Valheryhmän edustus

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. lokakuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Lie-ryhmän esitys on Lie-ryhmän lineaarinen toiminta vektoriavaruudessa tai vastaavasti Lie-ryhmän tasainen homomorfismi käännettävien operaattorien ryhmäksi vektoriavaruudessa. Sillä on tärkeä rooli jatkuvan symmetrian tutkimuksessa matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa [1] . Lie-ryhmien esityksiä on tutkittu melko hyvin, pääasiallinen työkalu niiden tutkimiseen on vastaavien Lie-algebroiden "infinitesimaalien" esitysten käyttö.

Äärillisulotteiset esitykset

Näkymät

Tarkastellaan ensin Lie-ryhmien esityksiä, jotka vaikuttavat äärellisulotteiseen vektoriavaruuteen kompleksilukukentän yli . (Joskus otetaan huomioon myös esitykset avaruudessa reaalilukukentän yläpuolella.) Lie - ryhmän esitys -ulotteisessa vektoriavaruudessa over on silloin tasainen ryhmähomomorfismi $\mathbb {C}$ $G$ $n$ $V$ $\mathbb {C}$

\Pi :G\rightarrow \operaattorinimi {GL} (V)

missä on kaikkien palautuvien lineaaristen muunnosten koko lineaarinen ryhmä koostumuksen suhteen. Koska kaikki -ulotteiset avaruudet ovat isomorfisia, ryhmä voidaan tunnistaa käännettävien kompleksimatriisien ryhmään , jota yleensä kutsutaan nimellä . Kuvauksen tasaisuus voidaan korvata heikommalla jatkuvuusehdolla, koska mikä tahansa jatkuva homomorfismi on automaattisesti tasainen. ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {GL} (V)}$ $V$ $n$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {GL} (V)}$ $n\ kertaa n$ $\operaattorinimi {GL} (n;\mathbb {C} ).$ $\Pi$

Toisella tavalla Lie-ryhmän esittämisen sijaan voidaan puhua lineaarisesta toiminnasta vektoriavaruudessa . Sitten ryhmän elementin toiminnan sijasta vektorissa merkitään yksinkertaisesti . $G$ $G$ $V$ ${\näyttötyyli \Pi (g)v}$ $g\in G$ $v\in V$ $g\cdot v$

Tyypillinen tilanne esitysten syntymiselle fysiikassa on lineaarisen osittaisdifferentiaaliyhtälön tutkiminen symmetriaryhmän kanssa . Vaikka yhtälön yksittäiset ratkaisut eivät välttämättä ole invariantteja alla , kaikkien ratkaisujen avaruus on invariantti alla . Siten se muodostaa esityksen . Katso alla oleva esimerkki. $G$ $G$ $V$ $G$ $V$ $G$ $SO(3)$

Perusmääritelmät

Jos homomorfismi on injektiivinen (eli monomorfismi ), niin esityksen sanotaan olevan tarkka . $\Pi$

Jos valitaan peruste kompleksiselle vektoriavaruudelle , niin esitys voidaan ilmaista homomorfismina yleisen lineaarisen ryhmän kanssa . Tämä on niin kutsuttu matriisiesitys . Kaksi vektoriavaruudessa olevaa esitystä ovat ekvivalentteja, jos niillä on samat matriisiesitykset jollekin emäksille ja . $V$ $\operaattorin nimi {GL} (n;\mathbb {C} )$ $G$ $V$ $W$ $V$ $W$

Avaruuden aliavaruutta kutsutaan invariantiksi aliavaruudeksi esityksen suhteen, jos kaikille ja . Esityksen sanotaan olevan redusoitumaton , jos ainoat muuttumattomat aliavaruudet ovat nollaavaruus ja itse . Tietyntyyppisillä Lie-ryhmillä, nimittäin kompakteilla ja puoliyksinkertaisilla ryhmillä, on ominaisuus, joka tunnetaan nimellä täydellinen pelkistyvyys : ryhmän sanotaan olevan täysin pelkistävissä , jos jokainen sen äärellisulotteinen esitys hajoaa pelkistymättömien esitysten suoraksi summaksi. Tällaisille ryhmille esitysteorian päätavoite on luokitella kaikki tietyn ryhmän äärellisulotteiset pelkistymättömät esitykset isomorfismiin asti (katso luokitteluosa alla.) $W$ $V$ $\Pi :G\rightarrow \operaattorinimi {GL} (V)$ $\Pi (g)w\in W$ $g\in G$ $w\in W$ $V$ $V$

