpha '}u^{\alpha '}(\mathbf {p} ,\lambda )={D^{(s)}[R( \Lambda ,\mathbf {p} )]^{\lambda '}}_{\lambda }u^{\alpha }\left(\Lambda \mathbf {p} ,\lambda '\oikea),

jossa D on epäyhtenäisen Lorentz-ryhmän Λ esitys , ja D ( s ) on ns. Wigner-rotaatio R , joka liittyy Λ :ään ja p :hen ja joka on johdettu Poincarén ryhmän esityksestä, ja s . on hiukkasen spin.

Kaikki yllä olevat kaavat, mukaan lukien kenttäoperaattorin määritelmä luomis- ja annihilointioperaattoreina sekä differentiaaliyhtälöt, jotka kenttäoperaattori täyttää hiukkaselle, jolla on määrätty massa, spin ja ( m , n ) -esitys sen on muunnettava [nb 12] , ja aaltofunktio voidaan johtaa vain teoreettisista sopimuksista, kun kvanttimekaniikan ja erityissuhteellisuusteorian viitekehys on asetettu [nb 13]

Abstraktit teoriat

Teorioissa, joissa aika-avaruusulottuvuus voi olla suurempi kuin , sopivan ulottuvuuden yleiset Lorentz-ryhmät korvaavat O(3; 1) -ryhmän [nb 14] . $D=4$ $\mathrm {O} (D-1;1)$

Lorentzin invarianssin vaatimus saa ehkä dramaattisimman vaikutuksen jousiteoriassa . Klassisten relativististen merkkijonojen kanssa on mahdollista työskennellä Lagrangin viitekehyksessä Nambu Goto -toiminnolla [31] . Tämä toimii relativistisesti invariantissa teoriassa minkä tahansa ulottuvuuden aika-avaruudessa [32] . Mutta käy ilmi, että avoimien ja suljettujen bosonisten kielten teoriassa (yksinkertaisin merkkijonoteoria) on mahdotonta kvantisoida tavalla, jolla Lorentzin ryhmä on edustettuna tila-avaruudessa ( Hilbert-avaruus ), jos avaruuden ulottuvuus aika ei ole yhtä suuri kuin 26 [33] . Vastaava tulos supermerkkijonoteorialle johtaa jälleen Lorentzin invarianssin vaatimukseen, mutta nyt supersymmetrialla . Näissä teorioissa Poincarén algebra korvataan supersymmetriaalgebralla , joka on Z 2 -asteittainen Lie-algebra , joka laajentaa Poincarén algebraa. Tällaisen algebran rakenteen määrää suuressa määrin Lorentzin invariantin vaatimus. Erityisesti fermioniset operaattorit (luokan 1 ) kuuluvat (0,yksi2) tai (yksi2, 0) (tavallisen) Lorentzian Lie -algebran avaruuden esitys [34] . Ainoa mahdollinen aika-avaruusulottuvuus tällaisissa teorioissa on 10 [35] .

Äärillisulotteiset esitykset

Ryhmien ja erityisesti valheryhmien esitysteoria on erittäin rikas ala. Koko Lorentz-ryhmä ei ole poikkeus. Lorentz-ryhmällä on joitain ominaisuuksia, jotka tekevät siitä "joustavan" ja muita ominaisuuksia, jotka tekevät siitä "ei kovin muokattavaa" esitysteorian yhteydessä. Ryhmä on yksinkertainen , ja sitten myös puoliksi yksinkertainen , mutta ei yhdistetty , eikä mikään sen komponenteista ole yksinkertaisesti yhdistetty . Ehkä tärkeintä on, että Lorentz-ryhmä ei ole kompakti [36] .

Äärillisulotteisissa esityksissä puoliyksinkertaisuuden läsnäolo tarkoittaa, että Lorentzin ryhmää voidaan käsitellä samalla tavalla kuin muita puoliyksinkertaisia ryhmiä käyttämällä hyvin kehittynyttä teoriaa. Lisäksi kaikki esitykset rakennetaan redusoitumattomista , koska Lie-algebralla on täydellinen pelkistyvyys [nb 15] [37] . Ei-kompakteja Lorentz-ryhmiä yhdistettynä yksinkertaisesti liitettävyyden puuttumiseen ei kuitenkaan voida käsitellä kaikilta osin yksinkertaisessa kehyksessä, joka koskee yksinkertaisesti yhdistettyjä kompakteja ryhmiä. Epätiivisyydestä seuraa yhdistetylle yksinkertaiselle Lie-ryhmälle, että ei ole olemassa ei-triviaaleja äärellisulotteisia unitaarisia esityksiä [38] . Yksinkertaisen yhteyden puuttuminen johtaa ryhmien spinien esittämiseen [39] . Yhteyden katkaisu tarkoittaa, että koko Lorentz-ryhmän esityksissä ajan käänteistä ja avaruuden inversiota tulee tarkastella erikseen [40] [41] .

Historia

Lorentzin ryhmän äärellisulotteisten esitysten teorian kehitys noudattaa pääosin yleisen teorian strategiaa. Sophus Lien vuonna 1873 kehittämä valheteoria [42] [43] [44] [45] . Vuonna 1888 yksinkertaisten Lie-algebroiden luokittelun suoritti pääasiassa Wilhelm Killing [46] [47] . Vuonna 1913 Cartan todisti maksimipainolauseen yksinkertaisten Lie-algebroiden esityksille , ja tämä artikkeli seuraa samaa polkua [48] [49] . Richard Brouwer kehitti vuosina 1935–1938 Weyl-Brauer-matriisien teorian , joka kuvasi kuinka Lorentzian Lie -algebran spin-esitykset voidaan upottaa Clifford-algebroihin [50] [51] . Lorentz-ryhmä on saanut myös historiallista erityishuomiota esitysteoriassa, katso "Infinite-Dimensional Unitary Representations" alla, sen poikkeuksellisen merkityksen vuoksi fysiikassa. Matemaatikko Hermann Weyl [48] [52] [42] [53] [54] ja Harish-Chandra [55] [10] sekä fyysikot Eugene Wigner [52] [38] ja Valentin Bargman [56] [57] [ 58] antoi merkittävän panoksen sekä yleiseen esitysteoriaan että erityisesti Lorentzin ryhmien teoriaan [1] . Fyysikko Paul Dirac oli ehkä ensimmäinen, joka yhdisti kaiken käytännön sovelluksessa Diracin yhtälön kanssa vuonna 1928 [59] [60] [nb 16] .

Johdatus äärellisulotteisten esitysten teoriaan

Katso yleiskatsauksen Lie-algebraan sovelletusta strategiasta kohdasta "Yleiskatsaus Lie-algebran esitysten luokitukseen" .
Ei-kompakteille ryhmille ominaisia tekniikoita löytyy Unitary Trick and Lie Algebra Representations ja Weyl Unitary Trick .
Siirtymä Lie-algebran esityksistä Lie-ryhmien esityksiin on esitetty osioissa "Projektioesitys" ja "Matriisi Lie -ryhmäesitykset Lie-algebran esityksistä" .

Lie algebra

Strategian mukaan löydettiin pelkistymättömiä kompleksisia lineaarisia esityksiä kompleksisoinnista , Lorentz-ryhmän Lie-algebrasta . Sopivan perustan antavat kolme rotaatiogeneraattoria J i ja kolme tehostusgeneraattoria K i . Ne on nimenomaisesti annettu osiossa "Lie-algebran yleissopimukset ja perusteet" . ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$

Lie-algebra kompleksoidaan ja kanta korvataan komponenteilla [61]

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2)),\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i \mathbf {K} }{2}}.

Komponentit ja yksitellen täyttävät Lie-algebran kommutointisuhteet ja lisäksi kommutoivat keskenään [62] , $\mathbf {A} =(A_{1},A_{2},A_{3})$ $\mathbf {B} =(B_{1},B_{2},B_{3})$ ${\mathfrak {su}}(2)$

\left[A_{i},A_{j}\right]=i\varepsilon _{ijk}A_{k},\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=i \varepsilon _{ijk}B_{k},\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0,

missä i , j , k ovat indeksejä, joiden arvot ovat 1, 2, 3 ja ne ovat 3D Levi-Civita -symboli . Olkoon ja merkitsevät A:n ja B : n kompleksiset lineaariset jänteet . $\varepsilon_{ijk}$ $\mathbf {A} _{\mathbb {C} }$ $\mathbf {B} _{\mathbb {C} }$

Meillä on isomorfismit [63] [nb 17]

{\begin{aligned}{\mathfrak {niin}}(3;1)\hookrightarrow {\mathfrak {niin}}(3;1)_{\mathbb {C} }\cong \mathbf {A} _{\mathbb {C} }\oplus \mathbf {B} _{\mathbb {C} }&\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbb {C} }\oplus {\mathfrak { su}}(2)_{\mathbb {C} }\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2, \mathbb {C} )\\[5pt]&\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus i{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )= {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} }\hookleftarrow {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),\end{aligned}}

(A1)

missä on algebran kompleksointi ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {su}}(2)\cong \mathbf {A} \cong \mathbf {B} .$

Näiden isomorfismien hyödyllisyys johtuu siitä tosiasiasta, että kaikki algebran pelkistymättömät esitykset ja siten (katso strategia ) kaikki pelkistymättömät kompleksiset lineaariesitykset tunnetaan. Strategian loppupäätelmän mukaan algebran pelkistymätön kompleksinen lineaarinen esitys on isomorfinen yhden painoltaan suurimman esityksen kanssa . Ne on annettu nimenomaisesti osiossa "Monimutkaiset lineaariset esitykset " ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Unitaarinen tekniikka

Lie -algebra on ryhmän Lie-algebra. Se sisältää kompaktin aliryhmän SU(2) × SU(2) , jossa on Lie-algebra . Jälkimmäinen on todellinen kompakti todellinen algebran muoto . Sitten unitaaritekniikan ensimmäisestä väitteestä lähtien ryhmän SU(2) × SU(2) esitykset vastaavat yksitellen ryhmän holomorfisia esityksiä. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$ ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

Kompaktuudesta johtuen Peter-Weylin lause pätee SU(2) × SU(2) [64] ja siten voidaan käyttää myös kääntämättömien merkkien ortogonaalisuutta. Ryhmän SU(2) × SU(2) pelkistymättömät unitaariesitykset ovat täsmälleen ryhmän SU(2) pelkistymättömien unitaaristen esitysten tensorituloja [65] .

Yksinkertaiseen yhteyteen vedoten voimme käyttää unitaaritekniikan toista väitettä . Seuraavan luettelon objektit ovat yksi-yhteen-suhteessa:

Holomorfiset ryhmäesitykset ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
Tasaiset SU(2) × SU(2) -esitykset
Algebran todelliset lineaariset esitykset ${\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$
Algebran monimutkaiset lineaariset esitykset ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Esitysten tensoritulo esiintyy Lie-algebroissa yhdessä muodoista [nb 18]

{\begin{aligned}\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)&=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\ mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(X)&&X\in {\mathfrak {g))\\\pi _{1}\otimes \pi _{2}(X,Y) &=\pi _{1}(X)\otimes \mathrm {Id} _{V}+\mathrm {Id} _{U}\otimes \pi _{2}(Y)&&(X,Y)\ kohteessa {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}\end{aligned}}

(A0)

jossa Id on identiteettioperaattori. Tässä oletetaan viimeinen tulkinta, joka seuraa yhtälöstä (G6) . Algebran suurin painoesitys on indeksoitu μ:n arvoilla, kun μ = 0 , 1/2, 1, ... . (Suurimmat painot ovat itse asiassa yhtä suuret , mutta tässä oleva merkintä on mukautettu algebran merkintään ). Kahden tällaisen kompleksisen lineaarisen tekijän tensoritulot muodostavat sitten algebran pelkistymättömiä kompleksisia lineaarisia esityksiä ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $2\mu =0,1,2,...$ ${\mathfrak {niin}}(3;1).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ).$

Lopuksi kaavan (A1) reaalimuotojen vasemmanpuoleisin , (algebras) ja oikeanpuoleisin, [nb 19] -lineaariset esitykset saadaan edellisessä kappaleessa kuvatuista algebran -lineaarisista esityksistä . $\mathbb {R}$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathbb {C}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Näkymät

Tässä käsitellyt algebroiden todelliset lineaariset esitykset olettavat , että algebran kompleksiset lineaariesitykset tunnetaan. Selkeät toteutukset ja ryhmäesitykset on annettu alla. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

sl(2, C)-algebran ( μ , ν )-esitykset

Algebran kompleksisoitumisen kompleksiset lineaariset esitykset, jotka on saatu yhtälön (A1) isomorfismien avulla , ovat yksi yhteen vastaavuus algebran todellisten lineaaristen esitysten kanssa [66] . Tämän jälkeen pari indeksoi joukon kaikki ainakin todelliset lineaariset , redusoitumattomat algebran esitykset . Kompleksisten lineaaristen esitysten indeksit, jotka täsmälleen vastaavat todellisten lineaaristen esitysten kompleksisointia, ovat muotoa ( μ , 0) , kun taas konjugoitujen lineaaristen esitysten indeksit ovat muotoa (0, ν ) [66] . Kaikki muut esitykset ovat vain todellisia lineaarisia. Lineaarisuusominaisuudet seuraavat algebran kaavan (A1) kanonisesta oikeanpuoleisesta upottamisesta sen kompleksisoitumiseen. Esitykset muodossa ( ν , ν ) tai ne on annettu reaalimatriiseilla (jälkimmäinen ei ole redusoitumaton). Algebran eksplisiittiset todelliset lineaariset -esitykset ovat ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )_{\mathbb {C} },$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $(\mu ,\nu )$ ${\mathfrak {su}}(2)$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $(\mu ,\nu )\oplus (\nu ,\mu )$ $(\mu ,\nu )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\varphi _{\mu ,\nu }(X)=\left(\varphi _{\mu }\otimes {\overline {\varphi _{\nu ))}\right)(X)=\ varphi _{\mu }(X)\otimes \operaattorinimi {Id} _{\nu +1}+\operaattorinimi {Id} _{\mu +1}\otimes {\overline {\varphi _{\nu }( X))),\qquad X\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )

missä ovat algebran kompleksiset lineaariset redusoitumattomat esitykset ja ovat niiden kompleksiset konjugaattiesitykset. (Matematiikan kirjallisuudessa käytetään yleensä indeksejä 0, 1, 2, … , mutta tässä murtoluvut valitaan siten, että ne ovat yhdenmukaisia Lie-algebran indeksien kanssa.) Tässä pistetulo tulkitaan alkuperäisessä merkityksessään (A0 ) ) . Nämä esitykset on erityisesti toteutettu alla. $\varphi _{\mu },\mu =0,{\tfrac {1}{2)),1,{\tfrac {3}{2)),\ldots$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\overline {\varphi _{\nu ))},\nu =0,{\tfrac {1}{2)),1,{\tfrac {3}{2)),\ldots$ ${\mathfrak {niin}}(3,1)$

( m , n )-esitykset so(3; 1) algebran

Yhtälön (A1) ilmoitetun isomorfismin ja algebran monimutkaisten lineaaristen pelkistymättömien esitysten tuntemisen avulla , jotka on erotettu suhteessa J ja K , saadaan kaikki algebran pelkistymättömät esitykset ja rajoituksella algebran esitykset . Algebran esitykset Ei voida jäsentää lauseketta (SVG vara-PNG:llä (MathML voidaan ottaa käyttöön selainlaajennuksella): Virheellinen vastaus ("Math-laajennus ei voi muodostaa yhteyttä Restbaseen.") palvelimelta "/mathoid/local/v1/":: {\ Tällä tavalla saadut näyttötyyli \mathfrak{so}(3; 1)} ovat todellisia lineaarisia (eikä kompleksisia tai antilineaarisia), koska algebrat eivät ole suljettuja konjugaation aikana, mutta ne pysyvät redusoitumattomina [63] . Koska algebra on puoliksi yksinkertainen [63] , kaikki sen esitykset voidaan muodostaa pelkistymättömien esitysten suorina summina . ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {so}}(3;1)_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$

Sitten Lorentzin algebran pelkistymättömät äärellisulotteiset esitykset luokitellaan järjestetyillä kokonaislukujen m = μ ja n = ν puoliskoilla , jotka on perinteisesti kirjoitettu

(m,n)\equiv \pi _{(m,n)}:{\mathfrak {niin}}(3;1)\to {\mathfrak {gl}}(V),

jossa V on äärellinen vektoriavaruus. Ne, samankaltaisuuteen asti , annetaan yksiselitteisesti lausekkeilla [nb 20]

{\begin{align}\pi _{(m,n)}(J_{i})&=1_{(2m+1)}\otimes J_{i}^{(n)}+J_{ i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\\\pi _{(m,n)}(K_{i})&=i\left(1_{(2m+1)} \otimes J_{i}^{(n)}-J_{i}^{(m)}\otimes 1_{(2n+1)}\oikea),\end{tasattu}}

(A2)

jossa 1 n on n - ulotteinen identiteettimatriisi ja

\mathbf {J} ^{(n)}=\left(J_{1}^{(n)},J_{2}^{(n)},J_{3}^{(n)} \oikea)

ovat ( 2n + 1) -ulotteisia pelkistymättömiä algebran esityksiä , joita kutsutaan myös spinmatriiseiksi tai kulmamomenttimatriiseiksi . Ne annetaan eksplisiittisesti kaavoilla [67] ${\mathfrak {niin}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)$

{\begin{aligned}\left(J_{1}^{(j)}\right)_{a'a}&={\frac {1}{2))\left({\sqrt { (ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}+{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a -1}\oikea)\\\vasen(J_{2}^{(j)}\oikea)_{a'a}&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt {( ja)(j+a+1)}}\delta _{a',a+1}-{\sqrt {(j+a)(j-a+1)}}\delta _{a',a- 1}\oikea)\\\vasen(J_{3}^{(j)}\oikea)_{a'a}&=a\delta _{a',a}\end{aligned}}

jossa δ tarkoittaa Kronecker-symbolia . Komponenteissa, joissa on , esitykset annetaan yhtälöillä [68] $-m\leqslant a,a'\leqslant m$ $-n\leqslant b,b'\leqslant n$

{\begin{aligned}\left(\pi _{(m,n)}\left(J_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=\delta _{ b'b}\vasen(J_{i}^{(m)}\oikea)_{a'a}+\delta _{a'a}\vasen(J_{i}^{(n)}\oikea )_{b'b}\\\left(\pi _{(m,n)}\left(K_{i}\right)\right)_{a'b',ab}&=i\left( \delta _{a'a}\vasen(J_{i}^{(n)}\oikea)_{b'b}-\delta _{b'b}\vasen(J_{i}^{(m) )}\oikea)_{a'a}\right)\end{aligned}}

Yleiset esitykset Pelkistymättömät esitykset pienille ( m , n ) . Mitat on annettu suluissa.

