Vetyatomi

Vedyn kaltainen atomi tai vedyn kaltainen ioni on mikä tahansa atomiydin , jossa on yksi elektroni [1] ja joka on siksi isoelektroninen vetyatomiin nähden . Näillä ioneilla on positiivinen varaus , jossa on ytimen varausnumero . Esimerkkejä vedyn kaltaisista ioneista ovat He + , Li 2+ , Be 3+ ja B4 + . Koska vedyn kaltaiset ionit ovat kaksihiukkasjärjestelmiä, joiden vuorovaikutus riippuu vain kahden hiukkasen välisestä etäisyydestä, niiden (ei-relativistisella) Schrödinger-yhtälöllä ja (relativistisella) Diracin yhtälöllä on ratkaisut analyyttisessä muodossa. Ratkaisut ovat yhden elektronin funktioita ja niitä kutsutaan vetymäisiksi atomikiertoradoiksi [2] . $e(Z-1)$ $Z$

Muita järjestelmiä voidaan kutsua myös vedyn kaltaisiksi, kuten muonium ( antimuoniin sitoutunut elektroni ), positronium (elektronin ja positronin järjestelmä ), tietyt eksoottiset atomit (muodostuvat muiden hiukkasten kanssa) tai Rydberg-atomeja (jossa yksi elektroni on kiertoradalla niin suurella energialla, että atomin loput hiukkaset näyttävät pistevaraukselta ) .

Schrödingerin ratkaisu

Epärelativistisen Schrödinger-yhtälön ratkaisussa vedyn kaltaiset atomiradat ovat yhden elektronin kulmamomenttioperaattorin L ja sen z - komponentin L z ominaisfunktioita . Vedyn kaltainen atomikiertorata tunnistetaan yksiselitteisesti pääkvanttiluvun n , liikemäärän kulmakvanttiluvun l ja magneettisen kvanttiluvun m arvoista . Energian ominaisarvot eivät riipu l :stä tai m :stä , vaan pelkästään n :stä . Niihin pitäisi lisätä kaksiarvoinen spinkvanttiluku m s = ± ½ . Tämä luo perustan Klechkovsky-säännölle , joka rajoittaa neljän kvanttiluvun sallittuja arvoja atomien elektronisissa konfiguraatioissa , joissa on suuri määrä elektroneja. Vedyn kaltaisissa atomeissa kaikki rappeutuneet kiertoradat, joilla on kiinteä n ja l , m ja m s , jotka vaihtelevat tiettyjen arvojen välillä (katso alla), muodostavat atomielektronikuoren .

Schrödingerin yhtälöä atomeille tai atomi-ioneille, joissa on useampi kuin yksi elektroni, ei ole ratkaistu analyyttisesti elektronien välisen Coulombin vuorovaikutuksen aiheuttaman laskennallisen monimutkaisuuden vuoksi. Tässä tapauksessa käytetään numeerisia menetelmiä (likimääräisten) aaltofunktioiden tai muiden ominaisuuksien saamiseksi kvanttimekaanisista laskelmista. Pallosymmetrian ( Hamiltonin ) vuoksi atomin kokonaiskulmaliikemäärä J on säilynyt suure. Monet numeeriset proseduurit käyttävät atomiorbitaalien tuloja, jotka ovat yksielektronioperaattoreiden L ja L z ominaisfunktioita . Näiden atomiratojen säteittäiset osat esitetään joskus taulukoina tai joskus Slaterin kiertoradoina . Kulmamomenttifunktioita käytetään monielektronien ominaisfunktioiden J 2 (ja mahdollisesti S 2 ) muodostamiseen.

Kvanttikemiallisissa laskelmissa vedyn kaltaiset atomikiertoradat eivät voi toimia pohjana laajentumiselle, koska se ei ole täydellinen. Täydellisen joukon saamiseksi on välttämätöntä täydentää kantaa jatkumon ( E > 0 ) neliöisillä ei-integroitavilla tiloilla, eli kattaa koko yhden elektronin Hilbert-avaruus [3] .