Yksittäinen esitys äärellisulotteisessa euklidisessa tai hermiitisessä avaruudessa määritellään samalla tavalla, vain sekartoitetaan unitaaristen operaattorien ryhmään . Joson kompakti Lie-ryhmä , niin jokainen äärellisulotteinen esitys vastaa unitaarista esitystapaa. $\Pi$ $G$

Lie algebran esitykset

Jokainen Lie-ryhmän esitys luo esityksen sen Lie-algebrastaan; tätä kirjeenvaihtoa käsitellään yksityiskohtaisesti seuraavissa osissa. Katso Lie-algebran esitys Lie-algebrateoriasta. $G$

Esimerkki: kiertoryhmä SO(3)

Kvanttimekaniikassa kiinteällä Schrödingerin yhtälöllä on tärkeä rooli . Kolmiulotteisessa tapauksessa, jos sillä on kiertosymmetria, niin ratkaisuavaruus on muuttumaton toiminnon alla . Siten - jokaiselle tietylle arvolle - muodostaa esityksen , joka yleensä osoittautuu äärellisulotteiseksi. Siksi kun yritetään ratkaista yhtälöä, tieto siitä, miltä kaikki mahdolliset äärellisulotteiset esitykset näyttävät, auttaa . Esitysteorialla on keskeinen rooli esimerkiksi vetyatomin matemaattisen mallin rakentamisessa . [2] ${\hat {H}}\psi =E\psi$ ${\hattu {H}}$ $V_{E}$ ${\hat {H}}\psi =E\psi$ $SO(3)$ $V_{E}$ $E$ $SO(3)$ $SO(3)$ $SO(3)$

Jokainen kvanttimekaniikan standardioppikirja sisältää äärellisulotteisten pelkistymättömien esitysten luokituksen käyttämällä Lie-algebraa. (Kulmamomenttioperaattoreiden väliset kommutaatiosuhteet ovat yksinkertaisesti Lie-ryhmää vastaavan Lie-algebran suhteita .) Yksi hienous on, että ryhmä- ja Lie-algebran esitykset eivät ole yksi-yhteen-vastaavuudessa, mikä on ratkaisevan tärkeää ymmärtämisen kannalta. kokonaisluvun spinin ja puolikokonaisluvun spinin välinen ero . $SO(3)$ ${\mathfrak {niin}}(3)$ $SO(3)$

Säännölliset esitykset

Kiertoryhmä SO(3) on kompakti Lie-ryhmä, ja siksi jokainen äärellisulotteinen esitys hajoaa pelkistymättömien esitysten suoraksi summaksi. Ryhmällä on yksi redusoitumaton esitys jokaisessa parittomassa ulottuvuudessa. Jokaiselle ei-negatiiviselle kokonaisluvulle voidaan toteuttaa pelkistymätön ulottuvuusesitys homogeenisten harmonisten polynomien avaruudena asteina . Tässä toiminto nousee funktioihin normaalista tavasta: $SO(3)$ $SO(3)$ $k$ $2k+1$ $V_{k}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $k$ $SO(3)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $V_{k}$

(\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operaattorinimi {SO} (3).

Elementtien yksikköpallon rajoitteena ovat asteen pallomaiset harmoniset . $S^{2}$ $V_{k}$ $k$

Jos esimerkiksi , niin kaikki ensimmäisen asteen homogeeniset polynomit ovat harmonisia, ja saadaan kolmiulotteinen avaruus , jonka muodostavat lineaariset muodot , ja . Jos , avaruuden muodostavat , , , , ja . $k = 1$ $V_{1}$ $x$ $y$ $z$ $k = 2$ $V_{2}$ $xy$ $xz$ $yz$ $x^{2}-y^{2}$ $x^{2}-z^{2}$