	$m = 0$	${\tfrac {1}{2))$	yksi	${\tfrac {3}{2))$
$n = 0$	Skalaari (1)	Vasen Weil-spinori (2)	Itsenäinen 2-muotoinen (3)	(neljä)
${\tfrac {1}{2))$	Weilin oikea spinori (2)	4-vektori (4)	(6)	(kahdeksan)
yksi	Anti -self-dual 2-muotoinen (3)	(6)	Jäljetön symmetrinen tensori (9)	(12)
${\tfrac {3}{2))$	(neljä)	(kahdeksan)	(12)	(16)

Esitys (0, 0) on yksiulotteinen triviaaliesitys ja se sisältyy relativistisiin skalaarikenttäteorioihin .
Fermioniset supersymmetriageneraattorit muunnetaan yhden tai -esityksen alle [69] . $(0,{\tfrac {1}{2)))$ $({\tfrac {1}{2)),0)$
Hiukkasen (jolla ei ole massaa tai jolla on massaa ) neljän liikemäärä muunnetaan kohdassa (yksi2, yksi2) edustus.
Fysikaalinen esimerkki jäljittömästä symmetrisestä tensorikentästä on energia-momenttitensorin T μν [70] [nb 22] jäljitön [nb 21] osa .

Diagonaalista poikkeavat suorat summat

Koska mille tahansa redusoitumattomalle esitykselle, jolle m ≠ n on toimittava kompleksilukujen kentällä , on esitysten ( m , n ) ja ( n , m ) suora summa fysiikan kannalta erityisen tärkeä, koska se sallii lineaaristen kuvausten käyttö reaalilukujen yli .

$({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ on esitys bispinorista . Katso myös Dirac -spinorit ja Weyl-spinorit ja bispinorit alta.
$(1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)$ on esitys Rarity-Schwinger- kentästä .
$({\tfrac {3}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {3}{2)))$ voisi olla hypoteettisen gravitinon symmetria [nb 23] . Tämä voidaan saada näkymästä [71] . $(1,{\tfrac {1}{2}})\oplus ({\tfrac {1}{2}},1)$
$(1,0)\oplus (0,1)$ on esitys 2-muotoisen kentän pariteettiinvariantista (tunnetaan nimellä kaarevuusmuoto ). Sähkömagneettisen kentän tensori muunnetaan tällä esityksellä.

Ryhmä

Tämän osan lähestymistapa perustuu lauseisiin, jotka puolestaan perustuvat Lie:n perusvastaavuuteen [43] . Lie-vastaavuus on itse asiassa sanakirja yhdistettyjen Lie-ryhmien ja Lie-algebroiden välillä [72] . Niiden välinen yhteys on eksponentiaalinen kartoitus Lie-algebrasta Lie-ryhmään, jota merkitään . Yleinen teoria on tiivistetty kohdassa Introduction to the Theory of Finite-Dimensional Representations . $\exp :{\mathfrak {g}}\to G$

Jos algebra jollekin vektoriavaruudelle V on esitys, niin ryhmän G yhdistetyn komponentin esitys Π määritellään yhtälöillä $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{iX})&\equiv e^{i\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g)),\quad g=e ^{iX}\in \mathrm {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\ Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \mathrm {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n} \in \mathrm {im} (\exp ).\end{aligned}}

(G2)

Tämä määritelmä pätee riippumatta siitä, onko tuloksena oleva esitys projektiiivinen vai ei.

SO(3, 1) eksponentiaalisen kartan surjektiivisuus

Käytännön kannalta on tärkeää tietää, voidaanko (G2) :n ensimmäistä kaavaa käyttää kaikille ryhmän elementeille . Tämä pätee kaikkiin , mutta yleisessä tapauksessa esimerkiksi :lle kaikki g ∈ G eivät ole exp :n kuvassa . $X\in {\mathfrak {g))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Se on kuitenkin surjektiivista. Yksi tapa osoittaa tämä on käyttää isomorfismia , jossa oikea puoli on Möbius-ryhmä . Tämä on ryhmän tekijäryhmä (katso linkki artikkeliin). Tekijäkartoitus on merkitty . Kartta on kartoitus kohteeseen [73] . Käytämme kaavaa (Lie) π : llä , joka on p :n differentiaali identiteetissä. Sitten $\exp :{\mathfrak {so}}(3;1)\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\text{SO}}(3;1)^{+}\cong {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{GL))(n,\mathbb {C} )$ $p:{\text{GL}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ $\exp :{\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}(n,\mathbb {C} )$

\forall X\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ):\quad p(\exp(iX))=\exp(i\pi (X)).

Koska vasen puoli on surjektiivinen (koska exp ja p ovat), oikea puoli on surjektiivinen ja siksi surjektiivinen [74] . Lopuksi käytämme argumenttia uudelleen, mutta nyt tunnetulla isomorfismilla SO(3; 1) + ja , osoittamaan, että exp on kartta "on" Lorentz-ryhmän yhdistettyyn komponenttiin. $\exp :{\mathfrak {pgl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )$

Perusryhmä

Lorentz-ryhmä on kaksinkertaisesti kytketty , eli se on ryhmä, jonka elementteinä on kaksi silmukkaekvivalenssiluokkaa. $\pi _{1}(\mathrm {SO} (3;1))$

todiste

Ryhmän perusryhmän näyttämiseksi tarkastelemme sen peittävän ryhmän topologiaa . Polaarihajotuslauseen mukaan mikä tahansa matriisi voidaan ilmaista yksiselitteisesti muodossa [75] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\lambda \in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

\lambda =ue^{h},

jossa u on unitaarinen matriisi , jonka determinantti on yhtä kuin yksi, joten matriisi on SU(2) : ssa ja h on hermiittinen nollajäljellä . Jäljityksen ja determinantin ehdot tarkoittavat [76] :

{\begin{aligned}h&={\begin{pmatrix}c&a-ib\\a+ib&-c\end{pmatrix}}&&(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{ 3}\\[4pt]u&={\begin{pmatrix}d+ie&f+ig\\-f+ig&d-ie\end{pmatrix}}&&(d,e,f,g)\in \mathbb {R } ^{4},d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}=1\end{aligned}}

On selvää, että jatkuva yksi-yhteen-kartoitus on homeomorfismi , jossa on jatkuva käänteinen kuvaus lausekkeiden avulla (paikka u tunnistetaan h:lla ) ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\subset \mathbb {R} ^{4))$

{\begin{cases}\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {S} ^{3}\to {\text{SL))(2,\mathbb {C} )\\( r,s)\mapsto u(s)e^{h(r)}\end{cases}}

mikä osoittaa selvästi, että se on yksinkertaisesti yhdistetty. Mutta missä on ryhmän keskus . λ :n ja − λ :n tunnistaminen on sama kuin unitaaristen tekijöiden u ja − u tunnistaminen , mikä puolestaan vastaa pallolla olevien antipodaalisten pisteiden tunnistamista Topologisesti [76] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SO}}(3;1)\cong {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\},$ $\{\pm I\}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {S} ^{3}.$

{\text{SO}}(3;1)\cong \mathbb {R} ^{3}\times (\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}),

jossa viimeinen tekijä on yksinkertaisesti yhdistetty. Geometrisesti on ilmeistä (visualisointia varten voidaan korvata : lla ), että polku u :sta − u :iin on silmukka sisällä , koska u ja −u ovat antipodaalisia pisteitä, eikä se supistu pisteeseen. Mutta polku u :sta − u :hun ja takaisin u :hun , silmukka kohteeseen ja kaksoissilmukka (olettaen missä on peittävä kartta) kohtaan , joka on supistettavissa pisteeseen (liikkuen jatkuvasti −u:sta " tikkaita ylös" kohtaan ja supistuu polku sinuun ) [76] . Tällöin π 1 (SO(3; 1)) on ryhmä, jonka elementteinä on kaksi silmukan ekvivalenttiluokkaa, tai yksinkertaisemmin sanottuna SO(3; 1) on kaksinkertaisesti kytketty . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2))$ ${\displaystyle SU(2)\cong \mathbb {S} ^{3))$ $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $p(ue^{h})=p(-ue^{h})$ $p:{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)$ $\mathbb {S} ^{3}/\mathbb {Z} _{2}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$

Projektiiviset esitykset

Koska siinä on kaksi elementtiä, jotkin Lie-algebran esitykset johtavat projektiivisiin esityksiin [77] [nb 24] . Jos esityksen tiedetään olevan projektiivinen, kaavaa (G2) voidaan soveltaa kaikkiin ryhmän elementteihin ja kaikkiin esityksiin, mukaan lukien projektiiviset, pitäen mielessä, että ryhmäelementin esitys riippuu siitä, mikä Lie-algebran elementti ( X in (G2) ) käytetään ryhmäelementin esittämiseen vakioesituksessa. ${\displaystyle \pi _{1}(\mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Lorentzin ryhmälle ( m , n ) -esitys on projektiivinen, kun m + n on puolikas kokonaisluku. Katso Spinors -osio .

Ryhmän projektiivinen esitys Π tyydyttää [76] ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\left[\Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2})\Pi ^{-1}(\Lambda _{1}\Lambda _{2})\right] ^{2}=1\Rightarrow \Pi (\Lambda _{1}\Lambda _{2})=\pm \Pi (\Lambda _{1})\Pi (\Lambda _{2}),\qquad \Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {SO} (3;1),

(G5)

koska mikä tahansa silmukka SO(3; 1) + :ssä , joka kiertää kahdesti, on kaksoisyhteyden vuoksi supistuva pisteeseen, joten sen homotoopialuokka on vakiokartan luokka. Tästä seuraa, että funktiolla Π on kaksi arvoa. On mahdotonta valita yksiselitteisesti merkkiä jatkuvan esityksen saamiseksi koko , mutta mahdollisesti paikallisesti kunkin pisteen ympäriltä [38] . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

SL(2, C) peittävä ryhmä

Tarkastellaan todellista Lie - algebraa, jossa on perusta ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{2},{\ frac {1}{\sqrt {2}}}\sigma _{3},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{1},{\frac {i}{\sqrt { 2}}}\sigma _{2},{\frac {i}{\sqrt {2}}}\sigma _{3}\right)\equiv (j_{1},j_{2},j_{3 },k_{1},k_{2},k_{3}),

missä -s tarkoittaa Paulin matriiseja . Poissa suhteesta $\sigma$

{\displaystyle [\sigma _{i},\sigma _{j}]=2i\epsilon _{ijk}\sigma _{k))

(J1)

saamme

[j_{i},j_{j}]=i\epsilon _{ijk}j_{k},\quad [j_{i},k_{j}]=i\epsilon _{ijk}k_{ k},\quad [k_{i},k_{j}]=-i\epsilon _{ijk}j_{k},

(J2)

joka on täsmälleen kolmiulotteinen versio algebran kommutaatiosuhteista (katso "Konventiot ja valhealgebran perusteet" alla). Siten kartoitus , lineaarisuuden avulla laajennettuna on isomorfismi. Koska ryhmä on yksinkertaisesti yhdistetty, se on ryhmän yleinen peittävä ryhmä [ . ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ ${\displaystyle J_{i}\leftrightarrow j_{i))$ $K_{i}\leftrightarrow k_{i}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Lisää kattavia ryhmiä ja erityisesti Lorentz-ryhmää

{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )

Geometrinen näkökulma

Antaa olla polku osoitteesta , merkitä sen homotopialuokka ja antaa olla tällaisten homotopyluokkien joukko. Määritellään joukko $p_{g}(t),0\leqslant t\leqslant 1$ ${\displaystyle 1\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ $[p_{g}]$ ${\displaystyle \pi _{g))$

G=\{(g,[p_{g}]):g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+},[p_{g}]\in \pi _{g} \}

(C1)

ja varustaa se kertolaskuoperaatiolla

(g_{1},[p_{1}])(g_{2},[p_{2}])=(g_{1}g_{2},[p_{12}]),

(C2)

missä on polkujen ja : $p_{12}$ $p_{1}$ $p_{2}$

p_{12}(t)=(p_{1}*p_{2})(t)={\begin{cases}p_{1}(2t)&0\leqslant t\leqslant {\tfrac {1 }{2}}\\p_{2}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Tällä kertolaskulla ryhmästä G tulee isomorfinen ryhmä [78] , ryhmän SO(3; 1) + universaali peittävä ryhmä . Koska jokaisessa π g :ssä on kaksi elementtiä, yllä olevan rakenteen mukaan on 2:1 kansi . Peittoryhmien teorian mukaan Lie-algebrat ja ryhmä G ovat isomorfisia. Peittokuvaus p : G → SO(3; 1) + saadaan yksinkertaisesti kaavalla . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle p:G\to \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\mathfrak {niin}}(3;1),{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathfrak{g}$ $p(g,[p_{g}])=g$

Algebrallinen näkökulma

Anna sen vaikuttaa kaikkien Hermitian 2 × 2 matriisien joukkoon operaatiolla [76] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {h))$

{\begin{cases}\mathbf {P} (A):{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}\\X\mapsto A^{\dagger }XA\end{cases }}\qquad A\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )

(C3)

Toiminta lineaarisesti. Joukon elementti voidaan kirjoittaa muodossa

{\mathfrak {h))

{\mathfrak {h))

X={\begin{pmatrix}\xi _{4}+\xi _{3}&\xi _{1}+i\xi _{2}\\\xi _{1}-i\ xi _{2}&\xi _{4}-\xi _{3}\\\end{pmatrix}}\qquad \xi _{1},\ldots ,\xi _{4}\in \mathbb { R} .

(C4)

Kuvaus P on ryhmän automorfismi . Sitten on 4-ulotteinen esitys ryhmästä . Sen ytimen on erityisesti otettava identiteettimatriisi itseensä, ja siksi . Sitten A : lle ytimestä, eli Schurin lemmalla [nb 25] , A on identiteettimatriisi kerrottuna vakiolla, ja A:n on oltava yhtä suuri kuin ± I , koska [79] . Tila on kartoitettu Minkowskin avaruuteen M 4 ${\text{GL}}({\mathfrak {h}})\subset {\text{End}}({\mathfrak {h}})$ $\mathbf {P} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{GL}}({\mathfrak {h}})$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ $A^{\dagger }IA=A^{\dagger }A=I$ ${\displaystyle A^{\dagger }=A^{-1))$ $AX=XA$ $\mathrm {det} A=1$ ${\mathfrak {h))$

X=(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})\leftrightarrow {\overrightarrow {(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},\xi _{4})}}=(x,y,z,t)={\overrightarrow {X}}.

(C5)

P ( A ) -funktio säilyttää determinantit. P - ryhmän indusoitu esitys yllä olevan isomorfismin avulla, joka on annettu kaavalla ${\mathfrak {h))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathbb {R} ^{4},$

\mathbf {p} (A){\overrightarrow {X}}={\overrightarrow {AXA^{\dagger }}}

(C6)

säilyttää Lorentz dot -tuotteen, koska

-\det X=\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}-\xi _{4}^{2 }=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}.

Tämä tarkoittaa, että p ( A ) kuuluu koko Lorentzin ryhmään SO(3; 1) . Kytkentälauseen mukaan , koska se on kytketty, sen kuva SO(3; 1) :n kuvauksen p alla on kytketty , ja siksi se sisältyy SO(3; 1) + :een . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Voidaan osoittaa, että Lie-kartta on isomorfismi [nb 26] . P :n kartoitus on kuvaus [ nb 27] . $\mathbf {p} :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+},$ $\pi :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\mathfrak {niin}}(3;1)$

Sitten , koska se on yksinkertaisesti yhdistetty, on ryhmän SO(3; 1) + universaali peittävä ryhmä isomorfinen yllä olevaan ryhmään G. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

SL(2, C):n eksponentiaalikartan ei-surjektiivisuus

Eksponentiaalinen kartoitus ei ole kuvaus [ 80] . Matriisi $\exp :{\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

q={\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\\\end{pmatrix}}

(S6)

on , mutta sellaista ei ole , että [nb 28] . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $Q\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $q=\mathrm {exp} (Q)$

Yleensä, jos g on yhdistetyn Lie-ryhmän G elementti Lie-algebralla , niin kaavan (Lie) mukaan ${\mathfrak {g)),$

g=\exp(X_{1})\cdots \exp(X_{n}),\qquad X_{1},\ldots X_{n}\in {\mathfrak {g)).