Yksinkertaisimmassa mallissa vedyn kaltaisten ionien atomiorbitaalit ovat Schrödingerin yhtälön ratkaisuja pallosymmetrisessä potentiaalissa. Tässä tapauksessa Coulombin lain antama potentiaalienergia :

V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}},

missä

ε 0 - tyhjön permittiivisyys ,
Z on varausnumero (protonien lukumäärä ytimessä),
e - alkuvaraus (elektronivaraus),
r on elektronin etäisyys ytimestä.

Kun aaltofunktio on kirjoitettu funktioiden tulona:

\psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,

( pallokoordinaateissa ), missä ovat pallomaiset harmoniset , saamme seuraavan Schrödingerin yhtälön: $Y_{{lm}}$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2 }{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+V(r)R(r)= ER(r),

missä on pelkistetty elektronimassa ja pelkistetty Planck-vakio . $\mu$ $\hbar$

Eri l :n arvot antavat ratkaisuja, joilla on erilainen liikemäärä , missä l (ei-negatiivinen kokonaisluku) on kiertoradan kulmamomentin kvanttiluku . Magneettinen kvanttiluku m (täyttää ehdon ) on kiertoradan kulmamomentin projektio z -akselilla . $-l\leq m\leq l$

Ei-relativistinen aaltofunktio ja energia

Säteittäisaaltofunktiolle R asetetuista reunaehdoista saadaan l :n ja m :n lisäksi kolmas kokonaisluku n > 0 . Funktiot R ja Y , jotka antavat ratkaisun yllä olevaan yhtälöön, riippuvat näiden kokonaislukujen arvoista, joita kutsutaan kvanttiluvuiksi . Aaltofunktioille osoitetaan yleensä kvanttilukujen arvot, joista ne riippuvat. Normalisoidun aaltofunktion lopullinen lauseke:

\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi ),

R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu ))}\right)}^{3}{\frac {(nl-1) !}{2n[(n+l)!]}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\vasen({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\oikea) ^{l}L_{nl-1}^{2l+1}\vasen({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right),

missä

$L_{nl-1}^{2l+1}$ ovat yleistettyjä Laguerren polynomeja .
$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2)) \over {\mu e^{2))}={\frac {\hbar c}{\ alpha \mu c^{2}}}={{m_{\mathrm {e} }} \over {\mu }}a_{0},$

missä α on hienorakennevakio . on ydin-elektronijärjestelmän pelkistetty massa, eli missä on ytimen massa. Yleensä ydin on paljon massiivisempi kuin elektroni, joten (Mutta positroniumille )

\mu

\mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}},

{\displaystyle m_{\mathrm {N} ))

\mu \approx m_{\mathrm {e} }.

\mu =m_{\mathrm {e} }/2.

$E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^ {2}}}\oikea){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\ mu }^{2))}\right){\frac {1}{n^{2))}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2)) {2n^{2}}}.$
$Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ on pallomainen harmoninen .

Kulmaaaltofunktiosta johtuva pariteetti on yhtä suuri kuin . ${\displaystyle {\left({-1}\right)}^{l))$

Kvanttiluvut

Kvanttiluvut n , l ja m ovat kokonaislukuja, joilla on seuraavat arvot:

{\näyttötyyli n=1,2,3,4,\pisteet ,}

l=0,1,2,\dots ,n-1,

m=-l,-l+1,\ldots ,0,\ldots ,l-1,l.

Näiden kvanttilukujen teoreettinen tulkinta on annettu tässä artikkelissa . Tämä artikkeli tarjoaa muun muassa ryhmäteoreettisen perustelun miksi ja myös ${\näyttötyyli l<n\,}$ $-l\leq m\leq \,l.$

Kulmamomentti

Jokainen atomikiertorata liittyy kiertoradan kulmaliikemäärään L. Tämä on vektorioperaattori ja sen neliön L 2 ≡ L ominaisarvot2
x+ L2v_
_+ L2z _
määritelty

L^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}.

