Moyalin pala

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 14. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Moyale-tuote on tunnetuin esimerkki tähtituotteesta vaiheavaruudessa . Se on assosiatiivinen kommutatiivinen tähtitulo funktioista ℝ 2n :ssä, joka on varustettu Poisson -haarukalla (yleistetty symplektisiksi jakoputkiksi , katso alla). Tämä on erikoistapaus universaalin vaippaalgebran "symbolialgebran" tähtituloksesta .

Nimetty israelilaisen tiedemiehen José Enrique Moyalin mukaan.

Historia

Moyal-tuote on nimetty José Enrique Moyalin mukaan, mutta sitä kutsutaan joskus myös Weyl -Grunewold-tuotteeksi, kuten J. Grunevold esitteli sen vuoden 1946 väitöskirjassaan, jolla on syvä yhteys [1] Weylin kirjeenvaihtoon. Moyal ei ollut todella tietoinen tästä kuuluisassa artikkelissaan [2] ja tämän puuttuminen puuttui pahoin hänen kirjeenvaihdostaan Diracin kanssa, kuten hänen elämäkerrassaan näkyy. [3] Teoksen nimi ilmestyi Moyalin kunniaksi, näyttää siltä, vasta 1970-luvulla, ja se on kunnianosoitus hänen asuntokuvansa vaihe-tila- diskretisoinnista. [neljä]

Määritelmä

Tasaisten funktioiden f ja g tulo arvosta ℝ 2n saa muodon

f\star g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\hbar ^{n}C_{n}(f,g),

jossa jokainen C n on kertaluvun n määritelty bi -differentiaalinen operaattori , sille on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet (katso eksplisiittinen kaava alla):

f\star g=fg+{\mathcal {O}}(\hbar )

Pistetuotteen loimi - viitataan yllä olevaan kaavaan.

f\star gg\star f=i\hbar \{f,g\}+{\mathcal {O))(\hbar ^{3})\equiv i\hbar \{\{f,g\ }\}

Poisson-sulujen muodonmuutosta kutsutaan Moyale-suluiksi.

f\star 1=1\star f=f

1 muotoutumattomasta algebrasta on myös uuden algebran yksikkö.

{\overline {f\star g}}={\overline {g}}\star {\overline {f}}

Monimutkainen konjugaatio on anti-automorfismi.

Huomaa, että jos otamme funktioita, jotka ottavat todellisia arvoja , vaihtoehto sulkee pois ominaisuuden 2 ja jättää pois ominaisuuden 4. $i$

Jos rajoitamme huomioimisen polynomifunktioihin, niin yllä oleva algebra on isomorfinen Weilin algebralle A n , ja vaihtoehtoinen toteutus Weyl-kartalle polynomien avaruudesta n muuttujassa (tai vektoriavaruuden symmetriselle algebralle, jonka ulottuvuus on 2 n ) on mahdollista.

Jotta saadaan eksplisiittinen kaava, harkitse vakiota Poisson-bivektoria Π arvosta ℝ 2 n :

\Pi =\sum _{i,j}\Pi ^{ij}\partial _{i}\wedge \partial _{j},

missä Π ij on kompleksiluku kullekin i:lle ja j:lle.

Kahden funktion tähtitulo ja voidaan määritellä seuraavasti $f$ $g$

f\star g=fg+{\frac {i\hbar }{2}}\sum _{i,j}\Pi ^{ij}(\partial _{i}f)(\partial _{j }g)-{\frac {\hbar ^{2}}{8}}\sum _{i,j,k,m}\Pi ^{ij}\Pi ^{km}(\osittais _{i} \partial _{k}f)(\partial _{j}\partial _{m}g)+\ldots ,

missä ħ on pelkistetty Planck-vakio , pidetään muodollisena parametrina. Tämä lauseke tunnetaan myös Berezin-kaavan [5] erikoistapauksena symbolialgebrassa ja se voidaan esittää suljetussa muodossa [6] (joka seuraa Campbell-Baker-Hausdorffin kaavasta ). Suljettu muoto voidaan saada eksponentiaalisella :

f\star g=m\circ e^{{\frac {i\hbar }{2}}\Pi }(f\otimes g),

missä on kertokartta, ja eksponenttia käsitellään potenssisarjana: $m$ $m(a\otimes b)=ab$

e^{A}:=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}A^{n}.

Eli kaava tälle $C_{n}$

C_{n}={\frac {i^{n}}{2^{n}n!}}m\circ \Pi ^{n}.

Kuten todettiin, kaikki yllä olevat esiintymät jätetään usein pois, ja kaava on rajoitettu reaalilukuihin. $i$

Huomaa, että jos funktiot f ja g ovat polynomeja, äärettömästä summasta tulee äärellinen (rajoitettu Weyl-algebran tavalliseen tapaukseen).