(S7)

Matriisi q voidaan kirjoittaa muodossa

{\begin{aligned}\exp(-X)\exp(i\pi H)&=\exp \left({\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\\\end{pmatrix)) \right)\exp \left(i\pi {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\right)\\[4pt]&={\begin{pmatrix}1&-1 \\0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\\[4pt]&={\begin{pmatrix}-1&1\\0& -1\\\end{pmatrix}}=q.\end{aligned}}

(S8)

Ryhmien SL(2, C) ja sl(2, C) ja niiden Lie-algebroiden esitysten toteutus

Monimutkaiset lineaariset esitykset ja ne ovat helpompia saada kuin algebraesitykset . Voit (yleensä) luoda ne tyhjästä. Ryhmien holomorfiset esitykset (joka tarkoittaa, että vastaava Lie-algebran esitys on monimutkainen lineaarinen esitys) liittyvät Lie-algebran kompleksiseen lineaariseen esitykseen eksponentioimalla. Algebran todelliset lineaariset esitykset ovat täsmälleen ( μ , ν ) -esityksiä. Ne voidaan myös nostaa valtaan. ( μ , 0) -esitykset ovat kompleksisia lineaarisia ja ne ovat (isomorfisia) esityksiä, joilla on suurin paino. Ne indeksoidaan yleensä vain yhdellä kokonaisluvulla (mutta tässä käytetään puolta kokonaisluvusta). ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

Mukavuuden vuoksi tässä osiossa käytetään matemaattisia sopimuksia. Lie-algebran elementit eroavat kertoimella i , eikä niillä ole tekijää i eksponentiaalisessa kartoituksessa verrattuna kaikkialla päteviin fysikaalisiin sopimuksiin. Olkoon perusta [81] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix)),\quad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix)),\ quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\\\end{pmatrix}}.

(S1)

Perustavan valinta ja merkintätapa ovat matemaattisessa kirjallisuudessa vakiona.

Monimutkaiset lineaariset esitykset

Pelkistymättömiä holomorfisia ( n + 1) -ulotteisia esityksiä voidaan toteuttaa n-asteisten homogeenisten polynomien avaruudessa kahdessa muuttujassa [ 82 ] [83] , joiden alkiot ovat ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),n\geqslant 2,$ $\mathbf {P} _{n}^{2},$

P{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=c_{n}z_{1}^{n}+c_{n-1}z_{ 1}^{n-1}z_{2}+\cdots +c_{0}z_{2}^{n},\quad c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {Z} .

Toiminnon antaa [84] [85] ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

(\phi _{n}(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _{n}{ \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\oikea]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=P\left( {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}\right) ,\qquad P\in \mathbf {P} _{n}^{2}.

(S2)

Liitetty -toiminto on kaavaa (G6) ja yllä olevaa määritelmää käyttäen algebran peruselementeille [86] ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$

\phi _{n}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_ {2))},\quad \phi _{n}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1))},\quad \phi _{n}(Y )=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2))}.

(S5)

Näiden esitysten perustan valinnan myötä tulee matriisi Lie -algebriksi. ${\displaystyle P\in \mathbf {P} _{n}^{2))$

Todelliset lineaariset esitykset

( μ , ν ) - Esitykset realisoituvat polynomien avaruuteen luvuissa , homogeeninen aste μ muuttujissa ja homogeeninen aste ν muodossa [83] . Esitykset annetaan kaavalla [87] $\mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}$ $z_{1},{\overline {z_{1}}},z_{2},{\overline {z_{2}}}$ $z_{1},z_{2}$ ${\overline {z_{1}}},{\overline {z_{2}}}.$

(\phi _{\mu ,\nu }(g)P){\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{pmatrix}}=\left[\phi _ {\mu ,\nu }{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}P\oikea]{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\end{ pmatrix}}=P\left({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}z_{1}\\z_{2}\\\ end{pmatrix}}\right),\qquad P\in \mathbf {P} _{\mu ,\nu }^{2}.

(S6)

Kun tarkastellaan kaavaa (G6) uudelleen, huomaamme sen

\phi _{\mu ,\nu }(E)P=-{\frac {\partial P}{\partial z_{1))}\left(E_{11}z_{1}+E_{ 12}z_{2}\oikea)-{\frac {\partial P}{\partial z_{2))}\left(E_{21}z_{1}+E_{22}z_{2}\right) -{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{1))))}\left({\overline {E_{11))}{\overline {z_{1))}+{\ overline {E_{12))}{\overline {z_{2))}\right)-{\frac {\partial P}{\partial {\overline {z_{2))))}\left({\ overline {E_{21}}}{\overline {z_{1}}}+{\overline {E_{22}}}{\overline {z_{2}}}\right),\qquad E\in {\ mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} ).

(S7)

Erityisesti peruselementtien osalta:

{\begin{aligned}\phi _{\mu ,\nu }(H)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}+z_{2} {\frac {\partial }{\partial z_{2))}-{\overline {z_{1))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1))))}+ {\overline {z_{2))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2))))}\\\phi _{\mu ,\nu }(X)&=- z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1))}-{\overline {z_{2))}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{1)) ))}\\\phi _{\mu ,\nu }(Y)&=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2))}-{\overline {z_{1} }}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{2}}}}\end{aligned}}

(S8)

Näytä ominaisuudet ( m , n )

Pelkistymättömien kompleksisten lineaariesitysten tensoritulon ja algebran kaavalla (A1) määritellyt esitykset ( m , n ) ovat pelkistymättömiä, ja ne ovat ainoat redusoitumattomat esitykset [64] . ${\mathfrak {sl}}(3,1)$ ${\displaystyle \pi _{m=\mu ))$ ${\displaystyle \pi _{n=\nu ))$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$

Pelkistymättömyys seuraa unitaarisesta tempusta [88] ja siitä, että ryhmän SU(2) × SU(2) esitykset Π ovat redusoitumattomia silloin ja vain jos [nb 29] , missä ovat ryhmän SU(2) pelkistymättömät esitykset . ${\displaystyle \Pi =\Pi _{\mu }\otimes \Pi _{\nu ))$ ${\displaystyle \Pi _{\mu },\Pi _{\nu ))$
Ainutlaatuisuus johtuu siitä tosiasiasta, että ne ovat ainoat redusoitumattomat esitykset ryhmästä SU(2) , joka on yksi maksimipainolauseiden joukosta [89] . ${\displaystyle \Pi _{m))$

Mitta

Esitykset ( m , n ) ovat (2 m + 1) (2 n + 1) -ulotteisia [90] . Tämä seuraa yksinkertaisimmin dimensiomäärästä missä tahansa tietyssä toteutuksessa, kuten "Ryhmä- ja algebran esitykset" -osiossa annetusta . Yleiselle Lie-algebralle voidaan soveltaa Weilin kaavaa ulottuvuudelle [91] , ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\mathfrak{g}$

\dim \pi _{\rho }={\frac {\Pi _{\alpha \in R^{+))\langle \alpha ,\rho +\delta \rangle }{\Pi _{\ alfa \in R^{+}}\langle \alpha ,\delta \rangle }},

missä R + on positiivisten juurien joukko, ρ on suurin paino ja δ on puolet positiivisten juurien summasta. Sisätulo on Lie-algebran invariantin sisätulo Weyl-ryhmän vaikutuksesta Cartanin alegbre-alibalgebraan . Juuret (todelliset elementit tämän skalaaritulon kautta identifioidaan algebran elementeillä Sillä kaava pelkistetään arvoon , jossa olemassa oleva merkintä on otettava huomioon . Suurin liivi on 2 μ [92] . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\mathfrak {g)),$ ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}},$ ${\mathfrak {h}}^{*}$ ${\mathfrak {h}).$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $\mathrm {dim} \pi _{\mu }=2\mu +1=2m+1$

Tarkkuus

Jos Lie-ryhmän G esitys Π ei ole tarkka, niin N = ker Π on ei-triviaali normaalialaryhmä [93] . Tapauksia on kolme.

N on ei-diskreetti ja Abelin .
N on ei-diskreetti ja ei-abelilainen.
N on diskreetti. Tässä tapauksessa N ⊂ Z , jossa Z on ryhmän G keskus . [nb 30]

SO(3; 1) + tapauksessa ensimmäinen tapaus on poissuljettu, koska ryhmä SO(3; 1) + on puoliksi yksinkertainen [nb 31] . Toinen tapaus (ja ensimmäinen) on suljettu pois, koska SO(3; 1) + on yksinkertainen [nb 32] . Kolmannessa tapauksessa SO(3; 1) + on isomorfinen tekijäryhmälle . Se on kuitenkin keskus . Tämä tarkoittaa, että ryhmän SO(3; 1) + keskipiste on triviaali, ja tämä sulkee pois kolmannen tapauksen. Tästä voimme päätellä, että mikä tahansa esitys Π : SO(3; 1) + → GL( V ) ja mikä tahansa projektiiivinen esitys Π : SO(3; 1) + → PGL( W ) äärellisulotteisten vektoriavaruuksien V , W on tarkka. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}$ $\{\pm I\}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Kun käytetään perustavanlaatuista Lie-vastaavuutta, yllä olevat väitteet ja argumentit siirtyvät suoraan Lie-algebroihin korvaamalla (Abelin) ei-triviaalit ei-diskreetit normaalialaryhmät (yksiulotteisilla) ei-triviaaleilla ihanteilla Lie-algebrassa [94] , ja ryhmän SO(3; 1) + keskipiste korvataan algebran keskipisteellä . Minkä tahansa puoliyksinkertaisen Lie-algebran keskus on triviaali [95] , ja algebra on puoliksi yksinkertainen ja yksinkertainen, eikä sillä siksi ole ei-triviaaleja ihanteita. ${\mathfrak {sl}}(3;1)^{+}$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$

Tähän liittyy tosiasia, että jos vastaava ryhmäesitys on tarkka, niin esitys on projektiiivinen. Päinvastoin, jos esitys ei ole projektiivinen, ryhmän vastaava esitys ei ole tarkka, vaan se on 2:1 -esitys . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Ei-yhtenäinen

Lie-algebran esitys ( m , n ) ei ole hermiittinen. Siten ryhmän vastaava (projektiivinen) esitys ei ole yhtenäinen [nb 33] Tämä on seurausta Lorentz-ryhmän epätiiviydestä. Itse asiassa yhdistetyllä yksinkertaisella ei-kompaktilla Lie-ryhmällä ei voi olla ei -triviaalia yhtenäistä äärellisulotteista esitystä [38] . Tästä on topologinen todiste [96] . Olkoon , jossa V on äärellisulotteinen, jatkuva unitaarinen esitys ei-kompaktista yhdistetystä yksinkertaisesta Lie-ryhmästä G . Sitten , jossa U( V ) on ryhmän GL( V ) kompakti aliryhmä, joka koostuu avaruuden V unitaarisista muunnoksista . u :n ydin on G : n normaali aliryhmä . Koska ryhmä G on yksinkertainen, ker u on joko G :n koko ryhmä , jolloin u on triviaali, tai ker u on triviaali, jolloin u on tarkka . Jälkimmäisessä tapauksessa u on diffeomorfismi kuvan suhteen [97] ja u ( G ) on Lie-ryhmä. Tämä tarkoittaisi, että u ( G ) on kompaktin ryhmän U( V ) upotettu ei-kompakti aliryhmä , mikä on mahdotonta avaruustopologian ollessa päällä , koska kaikki Lie-ryhmän sisäkkäiset Lie-aliryhmät ovat suljettuja [98] . Jos u ( G ) olisi suljettu, se olisi kompakti [nb 34] ja silloin ryhmä G [nb 35] olisi kompakti , mikä on ristiriidassa oletuksen [nb 36] kanssa . $u:G\to \mathrm {GL} (V)$ $u(G)\subset \mathrm {U} (V)\subset \mathrm {GL} (V)$ $u(G)\cong G$ $u(G)\subset \mathrm {U} (V)$

Lorentz-ryhmän tapauksessa tämä näkyy suoraan määritelmästä. Rakennuksessa käytetyt esitykset A ja B ovat hermiittejä. Tämä tarkoittaa, että matriisi J on hermiittinen ja K on antihermiittinen [99] . Epäyksikköisyys ei ole ongelma kvanttikenttäteoriassa, koska havainnointikohteilta ei vaadita Lorentzin invarianttia positiivisesti määrättyä normia [100] .

SO(3) -rajoitukset

Esitys ( m , n ) on kuitenkin unitaarinen, jos se rajoittuu SO(3) :n rotaatioalaryhmään , mutta nämä esitykset eivät ole redusoitumattomia SO(3)-ryhmän esityksinä. Clebsch-Gordan-hajotelmaa voidaan käyttää osoittamaan, että ( m , n ) -esityksessä on suurimman painon (spin) SO(3) -invariantteja aliavaruuksia [101] , joissa jokainen mahdollinen suurin paino (spin) esiintyy täsmälleen kerran. Suurimman painon (spin) j painotettu aliavaruus on (2 j + 1) -ulotteinen. Esimerkiksi, ( ${\displaystyle m+n,m+n-1,\dots ,abs{mn))$ yksi2, yksi2) esityksessä on aliavaruuksia, joiden spin 1 ja spin 0 dimensioissa 3 ja 1.

Koska kulmamomenttioperaattori on annettu , rotaatioaliesityksen kvanttimekaniikan suurin spin on yhtä suuri kuin "tavallinen" kulmamomentin summaussääntö ja 3j -symbolien , 6j-symbolien jne . formalismi. [102] . $\mathbf {J} =\mathbf {A} +\mathbf {B}$ ${\näyttötyyli (m+n)\hbar }$

Spinors

SO(3) -pelkistymättömien esitysten invarianttiavaruudet määräävät, onko esityksellä spin. Edellisestä kappaleesta voidaan nähdä, että esityksellä ( m , n ) on spin, jos m + n on puolikokonaisluku. Yksinkertaisimmat ovat ja , Weyl-spinorit, joiden ulottuvuus on 2 . Sitten esimerkiksi ja ovat mittojen ja vastaavasti esitysten summa . Huomaa, että edellisen kappaleen mukaan molemmissa kahdessa viimeisessä tapauksessa on spineillä varustettuja aliavaruuksia , joten nämä esitykset eivät näytä edustavan yksittäisiä fyysisiä hiukkasia, joiden pitäisi käyttäytyä hyvin SO(3) -pisteessä . Ei kuitenkaan voida yleisesti sulkea pois sitä, että esitykset, joissa on useita SO(3) -aliesitykset eri spineillä, voisivat edustaa fyysisiä hiukkasia, joilla on hyvin määritelty spin. Voi olla sopiva relativistinen aaltoyhtälö, joka projisoituu ei-fysikaalisiin komponentteihin jättäen vain yhden spinin [103] . $({\tfrac {1}{2)),0)$ $(0,{\tfrac {1}{2)))$ $(0,{\tfrac {3}{2)))$ $(1,{\tfrac {1}{2)))$ $2{\tfrac {3}{2}}+1=4$ $(2+1)(2{\tfrac {1}{2}}+1)=6$ ${\tfrac {3}{2))$ ${\tfrac {1}{2))$

Puhtaiden spin -esitysten rakentaminen mille tahansa n :lle ( SO(3) ) pelkistymättömistä esityksistä sisältää Dirac-esityksen tensoritulojen laskemisen ei-spinoriesityksen kanssa, sopivan tilan varaamisen ja lopuksi differentiaalirajoitusten asettamisen [104] ${\tfrac {n}{2))$

Kaksoisesitys

Seuraavia lauseita käytetään testaamaan , onko pelkistymättömän esityksen kaksoisesitys isomorfinen alkuperäisen esityksen kanssa:

Puoliyksinkertaisen Lie-algebran pelkistymättömän esityksen [en] painojen joukko [en] on, mukaan lukien kerrannaisuudet, alkuperäisen esityksen painojoukon arvot [ ] .
Kaksi redusoitumatonta esitystä ovat isomorfisia silloin ja vain, jos niillä on sama maksimipaino . [nb 37]
Jokaiselle puoliyksinkertaiselle Lie-algebralle on olemassa ainutlaatuinen Weyl-ryhmän elementti w 0 siten, että jos μ on hallitseva kokonaispaino, niin w 0 ⋅ (− μ ) on jälleen hallitseva kokonaispaino [106]
Jos on redusoitumaton esitys, jolla on suurin paino , niin sillä on suurin paino [106] . $\pi _{\mu _{0}}$ $\mu_{0}$ $\pi _{\mu _{0}}^{*}$ $w_{0}\cdot (-\mu )$

Tässä Weyl-ryhmän elementtejä käsitellään ortogonaalisina muunnoksina, jotka vaikuttavat matriisikertomalla juurien todelliseen vektoriavaruuteen . Jos − I on puoliyksinkertaisen Lie-algebran Weyl-ryhmän elementti , niin . Algebran tapauksessa Weyl-ryhmä on [107] . Tästä seuraa, että kumpikin on isomorfinen duaalilleen . Algebrallinen juuristo on esitetty oikealla olevassa kuvassa [nb 38] . Weyl-ryhmän muodostavat elementit , jossa on heijastus tasossa, joka on kohtisuorassa γ :hen nähden, kun γ kulkee kaikkien juurien läpi [nb 39] . Tutkimus osoittaa, että niin . Käyttämällä sitä tosiasiaa, että jos ovat Lie-algebran esitykset ja , niin [108] , saadaan $w_{0}=-I$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ),$ $W=\{I,-I\}$ $\pi _{\mu },\mu =0,1,\pisteet$ $\pi _{\mu }^{*}.$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\{w_{\gamma }}\}$ ${\displaystyle w_{\gamma ))$ $w_{\alpha }\cdot w_{\beta }=-I$ $-I\in W$ $\pi ,\sigma$ $\pi \cong \sigma$ $\Pi \cong \Sigma$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\pi _{m,n}^{*}\cong \pi _{m,n},\quad \Pi _{m,n}^{*}\cong \Pi _{m,n} ,\quad 2m,2n\in \mathbf {N} .