Kuten edellä todettiin, äärellisulotteiset esitykset syntyvät luonnollisesti tutkittaessa paikallaan olevaa Schrödingerin yhtälöä pallosymmetriselle potentiaalille, kuten vetyatomille , ongelman pyörimissymmetrian heijastuksena. (Katso pallomaisten harmonisten rooli vedyn matemaattisessa analyysissä .) $SO(3)$

Projektiiviset esitykset

Jos tarkastellaan Lie - ryhmän Lie - algebraa , tämä Lie - algebra on isomorfinen Lie - ryhmää vastaavan Lie - algebraan nähden . Edustusteorian mukaan kussakin ulottuvuudessa on yksi pelkistymätön esitys . Pariulotteiset esitykset eivät kuitenkaan vastaa ryhmäesityksiä . Nämä ns. spinoriesitykset vastaavat kuitenkin projektiivisia esityksiä . Nämä esitykset syntyvät puolikokonaisluvun spinin omaavien hiukkasten, kuten elektronin, kvanttimekaniikassa. ${\mathfrak {niin}}(3)$ $SO(3)$ ${\mathfrak {su}}(2)$ $SU(2)$ ${\mathfrak {niin}}(3)$ $SO(3)$

Esitysten operaatiot

Tässä osiossa kuvataan kolme näkymien perustoimintoa. Katso myös vastaavat konstruktit Lie - algebran esityksille .

Esitysten suorat summat

Jos meillä on kaksi esitystä ryhmästä ja , niin suoralla summalla on kantavektoriavaruus, jolloin ryhmätoiminto antaa $G$ $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ $V_{1}\oplus V_{2}$

\Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),

kaikille ja . $v_{1}\in V_{1},$ $v_{2}\in V_{2}$ $g\in G$

Tietyntyyppisillä Lie-ryhmillä – erityisesti kompakteilla Lie-ryhmillä – on se ominaisuus, että jokainen äärellisulotteinen esitys on isomorfinen pelkistymättömien esitysten suoralle summalle. Tällaisissa tapauksissa esitysten luokittelu supistuu redusoitumattomien esitysten luokitukseksi. Katso Weilin täydellinen pelkistyvyyslause .

Esitysten tensorituotteet

Jos meillä on kaksi esitystä ryhmästä , ja , niin esitysten tensoritulolla on tensoritulovektoriavaruus sen perusvektoriavaruudena, ja toiminto määräytyy yksiselitteisesti sillä oletuksella, että $G$ $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ $V_{1}\otimes V_{2}$ $G$

\Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{ 2})

kaikille ja . Eli niin sanotusti . $v_{1}\in V_{1}$ $v_{2}\in V_{2}$ $\Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$

Lie-algebran esitys , joka liittyy tensorituloesitykseen , saadaan seuraavasti: $\pi$ $\Pi$

\pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).

Kahden redusoitumattoman esityksen tensoritulo ei yleensä ole redusoitumaton; esitysteorian päätehtävä on hajottaa redusoitumattomien esitysten tensoritulot redusoitumattomien aliavaruuksien suoraksi summaksi. Tätä ongelmaa kutsutaan fysiikan kirjallisuudessa kulmamomenttilisäykseksi tai Clebsch-Gordanin teoriaksi .

Kaksoisesitys

Antaa olla Lie ryhmä, ja olla edustus . Antaa olla kaksoisavaruus, eli tila lineaaristen funktionaalisten funktioiden päällä . Sitten voimme määritellä esityksen kaavalla $G$ $\Pi :G\rightarrow GL(V)$ $G$ $V^*$ $V$ $\Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})$

\Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operaattorin nimi {tr} },

jossa mille tahansa operaattorille liitännäisoperaattori määritellään seuraavasti: $A:V\rightarrow V$ $A^{\operaattorin nimi {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$

(A^{\operaattorinimi {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).