Tämän vektorin projektio mielivaltaiseen suuntaan kvantisoidaan . Jos mielivaltaista suuntaa kutsutaan z :ksi, kvantisointi määritellään seuraavasti

L_{\mathrm {z} }Y_{lm}=\hbar mY_{lm},

missä m on rajoitettu edellä kuvatulla tavalla. Huomaa, että L 2 ja L z liikkuvat ja niillä on yhteinen ominaistila, mikä on sopusoinnussa Heisenbergin epävarmuusperiaatteen kanssa. Koska L x ja L y eivät kommutoi L z : n kanssa , on mahdotonta löytää tilaa, joka on kaikkien kolmen komponentin ominaistila samanaikaisesti. Siksi x- ja y - komponenttien arvot eivät ole tarkkoja, vaan ne annetaan äärellisen leveän todennäköisyysfunktiolla. Se, että kiertoradan kulmamomenttivektorin x- ja y - komponentit eivät ole tarkasti määriteltyjä, merkitsee sitä, että kiertoradan liikemomenttivektorin suuntaa ei myöskään ole määritelty, vaikka sen komponentti z -akselilla on hyvin määritelty .

Nämä suhteet eivät anna elektronin kokonaiskulmamomenttia. Kokonaiskulmamomentin löytämiseksi on otettava huomioon elektronien spin .

Tämä liikemäärän kvantisointi korreloi läheisesti Niels Bohrin (katso Bohrin malli ) 1913 ehdottaman atomin mallin kanssa tietämättä aaltofunktioita.

Otetaan spin-orbit-vuorovaikutusta käyttöön

Todellisessa atomissa liikkuvan elektronin spin voi olla vuorovaikutuksessa ytimen sähkökentän kanssa relativististen vaikutusten kautta, ilmiö, joka tunnetaan nimellä spin-orbit-vuorovaikutus . Kun tämä kytkentä otetaan huomioon, spin ja kiertoradan liikemäärä eivät enää säily erikseen, mikä voidaan esittää elektroniprecessiona . Siksi on välttämätöntä korvata kvanttiluvut l , m ja spin-projektio m s kvanttiluvuilla, jotka edustavat kokonaiskulmaliikemäärää (mukaan lukien spin) : j ja m j sekä kvanttipariteettiluku .

Dirac-yhtälön ratkaisu

Vuonna 1928 englantilainen fyysikko Paul Dirac johti yhtälön , joka, toisin kuin Schrödingerin yhtälö, on täysin yhteensopiva erikoissuhteellisuusteorian kanssa . Diracin yhtälön vedyn kaltaisille atomeille ratkaisi samana vuonna (olettaen yksinkertaisen Coulombin potentiaalin pistevarauksen ympärillä) Walter Gordon . Yhden (mahdollisesti monimutkaisen) funktion sijasta, kuten Schrödingerin yhtälössä, on löydettävä neljä kompleksista funktiota, jotka muodostavat bispinorin . Ensimmäinen ja toinen toiminto (tai spinorikomponentti) vastaavat (tavallisesti) "spin-up"- ja "spin-down" -tiloja, kuten kolmas ja neljäs komponentti.

Termit "spin-up" ja "spin-down" viittaavat valittuun suuntaan, joka on yleensä z -suunta . Elektroni ei voi olla vain yhdessä näistä puhtaista tiloista, vaan myös spin-up- ja spin down -tilojen superpositiossa, mikä vastaa johonkin toiseen suuntaan osoittavaa pyörimisakselia. Pyörimistila voi riippua sijainnista.

Ytimen lähellä olevalla elektronilla, jossa sen nopeus voi lähestyä relativistista, on välttämättä nollasta poikkeavat amplitudit kolmannelle ja neljännelle komponentille. Pois ytimestä ne voivat olla pieniä, mutta lähellä sydäntä niistä tulee suuria.