Monimutkaiset konjugaattiesitykset

Jos π on Lie-algebran esitys, niin se on esitys, jossa ylipalkki tarkoittaa elementtikohtaista kompleksista konjugaatiota esitysmatriiseissa. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että kompleksikonjugaatio kommutoidaan yhteen- ja kertolaskulla [109] . Yleisessä tapauksessa mikä tahansa algebran pelkistymätön esitys π voidaan kirjoittaa yksiselitteisesti muotoon , jossa [110] ${\overline {\pi ))$ ${\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )$ $\pi =\pi ^{+}+\pi ^{-}$

\pi ^{\pm }(X)={\frac {1}{2}}\left(\pi (X)\pm i\pi \left(i^{-1}X\right) \oikea),

holomorfisella (kompleksinen lineaarinen) ja antiholomorfisella ( konjugaattilineaarinen). Sillä , koska esitys on holomorfinen, esitys on antiholomorfinen . Alla olevan yhtälön (S8) eksplisiittisten lausekkeiden suora tarkastelu osoittaa, että ne ovat vastaavasti holomorfisia ja antiholomorfisia. Lausekkeen (S8) tarkempi tarkastelu antaa meille myös mahdollisuuden samaistua kanssa $\pi^+$ $\pi^-$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \pi _{\mu ))$ ${\displaystyle {\overline {\pi _{\mu ))))$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,0))$ ${\displaystyle \pi _{0,\nu ))$ $\pi^+$ $\pi^-$ ${\displaystyle \pi _{\mu ,\nu ))$

\pi _{\mu ,\nu }^{+}=\pi _{\mu }^{\oplus _{\nu +1)),\qquad \pi _{\mu ,\nu } ^{-}={\overline {\pi _{\nu }^{\oplus _{\mu +1)))).

Käyttämällä yllä olevia identiteettejä (jota pidetään funktioiden pisteittäisenä lisäyksenä) saadaan SO (3; 1) +

{\begin{aligned}{\overline {\pi _{m,n))}&={\overline {\pi _{m,n}^{+}+\pi _{m,n} ^{-}}}={\overline {\pi _{m}^{\oplus _{2n+1))))+{\overline {{\overline {\pi _{n}}}^{\ oplus _{2m+1))))=\pi _{n}^{\oplus _{2m+1))+{\overline {\pi _{m))}^{\oplus _{2n+1 }}=\pi _{n,m}^{+}+\pi _{n,m}^{-}=\pi _{n,m}\\&&&&2m,2n\in \mathbb {N} \ \{\overline {\Pi _{m,n}}}&=\Pi _{n,m}\end{aligned}}

jossa ryhmäesitysten lauseke seuraa lausekkeesta exp( X ) = exp( X ) . Tämä tarkoittaa, että redusoitumattomilla esityksillä ( m , n ) on edustajat reaalimatriisien muodossa jos ja vain jos . Muodon pelkistävissä esityksissä on myös reaalimatriiseja. $m = n$ ${\näyttötyyli (m,n)\oplus (n,m)}$

Adjoint-esitys, Clifford-algebra ja Dirac-spinoriesitys

Yleisessä esitysteoriassa, jos ( π , V ) on Lie-algebran esitys , niin lopussa ( V ) on algebran esitys , jota myös merkitään π :llä , joka saadaan $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

\pi (X)(A)=[\pi (X),A],\qquad A\in \operaattorinimi {Loppu} (V),\ X\in {\mathfrak {g)).

(I1)

Vastaavasti ryhmän G esitys ( Π, V ) antaa esityksen Π ryhmän G lopussa ( V ) [111] , jota myös merkitään Π , joka saadaan kaavalla [112] .

\Pi (g)(A)=\Pi (g)A\Pi (g)^{-1},\qquad A\in \operaattorinimi {Loppu} (V),\ g\in G.

(I2)

Jos π ja Π ovat vakioesitykset ja jos toiminta on rajoitettu algebraan, niin kaksi yllä olevaa esitystä ovat Lie-algebran ja ryhmän adjointinen esitys . Vastaavat esitykset ( tai ) ovat aina olemassa mille tahansa matriisi Lie-ryhmälle ja ovat tärkeimmät esitysteorian tutkimukselle yleensä ja mille tahansa Lie-ryhmälle erityisesti. $\R^4$ ${\mathfrak {so}}(3,1)\subset {\text{End}}(\mathbb {R} ^{4}),$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$

Jos tätä sovelletaan Lorentzin ryhmään, kun (Π, V ) on projektiiivinen esitys, niin suorat laskelmat kaavalla (G5) osoittavat, että lopussa( V ) indusoitu esitys on ominaisesitys, ts. esitys ilman vaihetekijöitä.

Kvanttimekaniikassa tämä tarkoittaa, että jos ( π , H ) tai (Π, H ) on johonkin Hilbertin avaruuteen H vaikuttava esitys , niin vastaavat indusoidut esitykset vaikuttavat H:n lineaaristen operaattoreiden joukkoon . Esimerkkinä, indusoitu esitys projektiivisestä spin-esityksestä End ( H ) on ei-projektiivinen 4-vektori ( $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ yksi2, yksi2) edustus [113] .

Yksinkertaisuuden vuoksi otetaan huomioon vain algebran "diskreetti osa" End( H ) eli jos H :lle on annettu kanta , niin erimittaisten vakiomatriisien joukko, mukaan lukien mahdolliset äärettömät mitat. Yllä olevassa indusoidussa 4-vektorin esityksessä tässä yksinkertaistetussa lopussa ( H ) on invariantti 4-ulotteinen aliavaruus, joka kattaa neljä gamma-matriisia [114] . (Metrikonventionaalit eroavat viitatussa artikkelissa.) Vastaavasti täydellinen Cliffordin aika-avaruusalgebra , jonka kompleksisoituminen on muodostettu gammamatriisien avulla, hajoaa skalaarien pelkistymättömien esitysavaruuksien suoraksi summaksi, ( 0, 0) , pseudoskalaarinen redusoitumaton esitykset, myös (0, 0) , mutta pariteetin ominaisarvon −1 käänteisluvulla , katso seuraava osio alla, jo mainitut vektorin redusoitumattomat esitykset , pseudovektorin redusoitumattomat esitykset pariteetin +1 käänteisellä ominaisarvolla (ei −1) , ja tensorin redusoitumattomat esitykset [115] . Mitat laskevat yhteen arvoon 1 + 1 + 4 + 4 + 6 = 16 . Toisin sanoen, ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} ),$ ${\text{M}}(4,\mathbb {C} ),$ $({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2)))$ $({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1}{2)))$ $(1,0)\oplus (0,1)$

{\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )=(0,0)\oplus \left({\frac {1}{2)),{\frac {1 }{2}}\oikea)\oplus [(1,0)\oplus (0,1)]\oplus \left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2)) \oikea)_{p}\oplus (0,0)_{p}.

(I3)

Pyörityksen esitys

({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))

Tensorin kuusiulotteinen esitysavaruus - sisällä olevalla esityksellä on kaksi roolia. Ensimmäinen [116] $(1,0)\oplus (0,1)$ ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],

(I4)

missä ovat gammamatriisit. Esitysavaruuden kattaa sigmat, joista vain 6 ei ole nollia hakasulkeen antisymmetrian vuoksi. Lisäksi niillä on Lorentzian Lie -algebran kommutaatiosuhteet [114] , $\gamma ^{0},\ldots ,\gamma ^{3}\in {\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$

\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\ sigma ^{\mu \tau }\right),

(I5)

ja muodostavat siten esityksen sisällä , spinor-esityksen. Katso lisätietoja papereista " Bispinor " ja "Dirac's Algebra" . ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Johtopäätös: millä tahansa End( H ) : ssa kompleksoidulla elementillä (eli millä tahansa kompleksisella 4 × 4 -matriisilla ) on hyvin määritellyt Lorentzin muunnoksen ominaisuudet. Lisäksi tällä elementillä on Lorentzian Lie -algebran spinoriesitys, joka eksponentioituna muuttuu ryhmään vaikuttavan ryhmän spinoriesityksenä, jolloin se muuttuu bispinorien tilaksi. ${\mathcal {Cl}}_{3,1}(\mathbb {R} )$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$

Pienennettävät esitykset

On monia muitakin esityksiä, jotka voidaan johtaa redusoitumattomista ottamalla suoria summia, tensorituloja ja pelkistymättömien esitysten tekijäryhmiä. Muita menetelmiä esitysten saamiseksi ovat esimerkiksi Lorentz-ryhmän ja Poincarén ryhmän sisältävän suuremman ryhmän edustuksen rajoittaminen. Tällaiset esitykset eivät yleensä ole redusoitumattomia. ${\text{GL))(n,\mathbb {R} )$

Lorentz-ryhmällä ja sen Lie-algebralla on täydellinen pelkistyvyysominaisuus . Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa esitys pelkistetään pelkistymättömien esitysten suoraksi summaksi. Esitettyjä esityksiä ei siksi käsitellä tässä.

Avaruuden inversio ja ajan kääntäminen

(Mahdollisesti projektiivinen) esitys ( m , n ) on redusoitumaton esityksenä ryhmästä SO(3; 1) + , joka on Lorentz-ryhmän identtisyyskomponentti, fyysisessä terminologiassa oikea ortokroninen Lorentz- ryhmä. Jos m = n , esitys voidaan laajentaa edustamaan kaikkia O(3; 1) , täydellisiä Lorentz-ryhmiä, mukaan lukien pariteetin inversio ja ajan käännös . Näkymiä voidaan laajentaa samalla tavalla [117] . ${\näyttötyyli (m,n)\oplus (n,m)}$

Käänteinen avaruuden pariteetti

Avaruuspariteetin inversiolle otetaan huomioon liitännäistoiminto Ad P P ∈ SO(3; 1) on , jossa P on avaruuspariteetin inversion standardiedustaja, P = diag(1, −1, −1, −1) , annettuna ilmaisun mukaan ${\mathfrak {niin}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{P}(J_{i})=PJ_{i}P^{-1}=J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{P}(K_{i })=PK_{i}P^{-1}=-K_{i}.

(F1)

Juuri ne K :n ja J :n ominaisuudet P : ssä selittävät termit vektori K :lle ja pseudovektori tai aksiaalivektori J :lle . Vastaavasti, jos π on mikä tahansa algebran esitys ja Π on siihen liittyvä ryhmäesitys, niin Π(SO(3; 1) + ) vaikuttaa esitykseen π liitännäistoiminnolla algebralle . Jos P sisältyy Π :ään , niin johdonmukaisuus yhtälön (F1) kanssa edellyttää sitä ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ ${\displaystyle \pi (X)\mapsto \mathrm {\Pi } (g)\pi (X)\mathrm {\Pi } (g)^{-1))$ $X\in {\mathfrak {niin}}(3;1),$ ${\displaystyle g\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

\Pi (P)\pi (B_{i})\Pi (P)^{-1}=\pi (A_{i}),

(F2)

jossa A ja B määritellään kuten osan ensimmäisessä osassa. Tämä voi olla totta vain, jos ja niillä on samat mitat, eli vain jos m = n . Jos m ≠ n , niin se voidaan laajentaa pelkistymättömään ryhmäesitykseen , ortokroniseen Lorentz-ryhmään. Parillinen pariteettiesitys Π( P ) ei tule automaattisesti mukana ( m , n ) -esitysten peruskonstruktiossa . Se on lueteltava erikseen. Matriisia β = i γ 0 voidaan käyttää [118] -esituksessa. $A_{i}$ $B_{i}$ ${\näyttötyyli (m,n)\oplus (n,m)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Jos pariteetti tulee esitykseen (0,0) miinusmerkillä ( 1×1 matriisi [−1] ) , sitä kutsutaan pseudoskalaariseksi esitykseksi.

Ajan kääntö

Ajan kääntäminen toimii samalla tavalla algebrassa kuin [119] $T=\mathrm {diag} (-1,1,1,1)$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$

\mathrm {Ad} _{T}(J_{i})=TJ_{i}T^{-1}=-J_{i},\qquad \mathrm {Ad} _{T}(K_{ i})=TK_{i}T^{-1}=K_{i}.

(F3)

Sisällyttämällä eksplisiittisesti T :n ja P :n esitys, saadaan esitys Lorentz-ryhmästä O(3; 1) . Fysiikan kannalta tässä syntyy pieni ongelma, erityisesti kvanttimekaniikassa. Kun koko Poincarén ryhmä otetaan huomioon , neljä lisägeneraattoria, P μ yhdessä J i :n ja K i :n kanssa, muodostavat ryhmän. Ne tulkitaan rinnakkaissiirtogeneraattoreiksi. Aikakomponentti P 0 on Hamiltonin H. Operaattori T täyttää suhteen [120]

\mathrm {Ad} _{T}(iH)=TiHT^{-1}=-iH

(F4)

analogisesti kiertojen kanssa, joissa algebra on korvattu täydellä Poincarén algebralla . Kun muuttujat i on yksinkertaisesti poistettu THT -1 = - H :sta , seuraisi, että mikä tahansa tila Ψ , jolla on positiivinen energia E kvanttitilojen Hilbert-avaruudessa, jossa on aikakäänteinen invarianssi, olisi tila Π( T −1 )Ψ negatiivinen energia − E . Sellaisia valtioita ei ole olemassa. Operaattori Π( T ) valitaan siksi antilineaariseksi ja antiunitaariseksi , joten se antikommutoidaan i :n kanssa antaen , ja sen toiminta Hilbertin avaruudessa on yhtä antilineaarinen ja antiunitaarinen [121] . Se voidaan ilmaista kompleksisen konjugaation superpositiona, jossa kerrotaan unitaarimatriisilla [122] . Asian matemaattista tarkastelua varten katso artikkeli "Wignerin lause" , mutta ottaen huomioon terminologian ristiriidat - Π ei ole esitys . ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ $THT^{-1}=H$

Rakennettaessa teorioita, kuten QED , joka on invariantti tilan pariteetin ja ajan käänteisen suhteen, voidaan käyttää Dirac-spinoreita, kun taas muut teoriat, joissa ei ole invarianssia, kuten sähköheikko vuorovaikutus , on muotoiltava Weyl-spinoreilla. . Diracin esityksen katsotaan yleensä sisältävän sekä avaruuden pariteetin että ajan käänteisyyden. Kääntämättä avaruuden pariteettia, se ei ole redusoitumaton esitys. $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$

Kolmannella CPT-lauseeseen sisältyvällä diskreetillä symmetrialla , yhdessä P :n ja T :n kanssa , varauskonjugaatiosymmetrialla C ei ole mitään tekemistä suoraan Lorentzin invarianssin kanssa [123] .

Toiminnot funktiotiloissa

Jos V on funktioiden vektoriavaruus äärellisessä määrässä muuttujia n , niin skalaarifunktion antama toiminto $f\in V$

(\Pi (g)f)(x)=f\left(\Pi _{x}(g)^{-1}x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ^{ n},f\in V

(H1)

antaa toisen toiminnon . Tässä on n - ulotteinen esitys, ja Π on mahdollisesti ääretön esitys. Tämän konstruktion erikoistapaus saadaan, kun V on itse lineaariryhmässä G määriteltyjen funktioiden avaruus , jota pidetään n - ulotteisena moninaisena , joka on upotettu (jossa m on matriisien mitta) [124] Nämä ovat asetukset jossa muotoillaan Peter-Weil-lause ja Borel-Weyl-Bott-lause . Ensimmäinen mainituista osoittaa funktioiden Fourier-laajennuksen olemassaolon kompakteissa ryhmissä äärellisulotteisten esitysten merkeiksi [64] . Viimeinen lause, joka antaa selkeämpiä esityksiä, käyttää yhtenäistä temppua saadakseen esityksen monimutkaisista ei-kompakteista ryhmistä, esimerkiksi $\mathrm {\Pi } f\in V$ ${\displaystyle \mathrm {\Pi } _{x))$ $\mathbb {R} ^{m^{2}}$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

Seuraavat osiot havainnollistavat Lorentz-ryhmän ja rotaatioaliryhmien toimintaa joissakin funktioavaruuksissa.

