Todennäköisyysfunktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. maaliskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Todennäköisyysfunktio on todennäköisyysteoriassa funktio, joka palauttaa todennäköisyyden , että diskreetti satunnaismuuttuja saa tietyn arvon. Esimerkiksi Olkoon on todennäköisyysfunktio, jolloin todennäköisyys, että se saa arvon 13, lasketaan korvaamalla arvo funktiolla , joka jo palauttaa todennäköisyyden, esimerkiksi 0,5 - tämä tarkoittaa, että todennäköisyys saada numero 13 on 0,5. $X$ $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ $X$ $X=13$ $p(X)=p(13)$

Jos on skalaarinen satunnaismuuttuja, todennäköisyysfunktio annetaan mahdollisten arvojen taulukolla vastaavien todennäköisyyksien kanssa ( ); tällaista taulukkoa kutsutaan " jakaumasarjaksi " [1] . $X$ ${\displaystyle x_{i},\,p_{i))$

Todennäköisyysfunktio on yleisimmin käytetty tapa karakterisoida diskreetti jakauma . Sillä on sama rooli kuin jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheydellä ( jälkimmäisessä tilanteessa emme kuitenkaan puhu tietyn arvon toteutumisen todennäköisyydestä , vaan todennäköisyydestä, että satunnaismuuttujan arvo osuu tiettyyn intervalli, joka saadaan integroimalla todennäköisyystiheys tälle välille). $X$

Määritelmät

Mielivaltainen todennäköisyysfunktio

Antaa olla todennäköisyysmitta , eli todennäköisyysavaruus on määritelty , jossa tarkoittaa Borelin σ-algebraa päällä . Todennäköisyysmittaa kutsutaan diskreetiksi , jos sen tuki ei ole enempää kuin laskettavissa , eli ei ole enempää kuin laskettavissa oleva osajoukko siten, että . $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\oikea)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (X)=1$

Toiminto määritellään seuraavasti: $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n }\setminus X,\end{matrix}}\right.

jossa on diskreetti todennäköisyysmitta , kutsutaan todennäköisyysfunktioksi . Tässä on tärkeää ymmärtää, että funktio, joka on määritetty joukoille , ei numeroille, vaikka se määritellään kautta , on jo numeroiden yli määritetty funktio. $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $p(x)$ $\mathbb {P}$

Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio

Olkoon ( ) satunnaismuuttuja (satunnaisvektori). Sitten se indusoi (indusoi) todennäköisyysmitan (on ) , jota kutsutaan jakaumaksi. Satunnaismuuttujaa kutsutaan diskreetiksi, jos sen jakauma on diskreetti. Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktiolla on muoto: $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p_{X}$ $X$

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

tai

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,

missä on arvojoukko, joka . ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \))$ $X$

Todennäköisyysfunktion ominaisuudet

Todennäköisyyden ominaisuuksista on selvää[ kenelle? ] seuraavasti:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
Satunnaismuuttujan jakaumafunktio voidaan ilmaista sen todennäköisyysfunktiolla:

F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

Jos , niin $X=(X_{1},X_{2})$

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1} )

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2} )

missä on vektorin todennäköisyysfunktio ja suuren todennäköisyysfunktio . Tämä ominaisuus ilmeisesti yleistyy mittasuhteiden satunnaisiin vektoreihin . $p_{X_{1},X_{2))$ ${\näyttötyyli (X_{1}, X_{2})}$ $p_{X_{i))$ $X_{i},\;i=1,2$ $n>2$

Funktion matemaattinen odotus diskreetistä suuresta, kun se on olemassa, on:

{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i))

edellyttäen, että oikeanpuoleinen sarja suppenee ehdottomasti .

Esimerkkejä diskreetistä jakaumasta

Katso myös

Todennäköisyystiheys

Muistiinpanot

↑ E. S. Wentzel , A. A. Ovcharov Todennäköisyysteoria. M.: Nauka (1973), ks. 88.