Hamiltonin ominaisfunktiot ts. funktioilla, joilla on tietty energia (ja jotka ovat siksi paikallaan – eivät kehity ajan myötä, paitsi vaihesiirron vuoksi), on energiat, jotka eivät riipu pelkästään pääkvanttiluvusta n , kuten Schrödingerin yhtälössä, vaan myös kvanttiluvusta kokonaiskulmaliikemäärä j . Kvanttiluku j määrittää kolmen kulmamomentin neliöiden summan, joka on yhtä suuri kuin j · ( j + 1) (kertattuna Planckin vakion ħ 2 neliöllä ). Nämä kulmamomentit sisältävät sekä kiertoradan kulmamomentin (liittyy ψ :n kulmariippuvuuteen ) että spin-momentin (liittyy elektronin spin-tilaan). Saman pääkvanttiluvun n tilojen energioiden jakautumista j :n erojen vuoksi kutsutaan hienorakenteeksi . Kokonaiskulmaliikemäärän j kvanttiluvun arvo on välillä 1/2 - n − 1/2 askeleella 1.

Tietyn tilan kiertoradat voidaan kirjoittaa käyttämällä kahta radiaalifunktiota ja kahta kulmafunktiota. Säteittäiset funktiot riippuvat sekä pääkvanttiluvusta n että kokonaisluvusta k , joka määritellään seuraavasti:

k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l+{\tfrac {1}{2)),\\+ j+{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l-{\tfrac {1}{2)),\end{cases}}

missä l on kiertoradan kvanttiluku välillä 0 - n − 1 . Kulmafunktiot riippuvat k :stä ja kvanttiluvusta m , joka vaihtelee -j :stä j :ään yksikköaskelin. Tilat on merkitty latinalaisilla kirjaimilla S, P, D, F ja niin edelleen, jotta ne osoittavat tiloja, joissa l on yhtä suuri kuin 0, 1, 2, 3 ja niin edelleen (katso kiertoradan kvanttiluku ), indeksillä j . Esimerkiksi tilan n = 4 tilat on lueteltu seuraavassa taulukossa (niitä edeltää n , esimerkiksi 4S 1/2 ):

	m = -7/2	m = -5/2	m = −3/2	m = −1/2	m = 1/2	m = 3/2	m = 5/2	m = 7/2
k = 3, l = 3		F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2
k = 2, l = 2			D3 /2	D3 /2	D3 /2	D3 /2
' 'k= 1,l = 1				P 1/2	P 1/2
k = 0
k = −1, l = 0				S 1/2	S 1/2
k = −2, l = 1			P 3/2	P 3/2	P 3/2	P 3/2
k = −3, l = 2		D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2
k = −4, l = 3	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2

Näitä nimityksiä voidaan täydentää myös indeksillä m . Pääkvanttiluvun n tilojen lukumäärä on 2 n 2 , joista mille tahansa sallitulle j :lle on 4 j + 2 tilaa, paitsi suurin ( j = n − 1/2 ), jolle on vain 2 j + 1 osavaltiota. Koska kaikilla orbitaaleilla, joilla on annetut arvot n ja j , on sama energia Dirac-yhtälön mukaan, ne muodostavat perustan funktioiden avaruudelle, joilla on tämä energia - jokainen sallittu funktio voidaan esittää näiden perusteiden superpositiona. toimintoja.

Energia n: n ja | :n funktiona k | (jossa k : n moduuli on määritelmän mukaan j + 1/2 ) on

{\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k| +{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\oikea]^{2}\oikea)^{-1/2}\\&\\&\ noin \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{ 2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}. \end{array}}