Euklidiset kierrokset

Kolmiulotteisten euklidisten rotaatioiden alaryhmällä SO(3) on ääretön esitys Hilbertin avaruudessa

L^{2}\left(\mathbb {S} ^{2}\right)=\operaattorin nimi {span} \left\{Y_{m}^{l},l\in \mathbb {N} ^{+},-l\leqslant m\leqslant l\right\},

missä ovat pallomaiset harmoniset . Yksikköpallon mielivaltainen neliöintegroitava funktio f voidaan ilmaista muodossa [ 125] ${\displaystyle Y_{m}^{l))$

f(\theta ,\varphi )=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}Y_{m}^{l} (\theta ,\varphi ),

(H2)

missä f lm ovat yleistettyjä Fourier-kertoimia .

Lorentz-ryhmän toimet rajoittuvat toimiin SO(3) ja ilmaistaan seuraavasti

(\Pi (R)f)(\theta (x),\varphi (x))=\sum _{l=1}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l }\sum _{m'=-l}^{l}D_{mm'}^{(l)}(R)f_{lm'}Y_{m}^{l}\left(\theta \left( R^{-1}x\oikea),\varphi \left(R^{-1}x\right)\right),\qquad R\in \mathrm {SO} (3),\quad x\in \ mathbb {S} ^{2},

(H4)

jossa D l saadaan rotaatiogeneraattoreiden parittomien mittojen edustajilta.

Möbius-ryhmä

Lorentz-ryhmän identiteettikomponentti on isomorfinen Möbius-ryhmän M kanssa . Tätä ryhmää voidaan pitää joko kompleksisen tason tai stereografisen projektion kautta Riemannin pallon konformisena kartoitusna . Siten itse Lorentz-ryhmän voidaan katsoa toimivan konformisesti kompleksitasolla tai Riemannin sfäärillä.

Tasossa Möbius-muunnos, jota kuvataan kompleksiluvuilla , toimii kaavan [126] mukaisesti . $a,b,c,d$

f(z)={\frac {az+b}{cz+d)),\qquad ad-bc\neq 0

(M1)

ja ne voidaan esittää monimutkaisilla matriiseilla

\Pi _{f}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix)),\qquad \lambda \in \mathbb {C} -\{0\},\operaattorin nimi {det} \Pi _{f}=1,

(M2)

koska kertominen nollasta poikkeavalla kompleksisella skalaarilla ei muuta f . Nämä ovat ryhmän elementtejä ja ne ovat ainutlaatuisia merkkiin asti (koska se antaa saman f ), siksi ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \pm \mathrm {\Pi } _{f))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )/\{\pm I\}\cong {\text{SO}}(3;1)^{+}.$

Riemannin P-symbolit

Riemannin P-symbolit , Riemannin differentiaaliyhtälön ratkaisut, ovat esimerkki joukosta funktioita, jotka muuntuvat toisiinsa Lorentz-ryhmän vaikutuksesta. Riemannin P-symbolit ilmaistaan [127]

w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\\\alpha &\beta &\gamma &\;z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end {matrix}}\right\}=\left({\frac {za}{zb}}\oikea)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\oikea)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca))) \\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\end{matrix}}\right\},

(T1)

missä ovat kompleksiset vakiot. Oikealla oleva p-funktio voidaan ilmaista käyttämällä normaaleja hypergeometrisiä funktioita . Tässä on linkki [128] $a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma '$

P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\\0&a&0&\;z\\1-c&b&c-ab&\end{matrix}}\right\}={}_{2}F_{ 1}(a,\,b;\,c;\,z).

(T2)

Asetetut vakiot 0, ∞, 1 vasemman yläriviltä ovat hypergeometrisen yhtälön [129] säännöllisiä singulaaripisteitä ] . Niiden eksponentit eli määrittävän yhtälön ratkaisut singulaarisen pisteen 0 ympärillä olevalle jatkumolle ovat 0 ja 1 − c , jotka vastaavat kahta lineaarisesti riippumatonta ratkaisua [nb 40] , ja singulaaripisteen 1 ympärillä olevalle jatkumolle ne ovat olla 0 ja [130] . Vastaavasti ∞ :n eksponentit ovat a ja b molemmille ratkaisuille [131] . $cab$

Sitten meillä on

w(z)=\left({\frac {za}{zb}}\oikea)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\oikea)^{\gamma } {}_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\,\alpha +\beta '+\gamma ;\,1+\alpha -\alpha ';\,{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\oikea),

(T3)

missä on ehto (kutsutaan joskus Riemannin identiteetiksi) [132] .

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1

Riemmann-differentiaaliyhtälön ratkaisujen eksponenteille käytetään määrittämään γ ′ .

Ensimmäinen vakiojoukko (T1) vasemmalla puolella , a , b , c , edustaa Riemannin differentiaaliyhtälön säännöllisiä singulaaripisteitä. Toinen joukko t, , on joukko vastaavia eksponenteja yhdelle kahdesta lineaarisesti riippumattomasta ratkaisusta ja vastaavasti ovat eksponenteja pisteissä a , b , c toiselle ratkaisulle. $\alpha ,\beta ,\gamma$ $a,b,c$ $\alpha ',\beta ',\gamma '$

Määritellään Lorentz-ryhmän toiminta kaikkien Riemannin P-symbolien joukossa ottaen

u(\Lambda )(z)={\frac {Az+B}{Cz+D)),

(T4)

missä ovat matriisielementit $A, B, C, D$

\lambda ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} ),

(T5)

Lorentzin muunnokseen . ${\displaystyle \Lambda =p(\lambda )\in \mathrm {SO} (3;1)^{+))$

Määritellään

[\Pi (\Lambda )P](z)=P[u(\Lambda )(z)],

(T6)

jossa P on Riemannin P-symboli. Tuloksena oleva funktio on jälleen Riemannin P-funktio. Argumentin Möbius-muunnoksen vaikutus ilmaistaan napojen siirtymänä uuteen paikkaan ja siten muutoksena kriittisissä pisteissä, mutta ei muutosta differentiaaliyhtälön eksponenteissa, jotka uusi funktio täyttää. Uusi funktio ilmaistaan lausekkeella

[\Pi (\Lambda )P](u)=P\left\{{\begin{matrix}\eta &\zeta &\theta &\\\alpha &\beta &\gamma &\;u \\\alpha '&\beta '&\gamma '&\end{matrix}}\right\},

(T6)

missä

\eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}\quad ,\quad \zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad ,\quad \theta = {\frac {Ac+B}{Cc+D)).

(T7)

Äärettömän ulottuvuuden unitaariesitykset

Historia

Lorentz-ryhmällä ja sen kaksoiskannessa on äärettömän ulottuvuuden unitaarisia esityksiä, joita Bargman [57] , Gelfand ja Naimark [133] sekä Harish-Chandra [10] tutkivat itsenäisesti Paul Diracin [134] [135] aloitteesta. . Dirac [136] alkoi askarruttaa tätä polkua tutkimukseen, kun hän keksi matriisit U ja B , joita tarvittiin kuvaamaan korkeampia spinejä (vertaa Dirac-matriiseihin ), joita Firtz [137] tallasi kehityksensä kanssa (katso Firtzin artikkeli ja Pauli [138] ) ja ehdotti Bargmann-Wigner-yhtälöiden edeltäjää [139] . Dirac ehdotti artikkelissaan [9] tensorien yleistyksenä erityistä äärettömän ulottuvuuden esitystä avaruudesta, jonka elementtejä hän kutsui ekspansoreiksi . [nb 41] Harish-Chandra omaksui nämä ajatukset, ja vuonna 1947 julkaistussa artikkelissa spinorien käsite laajennettiin koskemaan ekspinoreita spinorien äärettömän ulottuvuuden yleistyksenä. ${\displaystyle \mathrm {SO} (3;1)^{+))$ ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Plancherel-kaavan näille ryhmille saivat Gelfand ja Naimark käyttämällä tilavuuslaskelmia. Myöhemmin Harish-Chandra [140] ja Gelfand ja Graev [141] yksinkertaistivat esitystä suuressa määrin perustuen analogiaan Hermann Weylin kompaktien Lie-ryhmien integrointikaavan kanssa [142] . Alkuperäinen kuvaus tästä lähestymistavasta löytyy julkaisuista Rühl [143] ja Knapp [64] . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Lorentz-ryhmän pallofunktioiden teoria , joita tarvitaan harmonisten analyysien tekemiseen Minkowski-avaruuden 3 -ulotteisen hyperbolisen avaruuden hyperboloidimallissa , on paljon yksinkertaisempi kuin yleisessä teoriassa. Se sisältää vain esityksiä pallomaisesta pääsarjasta [ en ja sitä .Lengkanssahyperboloidilla on ekvivalentti Laplacianlaplalainenvoidaan tutkia suoraan, koska säteittäisissä koordinaateissa [147] . $\mathbb {R} .$

Pääsarja SL(2, C)

Pääsarjat tai yhtenäiset pääsarjat ovat unitaarisia esityksiä , jotka on indusoitu ryhmän alemman kolmion alaryhmän B yksiulotteisista esityksistä . $G={\text{SL}}(2,\mathbb {C} ).$

\chi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}z&0\\c&z^{-1}\end{pmatrix}}=r^{i\nu }e^{ik\theta },

kokonaisluvulle k ja todelliselle ν : lle . Esitykset ovat redusoitumattomia esityksiä . Ainoat toistot, ts. esitysisomorfismit syntyvät, kun k korvataan -k : lla . Määritelmän mukaan esitykset realisoituvat linjakimppujen kuiduille L 2 , jotka ovat isomorfisia Riemannin pallolle . Kun k = 0 , nämä esitykset muodostavat ns. pallomaisen pääsarjan . ${\displaystyle z=re^{i\theta ))$ ${\displaystyle G/B=\mathbb {S} ^{2))$

Pääsarjan rajoitus G :n maksimaaliseen kompaktiin alaryhmään voidaan toteuttaa alaryhmän K indusoituna esityksenä käyttämällä identifiointia , jossa on maksimaalinen torus aliryhmässä K , joka koostuu diagonaalisista matriiseista, joissa on . Tämä esitys luo 1-ulotteisen esityksen ja on riippumaton . Frobenius-vastavuoroisuuden mukaan aliryhmässä K ne hajoavat aliryhmän K pelkistymättömien esitysten suoraksi summaksi, jonka mitat ovat ei-negatiivinen kokonaisluku m . $K=\mathrm {SU} (2)$ $G/B=K/T$ $T=B\cap K$ $|z|=1$ $z^{k}T$ $\nu$ $abs(k)+2m+1$

Käyttämällä pisteettömän Riemannin pallon ja pääsarjan välistä identifiointia voidaan määrittää suoraan kaavalla [148] . $\mathbb {C}$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

\pi _{\nu ,k}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-i\ nu }\left({cz+d \over |cz+d|}\right)^{-k}f\left({az+b \over cz+d}\right).

Pelkistymättömyys voidaan tarkistaa useilla tavoilla:

Edustus on jo redusoitumaton B :ssä . Tämä voidaan nähdä suoraan, mutta on olemassa myös erityinen tapaus yleisistä tuloksista indusoitujen esitysten pelkistämättömyydestä, kiitos François Bruhat ja George Mackay , jotka luottavat Bruhatin hajotukseen , jossa s on elementti Weil-ryhmä [149] . $G=B\cup BsB$

{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

Ryhmän G Lie-algebran toiminta voidaan laskea eksplisiittisesti alaryhmän K pelkistymättömien aliavaruuksien algebrallisella suoralla summalla ja voidaan suoraan varmistaa, että pienimmän ulottuvuuden aliavaruus generoi tämän suoran summan -moduulina [10 ] [150] . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$

Lisäsarjat SL(2, C)

Lisäsarja on määritelty neliön integroitavien funktioiden avaruuteen skalaaritulolle [151] . $0<t<2$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

(f,g)_{t}=\iint {\frac {f(z){\overline {g(w)))}{|zw|^{2-t))}\,dz\ ,dw,

yhtälön [57] [152] antamalla toiminnalla

\pi _{t}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}f(z)=|cz+d|^{-2-t}f\left ({az+b \yli cz+d}\oikea).

Täydentävät sarjaesitykset ovat redusoitumattomia ja pareittain ei-isomorfisia. Aliryhmän K esityksenä kukin on isomorfinen aliryhmän K = SU(2) kaikkien parittomien dimensioimattomien esitysten suorien summien Hilbert-avaruuden kanssa . Redusoitumattomuus voidaan todistaa analysoimalla algebran vaikutus näiden aliavaruuksien algebralliseen summaan [10] [150] tai suoraan ilman Lie-algebraa [133] [153] . $\mathfrak{g}$

Plancherelin lause SL(2, C)

Ainoat ryhmän pelkistymättömät yhtenäiset esitykset ovat pääsarja, lisäsarja ja triviaaliesitys. Koska −I toimii kuten (−1) k pääsarjoissa ja triviaalisti muissa, tämä antaa kaikki Lorentzin ryhmän redusoitumattomat unitaariesitykset, jos k on parillinen. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$

Ryhmän G vasemmanpuoleisen säännöllisen esityksen hajottamiseksi vain pääsarjaksi tarvitaan. Tämä antaa välittömästi aliesityshajotelman Lorentz-ryhmän vasemmanpuoleisesta säännöllisestä esityksestä ja säännöllisen esityksen 3-ulotteisessa hyperbolisessa avaruudessa. (Ensimmäinen käyttää vain esityksiä pääsarjasta parillisella k :llä , toinen vain esityksiä, joissa k = 0 .) $L^{2}(G)$ $L^{2}(G/\{\pm I\}),$ $L^{2}(G/K)$

Vasen ja oikea säännölliset esitykset λ ja ρ on määritelty kaavoissa $L^{2}(G)$

{\begin{aligned}(\lambda (g)f)(x)&=f\left(g^{-1}x\right)\\(\rho (g)f)(x)& =f(xg)\end{tasattu}}

Nyt, jos f on C c :n ( G ) alkio , operaattori määritellään muodossa $\pi _{\nu ,k}(f)$

\pi _{\nu ,k}(f)=\int _{G}f(g)\pi (g)\,dg

on Hilbert-Schmidt-operaattori . Määrittelemme Hilbert-avaruuden H kaavalla

H=\bigoplus _{k\geqslant 0}{\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)\otimes L^{2}\left(\ mathbb {R} ,c_{k}{\sqrt {\nu ^{2}+k^{2))}d\nu \right),

missä

c_{k}={\begin{cases}{\frac {1}{4\pi ^{3/2}}}&k=0\\{\frac {1}{(2\pi )^ {3/2}}}&k\neq 0\end{cases}}

ja merkitsee Hilbert–Schmidt-operaattoreiden Hilbert-avaruutta [nb 42] . Sitten lauseella C c ( G ) määritelty kartta U ${\text{HS}}\left(L^{2}(\mathbb {C} )\right)$ $L^{2}(\mathbb {C} )$

U(f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(f)

laajenee yhtenäiseksi ryhmäkartoitukseksi H :ssa . $L^{2}(G)$

Kartoitus U täyttää takertumisominaisuuden

U(\lambda (x)\rho (y)f)(\nu ,k)=\pi _{\nu ,k}(x)^{-1}\pi _{\nu ,k} (f)\pi _{\nu ,k}(y).

Jos ne esiintyvät , yksikön mukaan $f_{1},f_{2}$ $C_{c}(G)$

$(f_{1},f_{2})=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operaattorinimi {Tr} \left(\pi _{\nu ,k}(f_{1})\pi _{\nu ,k}(f_{2})^{*}\right)\left(\nu ^{2}+ k^{2}\oikea)\,d\nu .$

Sitten, if tarkoittaa konvoluutiota ja , ja sitten [154] $f=f_{1}*f_{2}^{*}$ $f_1$ $f_{2}^{*}$ $f_{2}^{*}(g)={\overline {f_{2}(g^{-1))))),$

$f(1)=\sum _{k\geqslant 0}c_{k}^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\operaattorinimi {Tr} \left(\pi _{ \nu ,k}(f)\oikea)\vasen(\nu ^{2}+k^{2}\oikea)\,d\nu .$

Kahta viimeistä annettua kaavaa kutsutaan yleensä Plancherelin kaavana ja vastaavasti käänteisen Fourier-muunnoksen kaavana .

Plancherelin kaava pätee kaikkeen . Jacques Dixmierin ja Paul Mallyavinin lauseen mukaan mikä tahansa tasainen funktio kompaktilla tuella on samanlaisten funktioiden äärellinen konvoluutiosumma, inversiokaava pätee sellaiselle f :lle . Tämä voidaan laajentaa paljon laajempaan funktioluokkaan, joka täyttää heikot differentiaatioehdot [64] . $f_{i}\in L^{2}(G)$ $G$

SO(3, 1) -esitysten luokittelu

Pelkistymättömien äärettömän ulottuvuuden esitysten luokittelussa noudatettu strategia on äärellisulotteisen tapauksen mukaisesti olettaa niiden olemassaolo ja sitten tutkia niiden ominaisuuksia. Oletetaan ensin, että ryhmän SO(3; 1) + [155] Hilbert-avaruudessa H on pelkistymätön , voimakkaasti jatkuva ääretön esitys Π H . Koska SO(3) on alaryhmä, Π H on sen esitys. Jokainen SO(3) :n pelkistymätön osaesitys on äärellisulotteinen, ja SO(3):n esitys on hajottavissa SO(3) : n pelkistymättömien äärellisulotteisten unitaariesitysten suoraksi summaksi, jos Π H on unitaarinen [156] .