Moyale-tulon ja yleisen vaippaalgebran "symbolialgebran" määrittelyssä käytetyn yleistetun ★-tulon välinen suhde seuraa siitä tosiasiasta, että Weyl-algebra on Heisenberg-algebran universaali vaippaalgebra (ottaen huomioon, että keskus on yhtä suuri kuin yksi).

Jakoputkissa

Jokaiselle symplektiselle monille voidaan ainakin paikallisesti valita koordinaatit siten, että symplektisen rakenteen vakio Darboux'n lauseen mukaan ; ja käyttämällä sopivaa Poisson-bivektoria voidaan tarkastella yllä olevia kaavoja. Jotta voisit työskennellä koko jakotukin kanssa (ja käyttää muutakin kuin vain paikallista kaavaa), on tarpeen varustaa symplektinen jakotukki vääntövapaalla symplektisellä liitännällä . Tämä tekee siitä Fedosov-sarjan.

Yleisemmät tulokset mielivaltaisille Poisson -monijoukoille (joissa Darboux'n lause epäonnistuu) saadaan Konttsevichin kvantisointikaavalla.

Esimerkkejä

Yksinkertainen eksplisiittinen esimerkki ★-tuotteen (kaksiulotteisen euklidisen faasiavaruuden yksinkertaisimmassa tapauksessa) rakentamisesta ja käytöstä on Wigner-Weyl-muunnosta käsittelevässä artikkelissa: kaksi Gaussiaa yhdistetään ★ -tuotteella hyperbolisen tangentin lakiin: [7]

\exp \left[-a\left(x^{2}+p^{2}\right)\right]\star \exp \left[-b\left(x^{2}+p^ {2}\right)\right]={\frac {1}{1+\hbar ^{2}ab}}\exp \left[-{\frac {a+b}{1+\hbar ^{2 }ab}}\left(x^{2}+p^{2}\oikea)\oikea].

(Huomaa klassisen rajan muodossa ħ → 0 .)

Jokainen siirtymäresepti vaiheavaruuden ja Hilbert-avaruuden välillä kuitenkin indusoi oman oikeanlaisen ★ -tuotteensa. [8] [9]

Samanlaisia tuloksia havaitaan Segal-Bargmann-avaruudessa ja Heisenberg-ryhmän theta-esityksessä , jossa luomis- ja tuhoamisoperaattorit ja niiden ymmärretään toimivan kompleksitasolla (vastaavasti Heisenberg-ryhmän ylemmällä puolitasolla), niin, että sijainti- ja liikemäärä-operaattorit ovat ja . Tämä tilanne eroaa selvästi tilanteesta, jossa koordinaattien oletetaan olevan todellisia, mutta se valaisee Heisenberg-algebran ja sen rungon, Weilin algebran, yleistä algebrallista rakennetta. $a^{*}=z$ $a=\partial /\partial z$ $x=(a+a^{*})/2$ $p=(aa^{*})/(2i)$

Linkit

↑ HJ Groenewold, "Kvanttimekaniikan periaatteista", Physica , 12 (1946) s. 405-460.
↑ Moyal, JE Kvanttimekaniikka tilastoteoriana // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society : päiväkirja. - 1949. - Voi. 45 . - s. 99 . - doi : 10.1017/S0305004100000487 . - .
↑ Ann Moyal, " Maverick Mathematician: The Life and Science of JE Moyal Arkistoitu 1. kesäkuuta 2020 Wayback Machinessa ", ANU E-press, 2006.
↑ Curtright, TL Quantum Mechanics in Phase Space (määrittelemätön) // Asia Pacific Physics Newsletter . - 2012. - T. 1 . - S. 37 . - doi : 10.1142/S2251158X12000069 . - arXiv : 1104.5269 .
↑ FA Berezin , "Joitakin huomautuksia Lie-algebran liittyvästä verhokäyrästä", Funct.
↑ Xavier Bekaert, " Universaalit vaippaalgebrat ja jotkin sovellukset fysiikassa Arkistoitu 8. elokuuta 2017 Wayback Machinessa " (2005) Luento, Modave Summer School in Mathematical Physics .
↑ C. Zachos, D. Fairlie ja T. Curtright, "Quantum Mechanics in Phase Space" (World Scientific, Singapore, 2005) ISBN 978-981-238-384-6 .
↑ Cohen, L. (1995) Time-Frequency Analysis , Prentice-Hall, New York, 1995.
↑ Lee, HW Kvanttivaihe-avaruusjakauman funktioiden teoria ja sovellus // Physics Reports : päiväkirja. - 1995. - Voi. 259 , nro. 3 . - s. 147 . - doi : 10.1016/0370-1573(95)00007-4 . - .