(Kiinteällä pohjalla tämä on vain tavallinen matriisin transponointi .) Käänteisen ottaminen määritelmässä on välttämätöntä, jotta se todella osoittautuisi esitykseksi , koska identiteetissä tapahtuu muutos tekijöiden paikoissa ja ilman käänteistä se ei olisi homomorfismi, vaan antihomomorfismi. $A^{\operaattorin nimi {tr} }$ $A$ $\Pi ^{*}$ $\Pi ^{*}$ $G$ $(AB)^{\operaattorin nimi {tr} }=B^{\operaattorin nimi {tr} }A^{\operaattorin nimi {tr)) }$

Pelkistymättömän esityksen duaali on aina redusoitumaton, mutta se voi olla tai ei ole isomorfinen alkuperäisen esityksen kanssa. Esimerkiksi ryhmän tapauksessa pelkistymättömät esitykset vastaavat ei- negatiivisten kokonaislukujen pareja. Vastaava kaksoisesitys on esitys, joka vastaa . $SU(3)$ ${\näyttötyyli (m_{1}, m_{2})}$ ${\näyttötyyli (m_{1}, m_{2})}$ ${\näyttötyyli (m_{2},m_{1})}$

Lie-ryhmän ja sen Lie-algebran esitykset

Yleiskatsaus

Yleensä Lie-ryhmän esityksiä on kätevää tutkia tutkimalla sen tangentin Lie-algebran esityksiä. Yleisessä tapauksessa kaikki Lie-algebran esitykset eivät kuitenkaan tule ryhmäesittelystä. Tämä tosiasia on esimerkiksi perustana erolle kokonaislukujen ja puolikokoisten lukujen spinien välillä kvanttimekaniikassa. Toisaalta, jos on yksinkertaisesti yhdistetty ryhmä , niin on olemassa lause, jonka mukaan ryhmän ja Lie-algebran esitysten välinen vastaavuus on yksi yhteen. $G$

Olkoon G Lie-ryhmä, jossa on Lie-algebra, ja olkoon tämän algebran esitys . Lie-vastaavuutta voidaan käyttää ryhmän G yhdistetyn komponenttiesityksen saamiseksi. Karkeasti sanottuna tämä saavutetaan ottamalla eksponentiaali Lie-algebran esitysmatriiseista. Hienovaraisuutta syntyy, jos G ei ole yksinkertaisesti yhdistetty - silloin syntyy projektitiivisia esityksiä ; nämä ovat esityksiä yleisestä peittoryhmästä G . $\mathfrak g$ $\pi$

Näitä tuloksia selitetään tarkemmin alla.

Lie-vastaavuus antaa tuloksia vain yhdistetyille ryhmän komponenteille, joten koko ryhmän esityksen määrittämiseksi on tarpeen määrittää jokaiselle komponentille edustaja. Ne muodostavat (edustavat) nollahomotopiaryhmän G . Esimerkiksi nelikomponenttisessa Lorentz-ryhmässä tilan ja ajan käänteisen symmetrian edustajat on syötettävä manuaalisesti .

Eksponentiaalinen kartoitus

Jos on Lie-ryhmä, jossa on Lie-algebra , niin meillä on eksponentiaalinen kuvaus kohteesta - , joka on kirjoitettu muodossa $G$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $G$

X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g)).

Jos on matriisi Lie-ryhmä, niin lauseke voidaan laskea tavanomaisella eksponentin potenssisarjalla. Jokaisessa Lie-ryhmässä on yhtenäisyyden naapurusto ja nollan naapurusto siten, että jokainen in voidaan kirjoittaa yksilöllisesti kuten . Toisin sanoen eksponentiaalinen kartoitus on paikallisesti käännettävä. Useimmissa ryhmissä tämä on vain paikallinen omaisuus; eli eksponentiaalinen kartoitus ei yleensä ole bijektio eikä surjektio. $G$ $e^{X}$ $U$ $G$ $V$ $\mathfrak g$ $g$ $U$ $g=e^{X}$ $X\in V$

Lie algebran esitykset ryhmäesittelyistä

Lie-ryhmän G esityksestä on aina mahdollista siirtyä sen Lie-algebran esitykseen . Jos on ryhmäesitys jollekin vektoriavaruudelle V , niin sen differentiaali eli Lie-kartta on Lie-algebran esitys. Se annetaan eksplisiittisellä kaavalla $\mathfrak{g}$ $\Pi :G\to GL(V)$ $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V$

\pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})\right|_{t=0},\quad X\in {\mathfrak { g}}.

Pääominaisuus sitoo ja käyttää eksponentiaalista kartoitusta: $\Pi$ $\pi$

\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.