Vaiheet ovat [157] :

Matriisien J 2 ja J 3 yhteisille ominaisvektoreille valitaan sopiva kanta .
Laskemme matriisielementit J 1 , J 2 , J 3 ja K 1 , K 2 , K 3 .
Tarjoamme kommutaatiorelaatioita Lie-algebralle.
Edellytämme unititeettia yhdessä kannan ortogonaalisuuden kanssa [nb 43] .

Vaihe 1

Sopiva perusta ja tarrat annetaan muodossa

\left|j_{0}\,j_{1};j\,m\right\rangle .

Jos tämä olisi äärellisulotteinen esitys, niin j 0 vastaisi matriisin J 2 pienintä ominaisarvoa j ( j + 1) esityksessä, joka on yhtä suuri kuin , ja j 1 vastaisi suurinta ominaisarvoa, joka on yhtä suuri kuin m + n . Äärettömän ulottuvuuden tapauksessa se säilyttää tämän merkityksen, mutta j 1 ei [70] . Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että tietty j esiintyy vain kerran tietyssä esityksessä (tämä on äärellisulotteisten esitysten tapaus), ja voidaan osoittaa [158] , että tämä oletus voidaan hylätä (jollakin laskennallisella monimutkaisuudella). tulokset säilyvät. $|mn|$ $j_{0}\geqslant 0$

Vaihe 2

Seuraavaksi lasketaan Lie-algebran perustan muodostavien operaattoreiden J 1 , J 2 , J 3 ja K 1 , K 2 , K 3 matriisielementit Matriisin alkiot ja tunnetaan esityksestä rotaatioryhmien teoria ja ne saadaan kaavoilla [159] [160] . ${\mathfrak {niin}}(3;1).$ ${\displaystyle J_{\pm }=J_{1}\pm iJ_{2))$ $J 3}$

{\begin{aligned}\left\langle j\,m\right|J_{+}\left|j\,m-1\right\rangle &=\left\langle j\,m-1\ oikea|J_{-}\vasen|j\,m\oikea\rangle ={\sqrt {(j+m)(j-m+1))),\\\vasen\langle j,m\oikea|J_ {3}\left|j\,m\oikea\kulma &=m,\end{tasattu}}

jossa tunnisteet j 0 ja j 1 jätetään pois, koska ne ovat samat kaikille esityksen kantavektoreille.

Kommutointisuhteen mukaan

[J_{i},K_{j}]=i\epsilon _{ijk}K_{k},

kolmois ( Ki , K i , K i ) ≡ K on vektorioperaattori [ en [161] ja Wigner-Eckart-lausetta [162] voidaan soveltaa matriisielementtien vaihtamiseen kantavalinnalla edustamien tilojen välillä [163 ] . Matriisimatriisielementit

{\begin{aligned}K_{0}^{(1)}&=K_{3},\\K_{\pm 1}^{(1)}&=\mp {\frac {1} {\sqrt {2}}}(K_{1}\pm iK_{2}),\end{aligned}}

jossa yläindeksi (1) tarkoittaa, että suure on arvon pallotensorioperaattorin [en] komponentti ( joka selittää tekijän √ 2 olemassaolon ), ja alaindeksit 0, ±1 viittaavat q :ään alla olevissa kaavoissa [164] $k = 1$

{\begin{aligned}\left\langle j'm'\left|K_{0}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\ ,m'\,k=1\,q=0|j\,m\oikea\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\oikea\|j'\oikea\kulma ,\ \\left\langle j'm'\left|K_{\pm 1}^{(1)}\right|j\,m\right\rangle &=\left\langle j'\,m'\,k =1\,q=\pm 1|j\,m\right\rangle \left\langle j\left\|K^{(1)}\oikea\|j'\oikea\kulma .\end{tasattu} }

Tässä ensimmäiset tekijät oikealla ovat Clebsch-Gordan-kertoimet j ′ :n liittämiseksi k :n kanssa j :n saamiseksi . Toiset tekijät ovat pelkistetyt matriisielementit . Ne eivät ole riippuvaisia m :stä , m': stä tai q :sta , mutta ne riippuvat j :stä , j':sta ja tietysti K :stä . Täydellinen luettelo nollasta poikkeavista yhtälöistä, katso Harish-Chandra [165] .

Vaihe 3

Seuraava askel on vaatia, että Lie-algebrarelaatiot pätevät, ts. mitä

[K_{\pm },K_{3}]=\pm J_{\pm },\quad [K_{+},K_{-}]=-2J_{3}.

Tämä johtaa joukkoon yhtälöitä [166] , joiden ratkaisut ovat [167]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &=i{\frac {j_{1}j_{0}} {\sqrt {j(j+1)}}},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=-B_{j} \xi _{j}{\sqrt {j(2j-1)}}),\\\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\oikea\|j\oikea\rangle & = B_{j}\xi _{j}^{-1}{\sqrt {j(2j+1)}},\end{tasattu}}

missä

B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}-j_{1}^{2})}{j ^{2}(4j^{2}-1)}}},\quad j_{0}=0,{\tfrac {1}{2)),1,\ldots \quad ,\quad j_{1} ,\xi _{j}\in \mathbb {C} .

Vaihe 4

Yksikkövaatimuksen asettaminen vastaavalle ryhmäesitykselle rajoittaa mahdollisia arvoja kompleksiluvuille ja . Ryhmäesityksen yhtenäisyys ulottuu vaatimukseen, että Lie-algebran esitykset ovat hermiittisiä, mikä tarkoittaa $j_0$ ${\näyttötyyli \xi _{j))$

K_{\pm }^{\dagger }=K_{\mp },\quad K_{3}^{\dagger }=K_{3}.

Tämä menee [168]

{\begin{aligned}\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle &={\overline {\left\langle j\left\|K ^{(1)}\right\|j\right\rangle }},\\\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j-1\right\rangle &=- {\overline {\left\langle j-1\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle )),\end{tasattu))

ja johtaa [169]

{\begin{aligned}j_{0}\left(j_{1}+{\overline {j_{1}}}\right)&=0,\\\left|B_{j}\right| \left(\left|\xi _{j}\right|^{2}-e^{-2i\beta _{j}}\right)&=0,\end{aligned}}

missä β j on kulma B j polaarisessa muodossa. Siitä seuraa ja se valitaan sopimuksen mukaan. On kaksi mahdollista tapausta: $|B_{j}|\neq$ $\left|\xi _{j}\right|^{2}=1$ $\xi _{j}=1$

${\underline {j_{1}+{\overline {j_{1}}}=0.}}$ Tässä tapauksessa ν [ 170] $j_{1}=-i\nu$ $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle ={\frac {\nu j_{0}}{j(j+1)))\ quad$ ja $\quad B_{j}={\sqrt {\frac {(j^{2}-j_{0}^{2})(j^{2}+\nu ^{2})}{4j ^{2}-1}}}$

Tämä on pääsarja . Sen elementit on merkitty

(j_{0},\nu ),2j_{0}\in \mathbb {N} ,\nu \in \mathbb {R} .

${\alleviivaus {j_{0}=0.))$ Tästä seuraa [171] : $\left\langle j\left\|K^{(1)}\right\|j\right\rangle =0\quad$ ja ${\displaystyle \quad B_{j}={\sqrt {\frac {j^{2}-\nu ^{2}}{4j^{2}-1))))$

Koska , on todellinen ja positiivinen , mikä johtaa . Tämä on lisäsarja . Sen elementit on merkitty .

B_{0}=B_{j_{0))

B_{j}^{2}

{\näyttötyyli j=1,2,\pisteet }

-1\leqslant \nu \leqslant 1

(0,\nu ),-1\leqslant \nu \leqslant 1

Tämä osoittaa, että yllä olevat esitykset ovat kaikki äärettömän ulottuvuuden pelkistymättömiä unitaarisia esityksiä.

Eksplisiittiset kaavat

Lie-algebran yleissopimukset ja perusteet

Metriikka annetaan matriisin avulla ja käytetään Lie-algebroiden fysikaalisia sopimuksia ja eksponentiaalista kartoitusta. Tämä valinta on mielivaltainen, mutta kun se on valittu, se ei muutu. Yksi Lie-algebran mahdollisista perusteista 4-vektorin esityksessä annetaan kaavoilla: $\eta =\mathrm {diag} (-1,1,1,1)$

{\begin{aligned}J_{1}=J^{23}=-J^{32}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{ pmatrix}},&J_{2}=J^{31}=-J^{13}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{pmatrix}}), &J_ {3}=J^{12}=-J^{21}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix)),\\[8pt] K_ {1}=J^{01}=J^{10}&=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix)),&K_{2}=J^{ 02 }=J^{20}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},&K_{3}=J^{03}=J^{30} & =i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Lie-algebran kommutaatiorelaatiot [172] : ${\mathfrak {niin}}(3;1)$

\left[J^{\mu \nu },J^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }J^{\rho \nu }+\ eta ^{\nu \sigma }J^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }J^{\sigma \nu }-\eta ^{\nu \rho }J^{\mu \ sigma}\right).

Kolmiulotteisen avaruuden merkinnässä tämä on [173]

\left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},\quad \left[J_{i},K_{j}\right]=i \epsilon _{ijk}K_{k},\quad \left[K_{i},K_{j}\right]=-i\epsilon _{ijk}J_{k}.

Yllä oleva pohjan valinta tyydyttää rotaatiot, mutta toinen vaihtoehto on mahdollinen. Huomaa J -symbolin moninkertainen käyttö ylä- ja alapuolella.

Weyl spinorit ja bispinorit

Ottaa vuorotellen ja laittaa $m={\tfrac {1}{2}},n=0$ $m=0,n={\tfrac {1}{2))$

J_{i}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}={\frac {1}{2}}\sigma _{i}

yleisessä kaavassa (G1) ja käyttämällä triviaalia suhteita ja , saamme $1_{1}=1$ $J^{(0)}=0$

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2)) \left(\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}+1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}\right)={\frac {1}{2)) \sigma _{i}\\\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2}}\ vasen(1_{(2)}\otimes J_{i}^{(0)}-\sigma _{i}\otimes 1_{(1)}\right)=-{\frac {i}{2}} \sigma _{i}\\[6pt]\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(J_{i})&={\frac {1}{2 }}\left(J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}+1_{(1)}\otimes \sigma _{i}\right)={\frac {1}{2 }}\sigma _{i}\\\pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)}(K_{i})&={\frac {i}{2} }\left(1_{(1)}\otimes \sigma _{i}-J_{i}^{(0)}\otimes 1_{(2)}\right)={\frac {i}{2} }\sigma _{i}\end{aligned}}

(V1)

Nämä ovat Weyl-spinorien vasen ja oikea esitys . Ne toimivat kertomalla matriisilla 2-ulotteisissa kompleksisissa vektoriavaruuksissa (kantavalinnalla) ja , joiden alkioita ja kutsutaan vastaavasti vasemmaksi ja oikeaksi Weyl-spinoreiksi. Jos annetaan $V_{L}$ $V_{R}$ $\Psi _{L}$ $\Psi _{R}$

\left(\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)},V_{\text{L))\right)\quad ,\quad \left(\ pi _{\left(0,{\frac {1}{2}}\right)},V_{\text{R}}\oikea)

Niiden suora summa esityksinä muodostetaan [174] kaavoilla

{\begin{aligned}\pi _{\left({\frac {1}{2)),0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2))\right )}\left(J_{i}\right)&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&\sigma _{i}\end{pmatrix }}\\[8pt]\pi _{\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)} \left(K_{i}\right)&={\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\end{pmatrix} }\end{aligned}}

(D1)

Tämä on samankaltaisuusmuunnokseen algebran Dirac - spinoriesitys . Se vaikuttaa 4-komponenttisiin tilojen elementteihin , joita kutsutaan bispinoreiksi , matriisikertomalla. Esitys voidaan saada yleisemmällä ja kantariippumattomalla tavalla käyttämällä Clifford-algebraa . Näitä bispinoreiden ja Weyl-spinorien lausekkeita laajennetaan Lie-algebran lineaarisuuden ja kaikkien algebroiden esityksillä . Ryhmäesitysten lausekkeet saadaan eksponentioimalla. $({\tfrac {1}{2)),0)\oplus (0,{\tfrac {1}{2)))$ ${\mathfrak {niin}}(3;1)$ $(\Psi _{L},\Psi _{R})$ $(V_{L}\oplus V_{R})$ ${\mathfrak {niin}}(3;1).$

Katso myös

Bargmann-Wigner yhtälö
Painopiste
Diracin algebra
Gamma-matriisit
Lorentzin ryhmä
Möbiuksen muunnos
Poincarén ryhmä
Poincarén ryhmän esitysteoria
Symmetria kvanttimekaniikassa
Wigner-luokitus

Ilmaiset online-resurssit

Bekaert X., Boulanger N. Poincare-ryhmän yhtenäinen esitys missä tahansa aika-avaruuden ulottuvuudessa. — 2006. Laajennettu versio luennoista, jotka pidettiin toisessa Modaven kesäkoulussa matemaattisesta fysiikasta (Belgia, elokuu 2006).
Curtright TL, Fairlie DB, Zachos CK Kompakti kaava rotaatioille spinmatriisipolynomeina // SIGMA. - 2014. - T. 10 . - S. 084 . - doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 . - . - arXiv : 1402.3541 . SU(2)-ryhmän elementit ilmaistaan suljetussa muodossa Lie-algebrageneraattoreiden äärellisinä polynomeina, joille kaikille on määritelty rotaatioryhmän spinaaliset esitykset.