(Energia tietysti riippuu käytetystä nollapisteestä.) Huomaa, että jos otamme Z :n suuremmaksi kuin 137 (suurempi kuin minkä tahansa tunnetun alkuaineen ydinvaraus), niin meillä olisi negatiivinen arvo S:n neliöjuuren alapuolella. 1/2 ja P -orbitaalit 1/2 , mikä tarkoittaa, että niitä ei olisi olemassa. Schrödingerin ratkaisu vastaa sisemmän hakasulkeen korvaamista toisessa lausekkeessa 1:llä. Vedyn kahden alimman tilan välisen energiaeron tarkkuus laskettuna Schrödingerin ratkaisusta on noin 9 ppm ( 90 μ eV vähemmän kuin kokeellinen arvo). noin 10 eV ), kun taas Dirac-yhtälön tarkkuus samalle energiaerolle on noin 3 miljoonasosaa (ja enemmän kuin kokeellinen arvo). Schrödingerin ratkaisu antaa aina tilan energian jonkin verran korkeammaksi kuin tarkempi Dirac-yhtälö. Diracin yhtälö antaa jotkin vetytasot melko tarkasti (esim. 4P 1/2 -tilan laskelma antaa vain 2⋅10 -10 eV kokeeseen verrattuna suuremman energian), toiset ovat hieman epätarkempia (esim. 2S 1/2 -tason energia on 4⋅10 -6 eV kokeellisen arvon alapuolella) [4] . Dirac-yhtälön käytöstä Schrödingerin ratkaisun sijaan johtuva energian muutos on suuruusluokkaa α 2 , ja tästä syystä α : ta kutsutaan hienorakennevakioksi .

Kvanttilukujen n , k ja m Dirac-yhtälön ratkaisu on muotoa:

$\Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k} (r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{ -1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\- g_{n,k}(r)r^{-1}\operaattorin nimi {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)))Y_{ k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}- m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-if_{n,k}(r)r^{-1}\operaattorinimi { sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)))Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi ) \end{pmatrix}},$

missä Ω s ovat kahden pallomaisen harmonisen funktion sarakkeet , jotka näkyvät oikealla. tarkoittaa pallomaista harmonista funktiota $Y_{a,b}(\theta ,\phi )$

Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{ \frac {(ab)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi },&{\text{if }}a >0,\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi ),&{\text{if }}a<0,\end{cases}}

missä ovat niihin liittyvät Legendre-polynomit . (Tämä Ω :n määritelmä sisältää pallomaiset harmoniset, joita ei ole olemassa, kuten , mutta niiden edessä oleva kerroin on nolla.) $P_{a}^{b}$ $Y_{0,1}$

Jotkut kulmatoiminnot on kirjoitettu alla. Normalisointikerroin on jätetty pois lausekkeiden yksinkertaistamiseksi.

\Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1)),

\Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0)),

\Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r)),

\Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r)).

Tämä osoittaa, että S 1/2 ( k = −1) kiertoradalla Ψ :n kahdella ylemällä komponentilla on nolla kiertoradalla, kuten Schrödingerin S-orbitaalilla, mutta kaksi alempaa komponenttia ovat samanlaisia kuin P-orbitaalit. Schrödingeristä. Ratkaisussa P 1/2 ( k = 1 ) tilanne on päinvastainen. Molemmissa tapauksissa kunkin komponentin spin kumoaa sen kiertoliikkeen liikemäärän z - akselin ympäri , jolloin saadaan oikea arvo kokonaisliikemäärälle z - akselin ympäri .

Kaksi spinoria Ω noudattavat suhdetta:

\Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _ {-k,m}.

Funktioiden kirjoittaminen ja uuden, skaalatun radiaalimuuttujan ρ määrittäminen: $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$

\rho \equiv 2Cr

kertoimella

C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2))}{\hbar c)),

missä E on yllä kirjoitettu energia ( ). Määrittelemme γ :n muodossa $E_{n\,j}$

\gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}.

Kun k = − n (joka vastaa suurinta mahdollista j :tä tietylle n : lle - tapaus, joka toteutuu sellaisille kiertoradalle kuin 1S 1/2 , 2P 3/2 , 3D 5/2 ...), silloin ja ovat myös löytyy kaavojen mukaan $g_{n,k}(r),$ $f_{n,k}(r)$

g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

jossa A on normalisointivakio, joka sisältää gammafunktion

A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \Gamma (2\gamma )))}.