Kysymys, jota haluamme tutkia, on, syntyykö kukin esitys siis ryhmän esityksistä . Kuten tulemme näkemään, tämä tapahtuu silloin, kun se on yksinkertaisesti kytketty. $\mathfrak g$ $G$ $G$

Ryhmäesitykset Lie algebran esityksistä

Tämän osion päätulos on seuraava:

Lause : jos on yksinkertaisesti kytketty, niin jokainen Lie-algebran esitys vastaa , tulee esityksestä .

G

\pi

\mathfrak g

G

\Pi

G

Tästä on helppo päätellä:

Johtopäätös : jos se on yhdistetty, mutta ei yksinkertaisesti kytketty, niin kukin algebran esitys tulee ryhmän esityksestä - yleisestä peitteestä . Jos redusoitumaton, laskeutuu projektitiivisiin esityksiin . Projektiivinen esitys on sellainen, jossa jokainen on määritelty vain vakiolla kertomiseen asti. Kvanttifysiikassa on luonnollista sallia projektiiviset esitykset tavallisten lisäksi, koska tilat määritellään todella vain vakiolla kertomiseen asti (eli jos on vektori kvantissa

G

\pi

\mathfrak g

\Pi

\ tilde G

G

\pi

\Pi

G

\Pi (g),\,g\in G,

\psi

Hilbert-avaruus edustaa sitten samaa fyysistä tilaa kaikille nollasta poikkeaville arvoille .) Jokainen äärellisulotteinen projektiiivinen esitys yhdistetystä Lie-ryhmästä tulee tavanomaisesta yleisen peitteen esityksestä . Päinvastoin, kuten alla kerromme, jokainen redusoitumaton tavallinen esitys pelkistyy projektiiviseksi esitykseksi . Fysiikan kirjallisuudessa projektiiviset esitykset kuvataan usein moniarvoisiksi esityksiksi (eli jokaisella ei ole yhtä arvoa, vaan kokonainen arvoperhe). Tämä ilmiö on tärkeä kvanttimekaniikan murto-spin tutkimukselle. $c\psi$ $c$ $G$ $\ tilde G$ $G$ $\ tilde G$ $G$ ${\näyttötyyli \Pi (g)}$

Seuraava on todiste edellä esitetyistä tärkeimmistä tuloksista. Olkoon esitys vektoriavaruudessa V . Jos sitä vastaava Lie-ryhmäesitys on olemassa , sen on täytettävä edellisen alaluvun eksponentiaalinen relaatio. Sitten, koska eksponentiaali on paikallisesti käännettävä, voidaan määrittää kuvaus yksikön naapurustosta tämän suhteen käyttöön: $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ $\mathfrak g$ $\Pi$ $\Pi$ $U$ $G$

\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.

Avainkysymys on sitten: onko tämä paikallisesti määritelty kartoitus "paikallinen homomorfismi"? (Tämä kysymys on järkevä myös siinä erityistapauksessa, jossa eksponentiaalinen kartoitus on globaalisti bijektiivinen, koska siinä tapauksessa, vaikka se on määritelty globaalisti, ei ole selvää, miksi se olisi homomorfismi.) Vastaus tähän kysymykseen on kyllä : paikallinen homomorfismi, ja tämä voidaan todeta käyttämällä Baker-Campbell-Hausdorffin kaavaa . $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Jos se on yhdistetty, niin jokainen elementti on vähintään elementtien eksponentien tulo . Voit siis yrittää määritellä globaalisti seuraavasti. $G$ $G$ $\mathfrak g$ $\Pi$

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{X})&\equiv e^{\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g)),\quad g=e^ {X}\in \operaattorinimi {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \operaattorinimi {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\ kohteessa \operaattorinimi {im} (\exp ).\end{aligned}}

Tietyn ryhmäelementin esitys eksponentiaalien tulona ei kuitenkaan ole mitenkään ainutlaatuinen, joten ei ole vielä selvää, miksi se itse asiassa on määritelty oikein. $\Pi$

Ratkaistaksemme kysymyksen siitä, onko määritetty oikein , voimme yhdistää jokaisen ryhmän elementin yksikköön jatkuvalla polulla. Tämän jälkeen voit määrittää polun varrella ja näyttää, että arvo pysyy samana, kun polkua jatkuvasti muuttaa muotoaan kiinteillä päillä. $\Pi$ $g\in G$ $\Pi$ ${\näyttötyyli \Pi (g)}$