Muistiinpanot

Kommentit

↑ Tapa, jolla ne esitellään, voi olla useita muotoja riippuen käsiteltävästä teoriasta. Joitakin näiden menetelmien yksityiskohtia ei käsitellä tässä, mutta ne näkyvät alaviitteissä ja Sovellukset-osiossa .
↑ Weinberg, 2002 , s. yksi; " Jos käy ilmi, että järjestelmää ei kuvata kvanttikenttäteorialla, se on sensaatio. Jos käy ilmi, että se ei noudata kvanttimekaniikan ja suhteellisuusteorian sääntöjä, se on kataklysmi. »
^ Vuonna 1945 Harish-Chandra vieraili Diracissa Cambridgessa. Hän tuli siihen tulokseen, että se ei sovellu teoreettiseen fysiikkaan. Harish-Chandra löysi virheen Diracin todistuksesta hänen työssään Lorentz-ryhmässä, mutta Dirac sanoi: "En ole kiinnostunut todisteista, vaan vain tapahtumien luonteesta."
Harish-Chandra kirjoitti myöhemmin: "Tämä huomautus vahvisti kasvavaa vakaumustani siitä, että minulla ei ollut ihmeellistä kuudetta aistia, joka tarvitaan menestymiseen fysiikassa, ja päätin pian siirtyä matematiikkaan."
Dirac kuitenkin tarjosi hänelle työaiheen - Lorentzin ryhmän pelkistymättömien äärettömän ulottuvuuden esitysten luokittelua.
Katso Dalitzin ja Peierlsin artikkeli ( Dalitz, Peierls 1986 )
↑ Kulissien takana oletetaan aina, että jokaisella inertiaalisella viitekehyksellä on oma Lorentzin tarkkailija , eli joku, jolla on periaatteessa täydellinen tietojoukko (eli koordinaatit!) mistä tahansa tässä vertailukehyksessä havaitusta tapahtumasta.
↑ Kartoituksen ei todellakaan tarvitse olla yksittäinen. Vaaditaan yksinkertaisesti, että kartoitus on ryhmien homomorfismi , eli jonkin vektoriavaruuden V johonkin täyslineaariseen ryhmään GL( V ) . (Vektoriavaruuden V sallitaan olla ääretön, kuten Hilbert-avaruus H . Tässä tapauksessa puhutaan B ( H ) , H :n lineaarioperaattoreista , ei GL( V ) . $\mathrm {\Pi } (gh)=\mathrm {\Pi } (g)\mathrm {\Pi } (h)$
↑ Avoimessa aika-avaruusjoukossa on vain kaksi vapausastetta . 4-potentiaalin käyttöönotto antaa nimellisesti neljä vapausastetta. Kenttäyhtälöt ja mittarin invarianssi , jokainen poistaa yhden vapausasteen.
↑ Tämä muunnos ilmaistaan yleensä eri tavalla, katso esimerkiksi "Sähkömagneettisen kentän muunnos" . Tämä menetelmä voidaan muuntaa käyttämään 6×6 matriiseja ja päinvastoin, koska tensorissa on 6 itsenäistä komponenttia.
↑ Lukemattomien ulottuvuuksien esityksiä saattaa olla olemassa. Ne käyttäytyvät huonommin (erityisesti ne ovat epäyhtenäisiä), eikä niitä oteta huomioon tässä.
↑ Saattaa käydä niin, että äärettömän ulottuvuuden matriisien kahden edustajan tulo on huonosti ehdollinen. Tässä tapauksessa sääntöä voidaan tarkistaa muiden kriteerien perusteella.
↑ Katso kaava (1) artikkelissa Scattering Matrix kuvaus siitä, kuinka vapaat multipartikkelit muuttavat tiloja.
↑ Weinberg, 2002 , Yhtälöt 5.1.4–5. Weinberg johtaa operaattoreiden luomisen ja tuhoamisen tarpeen muista näkökohdista, klusterin hajotteluperiaatteesta , Weinberg (2002 , luku 4.)
↑ Myös resepti siitä, kuinka hiukkasen tulee käyttäytyä CPT-symmetrian alla, voidaan vaatia.
↑ Esimerkiksi Klein-Gordon- yhtälöstä , Diracin yhtälöstä , Maxwellin yhtälöstä , Proca -yhtälöstä , Rarita-Schwinger-yhtälöstä ja Einstein -yhtälöstä on versioita (vapaan kentän yhtälöt , eli ilman vuorovaikutuksessa olevia termejä) johdettu alkaen tietystä ryhmäesittelystä Lorenz. Yleensä ne ovat kollektiivisia kvanttikenttäteorian versioita Bargmann-Wigner-yhtälöistä .
Katso Weinberg ( Weinberg 2002 , luku 5), Tung ( Tung 1985 , kohta 10.5.2) ja näissä teoksissa mainitut viittaukset.
On huomattava, että korkeampien pyöritysten ( s > 1 ) teorioilla on vaikeuksia. Weinberg ( Weinberg 2002 , kohta 5.8) yleisten ( m , n ) kenttien osalta käsittelee asiaa perusteellisesti. Hiukkasia, joilla on korkeampi spin, on epäilemättä olemassa , esimerkiksi ytimiä. Tunnetut tällaiset hiukkaset eivät ole alkeisosia .
↑ Lisätietoja näiden ryhmien esitysteoriasta on Bekartin ja Boulangerin artikkelissa [2] , joka käsittelee Poincarén ryhmän esitysteoriaa. Nämä esitykset saadaan käyttämällä indusoitujen esitysten menetelmää tai fysiikan kielellä pienryhmämenetelmää , jonka Wigner kehitti vuonna 1939 hänen tyyppisille ryhmille (Wigner-ryhmät), ja sille oli vankka matemaattinen perusta. George Mackayn asettama 50-luvulla.
↑ Hall (2015 , osio 4.4.)
Ryhmällä sanotaan olevan täydellinen pelkistyvyysominaisuus , jos mikä tahansa esitys hajoaa pelkistymättömien esitysten suoraksi summaksi.
↑ Dirac ehdotti Wignerin työn teemaa ( Wigner 1939 ) vuonna 1928 (kuten Wignerin artikkelissa todetaan). Hän julkaisi myös yhden ensimmäisistä kirjoituksista eksplisiittisistä äärettömän ulottuvuuden unitaarisista esityksistä Diracin vuoden 1945 artikkelissa ( Dirac 1945 ) ( Langlands 1985 ) ja ehdotti aihetta Harish-Chandran työlle redusoitumattomien äärettömän ulottuvuuden esitysten luokittelusta ( Dalitz ). , Peierls 1986 ).
↑ Knapp, 2001 ; Yllättävä kolmas isomorfismi osoitetaan luvun 2 luvussa 4.
↑ Kun molemmat tekijät tulevat samasta Lie-algebrasta, algebran esitysten tensorien tulo voidaan ymmärtää joko esityksenä tai esityksenä . $\pi _{g}\otimes \pi _{h}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$ ${\mathfrak {h}}={\mathfrak {g}},$ $\mathfrak{g}$ ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}$
↑ Jos kompleksisoimme kompleksisen Lie-algebran, sitä on pidettävä todellisena Lie-algebrana, jonka todellinen ulottuvuus on kaksi kertaa kompleksinen ulottuvuus. Vastaavasti todellinen muoto voi itse asiassa olla monimutkainen, kuten tässä tapauksessa.
↑ Yhdistämme kaavat 5.6.7–8, 5.6.14–15 Weinbergin teoksista ( Weinberg 2002 , Yhtälöt 5.6.7–8, 5.6.14–15) Hallin ehdotukseen ( Hall 2015 , Propositio 4.18) valheen esityksistä. algebra esitysryhmän tensorituloissa.
↑ "Jäljetön" ominaisuus voidaan ilmaista muodossa ( g = aika-avaruusmetriikka ) tai kentän esityksestä riippuen: kovariantti, seka ja kontravariantti, vastaavasti. $S_{\alpha \beta }g^{\alpha \beta }=0$ $S_{\alpha }^{\alpha }=0$ $S^{\alpha \beta }g_{\alpha \beta }=0$
↑ Tensorin symmetria ei seuraa suoraan Lagrangin lauseesta Noetherin lauseen avulla, vaan se voidaan symmetrisoida Belinfante-Rosenfeld energia-momenttitensoriksi .
↑ Tämä pariteetti on symmetria. Muuten olisi kaksi lajiketta, (32, 0) ja (0,32) analogisesti neutriinojen kanssa .
↑ Fysiikan ja matematiikan terminologia on erilainen. Artikkelissa (viittauksena) termillä projektiivinen esitys on hieman erilainen merkitys kuin fysiikassa, jossa projektitiivisella esityksellä tarkoitetaan peitteen paikallista osuutta peittävästä ryhmästä katettuun ryhmään, joka koostuu peittävän ryhmän oikeista esityksistä. . Koska tämä voidaan tehdä (paikallisesti) jatkuvasti kahdella tavalla, kuten alla on kuvattu, kaksoisesitysten terminologia on luonnollinen.
↑ Erityisesti A liikkuu Pauli-matriisien kanssa, joten Schurin lemma koskee kaikkia SU(2) .
↑ Mikä tarkoittaa, että ydin on triviaali. Tämän ymmärtämiseksi muistetaan, että Lie-algebran homeomorfismin ydin on ideaali ja siksi aliavaruus. Koska p on 2:1 ja sekä algebrat että SO(3; 1) + 6 ovat ulottuvuuksia , ytimen tulee olla 0 - ulotteinen eli {0}. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$
↑ Eksponentiaalinen kuvaus on yksi yhteen identtisyyselementin naapurustossa , ja siksi superpositio , jossa σ on Lie-algebran isomorfismi, on avoimessa naapurustossa, joka sisältää identiteettielementin. Tällainen naapurusto luo yhdistetyn komponentin. ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\exp \circ \sigma \circ \log :{\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\text{SO}}(3;1)^{+}$ ${\displaystyle U\subset \mathrm {SO} (3;1)^{+))$
↑ Rossmann, 2002 ; Osion 2.1 esimerkistä 4. Tämä voidaan ymmärtää seuraavalla tavalla. Matriisilla q on ominaisarvot {-1, -1}, mutta se ei ole diagonalisoitavissa . Jos q = exp( Q ) , niin Q :lla on ominaisarvot λ , − λ c jollekin k :lle , koska algebran elementeillä ei ole jälkiä. Mutta silloin Q on diagonalisoitava, mistä q on diagonalisoitavissa, saadaan ristiriita. $\lambda =i\pi +2{\pi }ik$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$
↑ Rossmann, 2002 , Proposition 10, kappale 6.3.. Yksinkertaisin todistus merkkiteorialla
↑ Mikä tahansa polkuun kytketyn ryhmän G diskreetti normaalialiryhmä sisältyy G :n keskustaan Z .
Hall, 2015 , Harjoitus 11, luku 1.
↑ Puoliyksinkertaisella Lie - ryhmällä ei ole epädiskreettiä normaalia Abelin - alaryhmää . Tämä voidaan pitää puoliyksinkertaisuuden määritelmänä.
↑ Yksinkertaisella ryhmällä ei ole ei-diskreettiä normaalia alaryhmää.
↑ . Sitä vastoin Weilin temppu, jota kutsutaan myös unitaariksi, mutta ei liity yllä kuvattuun unitaaritemppuun, osoittaa, että kaikki äärellisulotteiset esitykset ovat tai voidaan tehdä yhtenäisiksi. Jos (Π, V ) on äärellisulotteinen esitys kompaktista Lie-ryhmästä G ja jos ( , ) on jokin V :n sisätulo , määritellään uusi sisätulo , jossa μ on G : n Haar-mitta . Tällöin Π on unitaarinen suhteessa (·, ·) Π . Katso Hallin kirja ( Hall 2015 , Lause 4.28). ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )_{\Pi ))$ $(x,y)_{\Pi }=\int _{G}(\Pi (g)x,\Pi (g)yd\mu (g)$
Toinen seuraus on, että millä tahansa kompaktilla Lie-ryhmällä on täydellinen pelkistyvyysominaisuus , mikä tarkoittaa, että kaikki sen äärellisulotteiset esitykset hajoavat pelkistymättömien esitysten suoraksi summaksi. ( Hall 2015 , Määritelmä 4.24., Lause 4.28.)

On myös totta, että kompakteista Lie-ryhmistä ei ole olemassa äärettömän ulottuvuuden pelkistymättömiä unitaarisia esityksiä. Lausunto on esitetty ilman todisteita Greinerin ja Müllerin kirjassa ( Greiner, Müller 1994 , kohta 15.2.).
↑ Valhe, 2003 Lemma A.17(c). Kompaktijoukon suljettu osajoukko on kompakti.
↑ Valhe, 2003 Lemma A.17(a). Jos f : X → Y on jatkuva ja X on kompakti, niin f ( X ) on kompakti.
↑ Epäyksikköisyys on tärkeä komponentti Coleman-Mandula-lauseen todistuksessa , josta seuraa, että muuten ei-relativistisissa teorioissa ei voi olla olemassa eri spinien hiukkasten tavanomaisia symmetrioita. Katso Weinbergin artikkeli ( Weinberg 2000 )
↑ Tämä on yksi Cartanin lauseen , maksimipainolauseen, seurauksista.
Hall, 2015 , Lauseet 9.4–5.
↑ Hall, 2015 , Osa 8.2 Juurijärjestelmä on kahden A 1 :n kopion liitto , jossa kukin kopio on omissa mitoissaan sisäkkäisessä vektoriavaruudessa.
↑ Rossmann, 2002 ; Tämä määritelmä vastaa määritelmää yhdistetyn Lie-ryhmän suhteen, jonka Lie-algebra on juurijärjestelmän Lie-algebra.
↑ Katso Simmons 1972 , jakso 30. tarkat olosuhteet, joissa kaksi Frobenius-menetelmää antavat kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Jos eksponentit eivät eroa kokonaisluvulla, tämä tehdään aina.
↑ "Tämä on hyvin lähellä puoliyksinkertaisten ja pelkistyvien ryhmien äärettömän ulottuvuuden muunnosteorian lähdettä..." , Langlands ( Langlands 1985 , s. 204.). Leglands viittaa johdantohuomautukseen Diracin vuoden 1945 paperissa.
↑ Huomaa , että Hilbert-avaruuden H HS( H ) voidaan määrittää kanonisesti käyttämällä Hilbert-avaruuden H ja duaaliavaruuden tensorituloa .
↑ Jos äärellinen ulottuvuus vaaditaan, tulos on ( m , n ) esitykset, katso Tungin paperi ( Tung 1985 , Tehtävä 10.8). Jos mitään ei vaadita, saamme laajan luokituksen kaikista redusoitumattomista esityksistä, mukaan lukien äärellisulotteiset ja unitaariset esitykset. Tämä lähestymistapa on otettu Harish-Chandran paperissa ( Harish-Chandra 1947 ).

Lähteet

↑ 1 2 Bargmann, Wigner, 1948 .
↑ 1 2 Bekaert, Boulanger, 2006 .
↑ I. M. Gelfand , M. A. Naimark , Lorentz - ryhmän yhtenäiset edustukset , Izv . Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. Mat., 11:5 (1947), 411–504
↑ 1 2 Rossmann, 2002 , s. Kohta 6.1.
↑ Misner, Thorne, Wheeler, 1973 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 2.5, luku 5.
↑ Tung, 1985 , s. Kohdat 10.3, 10.5.
↑ Tung, 1985 , s. Kohta 10.4.
↑ 12 Dirac , 1945 .
↑ 1 2 3 4 5 Harish-Chandra, 1947 .
↑ Zwiebach, 2004 , s. Kohta 12.8..
↑ 1 2 Bekaert, Boulanger, 2006 , s. 48..
↑ Zwiebach, 2004 , s. Kohta 18.8.
↑ 1 2 Greiner, Reinhardt, 1996 , s. kappale 2.
↑ Weinberg, 2002 , s. Esipuhe ja johdanto luvulle 7.
↑ Weinberg, 2002 , s. Luvun 7 johdanto..
↑ Tung, 1985 , s. Määritelmä 10.11.
↑ Greiner ja Müller 1994 , s. luku 1.
↑ Greiner ja Müller 1994 , s. kappale 2.
↑ Tung, 1985 , s. 203.
↑ Delbourgo, Salam, Strathdee, 1967 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 3.3.
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 7.4..
↑ Tung, 1985 , s. Luvun 10 johdanto...
↑ Tung, 1985 , s. Määritelmä 10.12..
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälö 10.5-2..
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälöt 5.1.6-7..
↑ 1 2 Tung, 1985 , s. Yhtälö 10.5–18.
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälöt 5.1.11–12.
↑ Tung, 1985 , s. Kohta 10.5.3.
↑ Zwiebach, 2004 , s. Kohta 6.4.
↑ Zwiebach, 2004 , s. luku 7.
↑ Zwiebach, 2004 , s. Kohta 12.5.
↑ Weinberg, 2000 , s. Kohta 25.2..
↑ Zwiebach, 2004 , s. Viimeinen kappale, kohta 12.6.
↑ Nämä tosiasiat löytyvät useimmista matemaattisista ja fysikaalisista johdantoteksteistä. Katso esimerkiksi Rossmannin ( Rossmann 2002 ), Hallin ( Hall 2015 ) ja Tungin ( Tung 1985 ) kirjat.
↑ Hall, 2015 , s. Lause 4.34 ja sitä seuraava keskustelu.
↑ 1 2 3 4 Wigner, 1939 .
↑ Hall, 2015 , s. Liite D2.
↑ Greiner, Reinhardt, 1996 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Osio 2.6, luku 5.
↑ 1 2 Coleman, 1989 , s. kolmekymmentä.
↑ 12 valhetta , 1888 .
↑ Valhe, 1890 .
↑ Valhe, 1893 .
↑ Coleman, 1989 , s. 34.
↑ Tappaminen, 1888 .
↑ 12 Rossmann , 2002 .
↑ Cartan, 1913 .
↑ Green, 1998 , s. 76.
↑ Brauer, Weyl, 1935 .
↑ 1 2 Tung, 1985 , s. esittely.
↑ Weyl, 1931 .
↑ Weyl, 1939 .
↑ Langlands, 1985 , s. 203-205.
↑ Clauder, 1999 .
↑ 1 2 3 Bargmann, 1947 .
↑ Bargman oli myös matemaatikko . Hän työskenteli Albert Einsteinin assistenttina Princetonin Advanced Study -instituutissa ( Klauder (1999 )).
↑ Dalitz, Peierls, 1986 .
↑ Dirac, 1928 .
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälöt 5.6.7-8..
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälöt 5.6.9–11.
↑ 1 2 3 Hall, 2003 , s. Kappale 6.
↑ 1 2 3 4 5 Knapp, 2001 .
↑ Tämä on liite lauseeseen 10 Rossmannin artikkelista ( Rossmann 2002 , osio 6.3, lause 10.)
↑ 1 2 Knapp, 2001 , s. 32.
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälöt 5.6.16–17.
↑ Weinberg, 2002 , jakso 5.6; Tasa-arvo seuraa tasa-arvoista 5.6.7–8 ja 5.6.14–15
↑ Weinberg, 2000 , s. Kohta 25.2.
↑ 12 Tung , 1985 .
↑ Weinberg, 2002 , s. alaviite s. 232.
↑ Rossmann, 2002 , s. Kohta 2.5.
↑ Hall, 2015 , s. Lause 2.10.
↑ Bourbaki, 1998 , s. 424..
↑ Weinberg, 2002 , s. 88 Kohta 2.7.
↑ 1 2 3 4 5 Weinberg, 2002 , s. Kohta 2.7.
↑ Hall, 2015 , Liite C.3.
↑ Wigner, 1939 , s. 27..
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , s. Toisen osan 1 luvun 1 §:n 4 §.
↑ Rossmann, 2002 , s. Kohta 2.1.
↑ Hall, 2015 , Ensimmäiset yhtälöt osiossa 4.6..
↑ Hall, 2015 , s. Esimerkki 4.10.
↑ 1 2 Knapp, 2001 , s. kappale 2..
↑ Knapp, 2001 , s. Yhtälö 2.1.
↑ Hall, 2015 , s. Yhtälö 4.2..
↑ Hall, 2015 , s. Yhtälö ennen 4.5.
↑ Knapp, 2001 , s. Yhtälö 2.4.
↑ Knapp, 2001 , s. Kohta 2.3.
↑ Hall, 2015 , s. Lauseet 9.4-5.
↑ Weinberg, 2002 , s. luku 5.
↑ Hall, 2015 , s. Lause 10.18.
↑ Hall, 2003 , s. 235.
↑ Katso mitä tahansa ryhmäteorian perusteita käsittelevää tekstiä.
↑ Rossmann, 2002 , s. Ehdotukset 3 ja 6, kohta 2.5.
↑ Hall, 2003 , s. harjoitus 1, luku 6..
↑ Bekaert, Boulanger, 2006 , s. neljä.
↑ Hall, 2003 , s. Ehdotus 1.20.
↑ Valhe, 2003 , s. Lause 8.30..
↑ Weinberg, 2002 , s. 231 Kohta 5.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 5.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. 231.
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohdat 2.5, 5.7.
↑ Tung, 1985 , s. Kohta 10.5.
↑ Weinberg, 2002 ; Tämä on kuvattu (hyvin lyhyesti) sivulla 232, hieman enemmän kuin alaviite tässä.
↑ Hall, 2003 , s. Ehdotus 7.39.
↑ 1 2 Hall, 2003 , s. Lause 7.40.
↑ Hall, 2003 , s. Kohta 6.6.
↑ Hall, 2003 , s. Toinen kohta ehdotuksessa 4.5.
↑ Hall, 2003 , s. 219.
↑ Rossmann, 2002 , s. Harjoitus 3, §6.5.
↑ Olkoon H Hilbert-avaruus. Loppu H on H :hen vaikuttavien rajoitettujen lineaaristen operaattoreiden Banach-algebra . ( Uskova 2006 )
↑ Hall, 2003 , s. liite D.3.
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälö 5.4.8.
↑ 1 2 3 Weinberg, 2002 , s. Kohta 5.4.
↑ Weinberg, 2002 , s. 215-216.
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälö 5.4.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 5.7, 232–233.
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 5.7, 233.
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälö 2.6.5.
↑ Weinberg, 2002 , s. Seuraava yhtälö 2.6.6.
↑ Weinberg, 2002 , s. Kohta 2.6..
↑ Jos haluat yksityiskohtaisen keskustelun spin 0 -tapauksista,yksi2ja 1 katso Greinerin ja Reinhardtin kirja ( Greiner, Reinhardt 1996 ).
↑ Weinberg, 2002 , s. Luku 3.
↑ Rossmann, 2002 ; Katso osa 6.1 muita esimerkkejä sekä äärellisulotteisista että äärettömistä ulottuvuuksista.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 .
↑ Churchill, Brown, 2014 , s. Luku 8 s. 307-310..
↑ Gonzalez, Vasquez, 2014 , s. 3.
↑ Abramowitz, Stegun, 1965 , s. Yhtälö 15.6.5.
↑ Simmons, 1972 , s. Kohdat 30, 31...
↑ Simmons, 1972 , s. Kohdat 30..
↑ Simmons, 1972 , s. § 31..
↑ Simmons, 1972 , s. Yhtälö 11 liitteessä E, luvussa 5..
↑ 1 2 Gelfand, Naimark, 1947 .
↑ Langlands, 1985 , s. 205..
↑ Varadarajan, 1989 , s. Kohdat 3.1. 4.1.
↑ Dirac, 1936 .
↑ Fierz, 1939 .
↑ Fierz, Pauli, 1939 .
↑ Langlands, 1985 , s. 203.
↑ Harish-Chandra, 1951 .
↑ Gelfand, Graev, 1953 .
↑ Varadarajan, 1989 , s. Kohta 4.1.
↑ Rühl, 1970 .
↑ Takahashi, 1963 .
↑ Helgason, 1968 .
↑ Helgason, 2000 .
↑ Jorgenson, Lang, 2008 .
↑ Gelfand, Graev, Pyatetsky-Shapiro, 1966 .
↑ Knapp, 2001 , s. Luku II..
↑ 12 Taylor , 1986 .
↑ Knapp, 2001 , s. Luku 2. Yhtälö 2.12.
↑ Gelfand, Graev, 1953 .
↑ Takahashi, 1963 , s. 343..
↑ Knapp, 2001 , s. Yhtälö 2.24.
↑ Folland, 2015 , s. Kohta 3.1.
↑ Folland, 2015 , s. Lause 5.2.
↑ Tung, 1985 , s. Kohta 10.3.3.
↑ Harish-Chandra, 1947 , s. Alaviite s. 374.
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälöt 7.3–13, 7.3–14.
↑ Harish-Chandra, 1947 , s. Yhtälö 8.
↑ Hall, 2015 , s. Ehdotus C.7.
↑ Hall, 2015 , s. Liite C.2.
↑ Tung, 1985 , s. Vaihe II kohta 10.2.
↑ Tung, 1985 , yhtälöt 10.3; Clebsch–Gordan-kertoimien Tanga-merkintä poikkeaa tässä käytetyistä.
↑ Harish-Chandra, 1947 , s. 375.
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälö VII-3.
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälöt 10.3–5, 7, 8.
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälö VII-9..
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälöt VII-10, 11.
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälöt VII-12.
↑ Tung, 1985 , s. Yhtälöt VII-13..
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälö 2.4.12.
↑ Weinberg, 2002 , s. Yhtälöt 2.4.18–2.4.20.
↑ Weinberg, 2002 , s. Tasot 5.4.19, 5.4.20.