Huomaa, että Z -tekijän α vuoksi funktio f ( r ) on pieni verrattuna g ( r ) :iin ytimille, joissa ei ole liikaa varausta. Huomaa myös, että tässä tapauksessa energia on annettu approksimaatiolla

E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}}\,\mu c^{2}

ja säteittäinen vaimennusvakio C on

C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.

Yleisessä tapauksessa (kun k ei ole yhtä suuri kuin - n ), ja ne perustuvat kahteen yleistettyyn Laguerren polynomiin , joiden järjestys ja : $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$ $n-|k|-1$ $n-|k|$

g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{ 2\gamma +1}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\oikea),

f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1 }^{2\gamma +1}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\oikea).

Normalisointivakio A määritellään tässä muodossa

A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt ({\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac { (n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek }{\gamma \mu c^{2}}}\oikea)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\oikea))).

Jälleen f on pieni verrattuna g :hen (paitsi hyvin pieni r ), koska kun k on positiivinen, suluissa olevan summan ensimmäinen termi hallitsee ja α on suuri verrattuna γ– k :iin , ja kun k on negatiivinen, toinen termi termi hallitsee ja α on pieni verrattuna γ − k :ään . Huomaa, että hallitseva termi on melko samanlainen kuin vastaava Schrödingerin ratkaisu - Laguerren polynomin yläindeksi on hieman pienempi ( 2 γ + 1 tai 2 γ − 1 2 l + 1 sijasta , mikä on lähin kokonaisluku), samoin kuin ρ :n potenssi ( γ tai γ − 1 l :n sijaan , lähin kokonaisluku). Eksponentiaalinen vaimeneminen on hieman nopeampaa kuin Schrödingerin ratkaisussa.

1S orbitaali

Orbital 1S 1/2 , spin ylös, normalisointivakio jätetty pois:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}.

Huomaa, että γ on hieman pienempi kuin 1, joten huippufunktio on samanlainen kuin eksponentiaalisesti pienenevä r :n funktio , paitsi hyvin pieni r , jossa se menee teoriassa äärettömään. Mutta arvo ylittää 10 vain, kun r :n arvo on pienempi kuin tämä hyvin pieni luku (paljon pienempi kuin protonin säde), ellei Z ole erittäin suuri. $r^{\gamma -1}$ $10^{1/(\gamma -1)},$

Orbital 1S 1/2 , spin down, normalisointivakio jätetty pois, on muotoa:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix)).

Voimme sekoittaa niitä saadaksesi superpositioorbitaalit, joiden spin on suunnattu johonkin toiseen suuntaan, esimerkiksi:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e ^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{- Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}},

joka vastaa x -akselia pitkin suunnattua spiniä ja kulmamomenttia . Lisäämällä alaspäin kääntyvän kiertoradan kerrottuna i :llä pyörivään kiertoradaan saadaan y - suuntainen orbitaali .

2P 1/2 - ja 2S 1/2 -orbitaalit

Otetaan toinen esimerkki. 2P 1/2 -orbitaali, spin ylös, verrannollinen

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac { \gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\oikea)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\ oikea)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\ gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\oikea)\\0\end{pmatrix}}.

(Tulee muistaa, että ρ = 2 rC . Säteittäinen vaimennusvakio C on puolet 1S-orbitaalien (koska pääkvanttiluku on kaksi kertaa suurempi), mutta γ pysyy samana (koska k 2 on sama).

Huomaa, että kun ρ on pieni verrattuna α :aan (tai r on pieni verrattuna : aan), "S"-tyyppinen orbitaali (bispinorin kolmas komponentti) hallitsee. $\hbar c/(\mu c^{2})$

2S 1/2 -kiertoradalle , pyöritä ylös, meillä on

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac { \gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\oikea)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\ rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma ) \oikea)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\oikea)(x+iy)/r\end{pmatrix}}

Nyt ensimmäinen komponentti on S:n kaltainen, ja ρ = 2 :n ympärillä on etäisyys , johon se häviää, kun taas alempi kaksikomponenttinen osa on P:n kaltainen.