Jos on yksinkertaisesti yhdistetty, niin mikä tahansa polku, joka alkaa luvusta 1 ja päättyy kohtaan , voidaan jatkuvasti muuttaa muuksi sellaiseksi poluksi, mikä osoittaa, että se on täysin riippumaton polun valinnasta. $G$ $g$ ${\näyttötyyli \Pi (g)}$

Jos ei yksinkertaisesti liitetty, voimme soveltaa yllä olevaa menettelyä yleiseen päällysteeseen . Olkoon päällysteen kartoitus. Jos ydin sisältää ytimen , laskeutuu edustamaan alkuperäistä ryhmää . Vaikka näin ei olisikaan, voidaan nähdä, että ydin on erillinen normaali alaryhmä , ja siksi se sijaitsee :n keskellä . Siksi, jos se on redusoitumaton, niin Schur-lemman mukaan ydin toimii kertomalla skalaarilla. Laskeutuu siis projektiiviseen esitykseen , eli sellaiseen, joka on määritelty vain skalaarilla kertomiseen asti. $G$ $\ tilde G$ $p:{\tilde {G}}\rightarrow G$ $\Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ $s$ $\Pi$ $G$ $s$ $\ tilde G$ $\ tilde G$ $\pi$ $s$ $\Pi$ $G$

Esimerkiksi kaksinkertaisesti kytketyn ryhmän SO(3, 1) + erikoistapauksessa universaali peittoryhmä on , ja sen esitys on tarkka silloin ja vain, jos vastaava esitys on projektiivinen . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\Pi$

Luokittelu kompaktissa tapauksessa

Jos on yhdistetty kompakti Lie-ryhmä, niin sen äärellisulotteiset esitykset hajoavat redusoitumattomien esitysten suoraksi summaksi. [3] Pelkistymättömät elementit luokitellaan käyttämällä korkeimman painon teoriaa . Tässä annamme lyhyen kuvauksen tästä teoriasta; Katso lisätietoja liitetyn kompaktin Lie-ryhmän esitysteoriasta ja puoliyksinkertaisten Lie-algebroiden esitykset luokittelevasta rinnakkaisteoriasta . $G$

Antaa olla suurin torus sisään . Schur lemman mukaan redusoitumattomat esitykset ovat yksiulotteisia. Nämä esitykset voidaan helposti luokitella ja jokaiselle voidaan antaa tietty painoarvo . Antaa olla redusoitumaton esitys , Sitten rajoitus ei yleensä ole redusoitumaton, mutta hajoaa suorana summana redusoitumattomista esityksistä , merkitty asianmukaisilla painoilla. (Sama paino voi esiintyä useammin kuin kerran.) Kiinteälle :lle yksi painoista voidaan määrittää suurimmaksi , ja esitykset luokitellaan sitten suurimman painon mukaan. $T$ $G$ $T$ $\Sigma$ $G$ $\Sigma$ $T$ $T$ $\Sigma$

Tärkeä näkökohta esitysteoriassa on siihen liittyvä merkkiteoria . Lie-ryhmän esityksen luonne on säännön määräämä funktio $\Sigma$ $G$ $\chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C}$

\chi _{G}(g)=\operaattorin nimi {trace} (\Sigma (g)).

Osoittautuu, että mitkä tahansa kaksi esitystä, joissa on samat merkit, ovat isomorfisia. Lisäksi Weylin kaavan avulla voimme löytää esityksen luonteen sen suurimmalla painoarvolla. Tämä kaava ei ainoastaan anna paljon hyödyllistä tietoa esityksestä, vaan sillä on myös ratkaiseva rooli suurimman painon lauseen todistuksessa.