Kirjallisuus

Gonzalez PA, Vasquez Y. Dirac uudentyyppisten mustien reikien kvasinormaalit muodot uudessa massiivisessa painovoimassa // Eur. Phys. JC - Berlin Heidelberg: Springer, 2014. - T. 74:2969 . - S. 3 . — ISSN 1434-6044 . - doi : 10.1140/epjc/s10052-014-2969-1 . - . - arXiv : 1404.5371v2 .
Abramowitz M., Stegun IA Matemaattisten funktioiden käsikirja: kaavoilla, kaavioilla ja matemaattisilla taulukoilla . - New York: Dover Publications , 1965. - (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0486612720 .
Bargmann V. Lorenz-ryhmän redusoitumattomat yhtenäiset esitykset // Ann. of Math .. - 1947. - T. 48 , no. 3 . - S. 568-640 . - doi : 10.2307/1969129 . — . (ryhmien SO(2,1) ja SL(2, Resitysteoria ; toisessa osassa käsitellään SO(3; 1) ja SL(2, C), kuten johdannossa on kirjoitettu, mutta osa ei ole julkaistu).
Bargmann V., Wigner EP Ryhmän teoreettinen keskustelu relativistisista aaltoyhtälöistä . — Pros. Natl. Acad. sci. USA. - 1948. - T. 34. - S. 211-223. - doi : 10.1073/pnas.34.5.211 .
Bourbaki N. Valheryhmät ja valhealgebrat: luvut 1-3 . - Springer, 1998. - ISBN 978-3-540-64242-8 .
Brauer R. , Weyl H. Spinors n-mitoissa // Amer. J. Math .. - 1935. - T. 57 , no. 2 . - S. 425-449 . - doi : 10.2307/2371218 .
Bäuerle GGA, de Kerf EA Äärimmäisen ja äärettömän ulottuvuuden Lie-algebrat ja niiden soveltaminen fysiikassa / A. van Groesen, EM de Jager. - North-Holland, 1990. - Vol. 1. - (Studies in Matemaattinen fysiikka). — ISBN 0-444-88776-8 .
Bäuerle GGA, de Kerf EA, kymmenen Kroode APE Ääri- ja ääretön ulottuvuus Lie-algebraa ja niiden sovellus fysiikassa / A. van Groesen, EM de Jager. - North-Holland, 1997. - V. 7. - (Matemaattisen fysiikan opinnot). — ISBN 978-0-444-82836-1 .
Les groupes projectifs qui ne laissant invariante aucun multiplicité plane (Fr) // Bull. soc. Matematiikka.. - 1913. - T. 41 . - S. 53-96 .
Churchill RV, Brown JW:n monimutkaiset muuttujat ja sovellukset. – 9. — New York: McGraw–Hill, 2014. — ISBN 978-0073-383-170 .
Coleman AJ Kaikkien aikojen suurin matemaattinen kirja // Matemaattinen tiedustelu . - Springer-Verlag, 1989. - Voi. 11 , iss. 3 . - s. 29-38 . — ISSN 0343-6993 . - doi : 10.1007/BF03025189 .
Dalitz RH, Rudolf Peierls. Paul Adrien Maurice Dirac. 8. elokuuta 1902–20. lokakuuta 1984 // Biogr. Mem. Fellows R. Soc .. - 1986. - T. 32 . - S. 138-185 . - doi : 10.1098/rsbm.1986.0006 .
Delbourgo R., Salam A., Strathdee J. Harmoninen analyysi homogeenisen Lorentz-ryhmän kannalta // Physics Letters B. - 1967. - Vol. 25 , no. 3 . - S. 230-232 . - doi : 10.1016/0370-2693(67)90050-0 . - .
Dirac PAM Elektronin kvanttiteoria // Proc. Roy. soc. A. _ - 1928. - T. 117 , no. 778 . - S. 610-624 . - doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . - .
Dirac PAM Relativistiset aaltoyhtälöt // Proc. Roy. soc. A. _ - 1936. - T. 155 , no. 886 . - S. 447-459 . - doi : 10.1098/rspa.1936.0111 . - .
Dirac PAM Lorentz-ryhmän yhtenäiset edustukset // Proc. Roy. soc. A. _ - 1945. - T. 183 , no. 994 . - S. 284-295 . - doi : 10.1098/rspa.1945.0003 . - .
Dixmier J., Malliavin P. Factorisations de fonctions et de vecteurs indéfiniment différentiables (Fr) // Bull. Sc. Math.. - 1978. - T. 102 . - S. 305-330 .
Fierz M. Über die relativistische theorie Kräftefreier teilchen mit beliebigem spin (saksa) // Helv. Phys. acta. - 1939. - T. 12 , no. 1 . - S. 3-37 . - doi : 10.5169/tiivisteet-110930 .
Fierz M., Pauli W. Relativistisista aaltoyhtälöistä mielivaltaisen spinin hiukkasille sähkömagneettisessa kentässä // Proc. Roy. soc. A. _ - 1939. - T. 173 , no. 953 . - S. 211-232 . - doi : 10.1098/rspa.1939.0140 . - .
Folland G. Abstraktin harmonisen analyysin kurssi. – 2. - CRC Press , 2015. - ISBN 978-1498727136 .
Fulton W. , Harris J. Edustusteoria. Ensimmäinen kurssi. - New York: Springer-Verlag, 1991. - V. 129. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-0-387-97495-8 .
Gelfand I.M., Graev M.I. Yleisestä menetelmästä Lie-ryhmän säännöllisen esityksen hajottamiseksi redusoitumattomiksi esityksiksi // Neuvostoliiton tiedeakatemian raportit . - 1953. - T. 92 . - S. 221-224 .
Gel'fand I.M., Graev M.I., Vilenkin N. Ya. Luku IV Harmoninen analyysi toisen asteen kompleksisten unimodulaaristen matriisien ryhmästä // Integraaligeometria ja siihen liittyvät esitysteorian ongelmat. - M . : Valtio. Fysiikan ja matematiikan kustantaja. Lit-ry., 1962. - S. 276-288. — (Yleiset toiminnot).
Gel'fand I. M. , Graev M. I. , Pyatetsky-Shapiro I. I. Esitysteoria ja automorfiset funktiot. - "Nauka" Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1966. - (Yleisfunktiot).
Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. Rotaatioryhmien ja Lorentz-ryhmien esitykset, niiden sovellukset. - M .: Nauka, 1958.
Gelfand IM , Naimark MA Lorentz-ryhmän yhtenäiset edustukset . - Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemian ser. Mat.. - 1947. - T. 11. - S. 411-504.
Richard Dagobert Brauer // Elämäkerralliset muistelmat . - National Academy Press, 1998. - T. 75. - S. 70-95. — (Elämänkerralliset muistelmat). — ISBN 978-0309062954 .
Greiner W. , Müller B. Quantum Mechanics: Symmetries. - Springer, 1994. - ISBN 978-3540580805 .
Greiner W. , Reinhardt J. Field Quantization. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-59179-6 .
Harish Chandra. Lorentz-ryhmän äärettömät pelkistymättömät esitykset // Proc. Roy. soc. A. _ - 1947. - T. 189 , no. 1018 . - S. 372-401 . - doi : 10.1098/rspa.1947.0047 . - .
Harish Chandra. Plancherel-kaava monimutkaisille puoliyksinkertaisille valheryhmille // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1951. - T. 37 , no. 12 . - S. 813-818 . - doi : 10.1073/pnas.37.12.813 . - .
Brian C Hall. Valheryhmät, valhealgebrat ja esitykset: perusjohdanto. – 1. - Springer, 2003. - V. 222. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 0-387-40122-9 .
Brian C Hall. Valheryhmät, valhealgebrat ja esitykset: alkeisjohdanto. – 2. - Springer, 2015. - V. 222. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-3319134666 . - doi : 10.1007/978-3-319-13467-3 .
Helgason S. Valheryhmät ja symmetriset tilat. - Benjamin, 1968. - S. 1-71. - (Batelle Rencontres). (Yleinen johdanto fyysikoille)
Helgason S. Ryhmät ja geometrinen analyysi. Integraaligeometria, muuttumattomat differentiaalioperaattorit ja pallofunktiot (korjattu uusintapainos vuoden 1984 alkuperäisestä). - American Mathematical Society, 2000. - V. 83. - (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-2673-5 .
Jorgenson J., Lang S. Lämpöydin ja theta inversio SL(2, C ). - Springer, 2008. - (Springerin monografioita matematiikassa). - ISBN 978-0-387-38031-5 .
Wilhelm Killing . Die Zusammensetzung der stetigen/endlichen Transformationsgruppen (saksa) // Mathematische Annalen. - 1888. - T. 31 , no. 2 (kesäkuu) . - S. 252-290 . - doi : 10.1007/bf01211904 .
Johdatus valheryhmiin ja valhealgebroihin . - Cambridge University Press, 2008. - V. 113. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0521889698 .

Klauder JR:n elämäkerralliset muistelmat . - National Academy Press, 1999. - T. 76. - S. 37-50. — (Elämänkerralliset muistelmat). - ISBN 0-309-06434-1 .
Anthony W. Knapp. Puoliyksinkertaisten ryhmien esitysteoria. Esimerkkeihin perustuva katsaus. - Princeton University Press, 2001. - (Princeton Landmarks in Mathematics). — ISBN 0-691-09089-0 . (Perusjohdanto ryhmään SL(2, C ))
Langlands RP Harish-Chandra // Biogr. Mems Fell .. - R. Soc., 1985. - T. 31 . - S. 198-225 . - doi : 10.1098/rsbm.1985.0008 .
Sophus Lie . Johdatus Smooth-jakotukiin. - 2003. - T. 218. - (Springer Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-95448-1 .
Sophus Lie . Theorie der Transformationsgruppen I (1888), II (1890), III (1893). – 1888.
Sophus Lie . Theorie der Transformationsgruppen II (1890). – 1890.
Sophus Lie . Theorie der Transformationsgruppen III (1893). – 1893.
Charles W. Misner , Kip. S. Thorne , John A. Wheeler . Painovoima . - W.H. Freeman, 1973. - ISBN 0-7167-0344-0 .
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 1.
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3.
- Mizner Ch., Thorn K., Wheeler J. Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 1.

Naimark M. A. Lorentz-ryhmän lineaariset esitykset. - M . : Valtio. Physico-Math Literaturesta, 1958.
Wolf Rossmann. Valheryhmät – johdanto lineaaristen ryhmien kautta. - Oxford Science Publications, 2002. - (Oxford Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0 19 859683 9 .
Rühl W. Lorentzin ryhmä ja harmoninen analyysi. - Benjamin, 1970. (Yksityiskohtainen esitys fyysikoille)
Simmons G.F. Differentiaaliyhtälöt sovelluksilla ja historiallisilla huomautuksilla. - TM H. - Uusi Dheli: Tata McGra–Hill Publishing Company Ltd , 1972. - ISBN 0-07-099572-9 .
Elias M. Stein. Ryhmäesitysten analyyttinen jatko // Matematiikan edistysaskel .. - 1970. - T. 4 . - S. 172-207 . - doi : 10.1016/0001-8708(70)90022-8 . (James Whitmoren luento Yalen yliopistossa vuonna 1967)

Takahashi R. Sur les représentations unitaires des groupes de Lorentz généralisés (Fr) // Tiedote. soc. Matematiikka. Ranska. - 1963. - T. 91 . - S. 289-433 .
Taylor ME Luku 9, SL(2, C ) ja yleisemmät Lorentz-ryhmät // Noncommutative harmonic analysis. - American Mathematical Society, 1986. - V. 22. - (Mathematical Surveys and Monographs). - ISBN 0-8218-1523-7 .
Wu Ki Tung. Fysiikan ryhmäteoria. — New Jersey London Singapore Hong Kong: World Scientific , 1985. — ISBN 978-9971966577 .
Varadarajan VS Johdatus puoliyksinkertaisten valheryhmien harmoniseen analyysiin. - Cambridge University Press , 1989. - ISBN 978-0521663625 .
Weinberg S. Säätiöt. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - Vol. 1. - (The Quantum Theory of Fields). — ISBN 0-521-55001-7 .
Weinberg S. Supersymmetria. – 1. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000. - V. 3. - (The Quantum Theory of Fields). — ISBN 978-0521670555 .
Weyl H. Klassiset ryhmät. Niiden invariantit ja esitykset . - Princeton University Press , 1939. - ISBN 978-0-691-05756-9 .
Weyl H. Ryhmien teoria ja kvanttimekaniikka. - Dover, 1931. - ISBN 0-486-60269-9 .
Wigner EP Epähomogeenisen Lorentz-ryhmän yhtenäisistä esityksistä // Annals of Mathematics . - 1939. - T. 40 , no. 1 . - S. 149 204 . - doi : 10.2307/1968551 . - . .
Zwiebach B. Ensimmäinen jousiteorian kurssi. - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0 521 83143 1 .
Uskova N.B. Puoliyksinkertaisen ominaisarvon approksimaatiosta // VESTNIK VGU. - 2006. - Ongelma. 1 .
Lomsadze Yu. M. Ryhmäteoreettinen johdatus alkuainehiukkasten teoriaan. - M . : Korkeakoulu, 1962. - 186 s. - 13 000 kappaletta.