Negatiiviset energiaratkaisut

Sidottujen tilojen lisäksi, joissa energia on pienempi kuin elektronin energia äärettömässä ytimestä, on olemassa Dirac-yhtälön ratkaisuja korkeammalla energialla, mikä vastaa sitoutumatonta elektronia vuorovaikutuksessa ytimen kanssa. Nämä ratkaisut eivät normalisoidu yhdeksi, mutta voidaan löytää ratkaisuja, jotka menevät nollaan, kun r menee äärettömyyteen (mikä ei ole mahdollista, ellei yllä mainitut raja -tilan E -arvot ole). Samanlaisia ratkaisuja on olemassa. Nämä negatiivisen energian ratkaisut ovat samanlaisia kuin positiivisen energian ratkaisut, joilla on päinvastainen energia, mutta siinä tapauksessa, että ydin hylkii elektronin sen sijaan, että se vetäisi sitä puoleensa, paitsi että kahden ylimmän komponentin ratkaisut ovat päinvastaisia ratkaisujen kanssa. kahdelle alemmalle. $|E|<\mu c^{2},$ $E<-\mu c^{2}.$

Dirac-yhtälön ratkaisuja negatiivisella energialla on olemassa myös ilman ytimen luomaa Coulombin voimaa. Dirac ehdotti, että voisimme katsoa melkein kaikki nämä osavaltiot jo täytetyiksi (katso Dirac Sea ). Jos jokin näistä negatiivisen energian tiloista ei ole täytetty, se näkyy elektronina, jonka positiivisesti varautunut ydin hylkii. Tämä sai Diracin olettamaan positiivisesti varautuneiden elektronien olemassaolon, ja positronin löytö vahvisti hänen ennusteensa .

Diracin yhtälön Gordon-ratkaisun sovellettavuusrajat

Ei-magneettisen pisteytimen luoma Dirac-yhtälö yksinkertaisella Coulombin potentiaalilla ei ollut viimeinen sana, ja sen ennusteet eroavat kokeellisista tuloksista, kuten aiemmin mainittiin. Tarkempia tuloksia ovat Lamb-siirtymä ( kvanttielektrodynamiikasta johtuvat säteilykorjaukset ) [5] ja hyperhieno rakenne .

Muistiinpanot

↑ Vedyn kaltaiset atomit // Fysikaalinen tietosanakirja : [5 osana] / Ch. toim. A. M. Prokhorov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-ilmiö - Pitkät rivit. - S. 300. - 707 s. - 100 000 kappaletta.
↑ Kvanttikemiassa orbitaali on synonyymi "yhden elektronin funktiolle", joka on integroitavissa funktion , , neliön kanssa . $x$ $y$ $z$
↑ Tämän huomasi jo vuonna 1928 norjalainen teoreetikko Egil Hilleros: Hylleraas EA Über den Grundzustand des Heliumatoms (saksa) // Zeitschrift für Physik. - 1928. - Bd. 48 . - S. 469-494 . - doi : 10.1007/BF01340013 . - .
Myöhemmin tämä tosiasia todettiin uudelleen vuonna 1955 teoksessa: Shull H., Löwdin P.-O. Continuumin rooli konfiguraatioiden superpositiossa // J. Chem. Phys.. - 1955. - Voi. 23 . - s. 1362 . - doi : 10.1063/1.1742296 .
↑ Laskelmat Felix Nendzigin taulukosta 4.1 . Vetyatomin kvanttiteoria . Haettu 20. lokakuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 20. lokakuuta 2013. (määrätön)
↑ Mitä tulee säteilykorjausten laskemiseen, katso edellä mainittu F. Nendzigin kirja, osa 6.

Kirjallisuus

Teschl G. Matemaattiset menetelmät kvanttimekaniikassa; Sovellukset Schrödinger - operaattoreille . - American Mathematical Society , 2009. - ISBN 978-0-8218-4660-5 .
Tipler P., Llewellyn R. Modern Physics. - 4. painos - New York: W. H. Freeman and Company, 2003.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen Universalis