Unitaariset esitykset Hilbert-avaruudessa

Antaa olla monimutkainen Hilbert-avaruus, joka voi olla ääretön-ulotteinen, ja anna merkitä yhtenäisten operaattoreiden ryhmää . Tällöin Lie-ryhmän unitaarinen esitys on Lie-ryhmien homomorfismi siten , että jokaiselle kiinteälle kuvaukselle $V$ $U(V)$ $V$ $G$ $V$ $\Pi :G\rightarrow U(V)$ $v\in V$

g\mapsto \Pi (g)v

on jatkuva kartoitus . $G$ $V$

Äärillisulotteiset unitaariesitykset

Jos Hilbert-avaruus on äärellisulotteinen, voimme tarkastella Lie-algebran vastaavaa esitystä, joka vastaa . Jos on kytketty, niin esitys on yhtenäinen silloin ja vain, jos se on vinossa-itse-adjoint jokaiselle . $V$ $\pi$ $\mathfrak g$ $G$ $G$ $\Pi$ $G$ ${\näyttötyyli \pi (X)}$ $X\in {\mathfrak {g))$

Jos on kompakti, niin jokainen Lie-ryhmän esitys äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa on unitarisoitavissa , mikä tarkoittaa, että voidaan valita hermiittinen tulo siten , että jokainen on unitaarinen. $G$ $\Pi$ $G$ $V$ $V$ $\Pi (g),\,g\in G$

Äärettömän ulottuvuuden unitaariesitykset

Jos äärettömät Hilbert-avaruudet sallitaan, unitaaristen esitysten tutkimiseen liittyy useita mielenkiintoisia piirteitä, joita ei ole äärellisulotteisessa tapauksessa. Esimerkiksi sopivan esityksen rakentamisesta Lie-algebralle tulee teknisesti vaikea tehtävä. Eräs hyvin tutkittu tapaus on puoliyksinkertaisen (tai pelkistävän) Lie-ryhmän tapaus, jossa Lie-algebran vastaava esitys muodostaa (g,K)-moduulin . $\mathfrak g$

Esimerkkejä unitaarisista esityksistä syntyy kvanttimekaniikassa ja kvanttikenttäteoriassa, mutta myös Fourier-analyysissä , kuten seuraavassa esimerkissä näkyy. Olkoon , ja kuulukoon kompleksinen Hilbert -avaruus luokkaan . Sitten esitys voidaan määritellä muodossa $G=\mathbb {R}$ $V$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $\psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))$

[\psi (a)(f)](x)=f(xa).

Tässä on joitain tärkeitä esimerkkejä, joissa Lie-ryhmän yhtenäisiä esityksiä on analysoitu.

Stone–von Neumann -lause voidaan ymmärtää luokituksena Heisenberg-ryhmän pelkistymättömille unitaarisille esityksille .
Wigner-luokittelulla Poincarén ryhmän esityksille on tärkeä käsitteellinen rooli kvanttikenttäteoriassa, ja se osoittaa, kuinka hiukkasten massa ja spin voidaan ymmärtää ryhmäteoreettisesti.
Esitysteorian SL(2,R) on kehittänyt W. Bargman ja se toimii prototyyppinä ei-kompaktien puoliyksinkertaisten Lie-ryhmien unitaaristen esitysten tutkimiseen.

Projektiiviset esitykset

Kvanttifysiikassa ollaan usein kiinnostuneita Lie-ryhmän projektiivisistä unitaarisista esityksistä . Syy tähän kiinnostukseen on siinä, että kvanttijärjestelmän tiloja edustavat vektorit Hilbert-avaruudessa - mutta samalla kaksi tilaa, jotka eroavat kertolaskussa vakiolla, ovat itse asiassa sama fyysinen tila. Hilbert-avaruussymmetriat kuvataan sitten unitaarisilla operaattoreilla, mutta unitaarioperaattori, joka on yhtä suuri kuin identiteettioperaattori kerrottuna vakiolla, ei muuta järjestelmän fyysistä tilaa. Emme siis ole kiinnostuneita tavallisista unitaarirepresentaatioista, eli homomorfismista yhtenäiseksi ryhmäksi , vaan projektiivisistä unitaarirepresentaatioista, eli homomorfismista projektiiviseksi unitaariryhmäksi. $G$ $\mathbf {H}$ $G$ $U(\mathbf {H} )$ $G$

PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.

Toisin sanoen projektiiviselle esitykselle rakennetaan unitaaristen operaattoreiden perhe , jossa ymmärretään, että kun se kerrotaan vakiolla (moduuli yhtä suuri kuin 1), sitä pidetään samana operaattorina. Operaattoreiden on sitten täytettävä homomorfismiominaisuus vakioon asti : $\rho (g),\,\,g\in G$ ${\näyttötyyli \rho (g)}$ ${\näyttötyyli \rho (g)}$

\rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).

Olemme jo käsitelleet kiertoryhmän redusoitumattomia projektiivisia unitaarisia esityksiä yllä; Projektiivisten esitysten huomioon ottaminen mahdollistaa murtoluvun spinin kokonaisluvun spinin lisäksi. $SO(3)$

Bargmanin lause sanoo, että tietyntyyppisille Lie-ryhmille redusoitumattomat projektiiviset unitaariesitykset ovat yksi-yhteen vastaavuus universaalin peittävän Lie-ryhmän unitaaristen esitysten kanssa . Tärkeitä esimerkkejä, joihin Bargmannin lause pätee, ovat (kuten juuri mainittiin) ja Poincarén ryhmä . Jälkimmäinen tapaus on tärkeä Wignerin luokittelulle Poincarén ryhmän projektiivisistä esityksistä kvanttikenttäteorian sovelluksilla. $G$ $G$ $G$ $SO(3)$

Yksi esimerkki, jossa Bargmanin lause ei päde , on ryhmä . Koordinaattien ja momenttien siirtymien joukko muodostaa projektiivisen unitaariesityksen , mutta se ei tule yleisen peitteen tavanomaisesta esityksestä , joka on yksinkertaisesti ryhmä itse . Tässä tapauksessa tavanomaisen esityksen saamiseksi on mentävä Heisenberg-ryhmään , joka on yksiulotteinen keskuslaajennus . ${\mathbb R}^{{2n))$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$

Kommutatiivinen tapaus

Jos on kommutatiivinen Lie-ryhmä , niin jokainen redusoitumaton unitaarinen esitys kompleksisilla vektoriavaruuksilla on yksiulotteinen. (Tämä väite seuraa Schurin Lemasta ja pätee, vaikka esitysten ei ole etukäteen oletettu olevan äärellisulotteisia.) Näin ollen pelkistymättömät unitaariesitykset ovat yksinkertaisesti jatkuvia homomorfismeja ympyräryhmään . Esimerkiksi jos , niin pelkistymättömien yhtenäisesitysten muoto on: $G$ $G$ $G$ $G$ $U(1)$ $G=\mathbb {R}$

\Pi (x)=[e^{iax}]

jollekin todelliselle numerolle . $a$

Katso myös Pontrjaginin kaksinaisuus .

Katso myös

Kytkettyjen kompaktien ryhmien esitysteoria
Lie algebran esitys
Projektiivinen esitys
Ryhmäesitysteoria SU(2)
Lorentz-ryhmän esitysteoria
Hopf-algebroiden esitysteoria
Lie-ryhmän jäsenedustus
Luettelo lyhenteistä Lie ryhmäteoriassa
Symmetria kvanttimekaniikassa
Wigner D-matriisi

Muistiinpanot

↑ Zhelobenko, 1970 , s. 638-650.
↑ Van der Waerden, 2004 , s. 38.
↑ Zhelobenko, 1970 , s. 115.

Kirjallisuus

Zhelobenko D. P., Shtern A. I. Lie-ryhmien esitykset. — M .: Nauka , 1983. — 360 s.
Zhelobenko D. P. Compact Lie -ryhmät ja niiden esitykset. — M .: Nauka , 1970. — 664 s.
Postnikov M. M. Lie ryhmät ja algebrat. — M .: Nauka , 1982. — 447 s.
Van der Waerden BL Ryhmäteorian menetelmä kvanttimekaniikassa. — M. : Pääkirjoitus URSS, 2004. — 200 s.
Naimark M. A. Ryhmien esitysteoria. — M .: Nauka , 1976. — 559 s.
Barut A., Ronchka R. Ryhmäesitysteoria ja sen sovellukset. — M .: Mir , 1980. — 452 s.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Ryhmien ja symmetrioiden teoria. Kirja 2: Lie-ryhmien ja Lie-algebroiden esitykset. Sovellukset. - M. : URSS, 2021. - 704 s.