Mordellin hypoteesi

Mordellin olettamus on Louis Mordellin vuonna 1922 esittämä olettamus suvun algebrallisen käyrän rationaalisten pisteiden joukon äärellisyydestä . Arvelu yleistettiin myöhemmin rationaalilukujen kentästä mielivaltaiseen lukukenttään . Gerd Faltings todisti sen vuonna 1983, ja sitä kutsutaan nykyään myös Faltingsin lauseeksi . $g>1$ $\mathbb {Q}$

Tausta

Antaa olla ei- singulaarinen algebrallinen käyrä kentän yli . Käyrän rationaalisten pisteiden joukko riippuu sen suvusta seuraavasti: $C$ $\mathbb {Q}$ $C$ $g$

Tapaus : rationaalisia pisteitä ei ole, tai niitä on äärettömän paljon; on kartiomainen osa . $g=0$ $C$
Case : rationaalisia pisteitä ei ole tai se on elliptinen käyrä ja sen rationaaliset pisteet muodostavat äärellisesti generoidun Abelin ryhmän . Tämä seuraa Mordellin lauseesta , yleistettiin myöhemmin Mordell-WeylinLisäksi Mazurin vääntölause rajoittaa vääntöalaryhmän mahdollista rakennetta. $g=1$ $C$
Tapaus : Mordellin arvelun mukaan sillä voi olla vain äärellinen määrä rationaalisia pisteitä. $g>1$ $C$

Todiste

Vuonna 1962 Shafarevich arveli, että isomorfismiin asti algebrallisten käyrien joukko, jolla on tietty suku , määritelmäkenttä ja joukko huonoja pelkistyspisteitä, on äärellinen . Vuonna 1968 Parshin osoitti, kuinka Mordellin olettamus voidaan pelkistää Shafarevitšin toteamukseksi rajallisuusarvaukseksi. $g>1$ $K$ $S$

Vuonna 1983 Faltings osoitti Shafarevich'in rajallisuusarvauksen käyttämällä tunnettua menetelmää pelkistää olettamus ja geometrian työkaluilla , lukien malliteoria

Toisen diofantinisiin likiarvoihin perustuvan todisteen Vojta Faltings ja Enrico Bombieri yksinkertaistivat sitä myöhemmin .

Seuraukset

Faltings osoitti vuoden 1983 artikkelissaan useita väitteitä, joita pidettiin aiemmin hypoteeseina:

Mordellin arvelu, jonka mukaan suvun käyrällä, joka on suurempi kuin 1 lukukentän yli, on vain äärellinen määrä rationaalisia pisteitä.
Shafarevitšin olettamus olemassaolosta vain äärellisen, aina isomorfismiin asti, Abelin variaatioita , joilla on tietyt mitat ja polarisaatioaste kiinteässä lukukentässä ja joilla on hyvä pelkistys kaikkialla tämän kentän tietyn äärellisen pistejoukon ulkopuolella.
Isogenialause Abelin lajikkeille isomorfisilla Tate-moduuleilla.

Yksinkertaisin Faltingsin lauseen sovellus on Fermatin viimeisen lauseen heikko muoto : jokaiselle valitulle yhtälölle on vain rajallinen määrä koprime-ratkaisuja , koska sellaiselle n :lle Fermat-käyrän suku on suurempi kuin 1. $n\geq 4$ $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ $x^{n}+y^{n}=1$

Yleistykset

Mordell -Weylin lauseen perusteella Faltingsin lause voidaan muotoilla uudelleen väittämäksi käyrän leikkauspisteestä Abelin muunnelman äärellisesti generoidun aliryhmän kanssa . Korvaamalla mielivaltaisella alalajitelmalla ja mielivaltaisella aliryhmällä, jolla on äärellinen arvo , saadaan yleistys, joka johtaa Mordell-Lengin olettamukseen , joka on todistettu. $C$ $\Gamma$ $A$ $C$ $A$ $\Gamma$ $A$

Toinen Faltingsin lauseen yleistys on Bombierri-Leng-oletus , jonka mukaan jos se on pseudokanoninen muunnelma ( eli yleistyyppinen variaatio) äärellisessä kentässä , niin rationaalipisteiden joukko ei ole missään tiheä Zariskin topologiassa. / . Paul Vojta esitti hypoteesin lisäyleistykset. $X$ $k$ $k$ $X(k)$ $X$

Manin osoitti Mordellin oletuksen funktiokentistä vuonna 1963 ja Grauert vuonna 1965. Coleman vuonna 1990 löysi ja korjasi aukon Maninin todistuksessa.

Kirjallisuus

Mordell, LJ Kolmannen ja neljännen asteen määrittämättömien yhtälöiden rationaalisista ratkaisuista . Cambr. Phil. soc. Proc. 21, 179 - 192 (1922).
Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell . Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), nro. 1, 1-13.
A. Yu. Weintrob, A. B. Sosinsky. "Todiste Mordellin olettamuksesta" . - Kvant , 1984. - Nro 3 .
Ian Stewart . Suurimmat matematiikan ongelmat. — M. : Alpina tietokirjallisuus, 2016. — 460 s. — ISBN 978-5-91671-507-1 .

Linkit

Bombieri, Enrico. Mordellin arveluun tutustuttiin uudelleen // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.. - 1990. - V. 17 , No. 4 . - S. 615-640 .
Coleman, Robert F. Maninin todiste Mordellin arveluista funktiokenttien yli // L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe-sarja: päiväkirja. - 1990. - Voi. 36 , ei. 3 . - s. 393-427 . — ISSN 0013-8584 . Arkistoitu alkuperäisestä 2. lokakuuta 2011. . - " Malli: Epäjohdonmukaiset lainaukset ". Arkistoitu 2. lokakuuta 2011 Wayback Machinessa
Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. Aritmeettinen geometria. - New York: Springer, 1986. - ISBN 0-387-96311-1 . > Sisältää englanninkielisen käännöksen teoksesta Faltings (1983)
Faltings, Gerd. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern (saksa) // Inventiones Mathematicae : magazin. - 1983. - Bd. 73 , no. 3 . - S. 349-366 . - doi : 10.1007/BF01388432 .
Grauert, Hans. Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper (saksa) // Julkaisut Mathematiques de l'IHES : magazin. - 1965. - Nro 25 . - S. 131-149 . — ISSN 1618-1913 . . - " Malli: Epäjohdonmukaiset lainaukset ".
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diofantiinigeometria. - Springer-Verlag , 2000. - Vol. 201. - ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). — ISBN 0-387-98981-1 . > Antaa Vojtan todisteen Faltingin lauseesta.
S. Lang . Diofantiinigeometrian tutkimus . - Springer-Verlag , 1997. - S. 101-122 . — ISBN 3-540-61223-8 .
Manin, Ju. I. Rationaaliset pisteet algebrallisissa käyrissä funktiokenttien yli (englanniksi) // Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya: päiväkirja. - 1963. - Voi. 27 . - s. 1395-1440 . — ISSN 0373-2436 . . - " Malli: Epäjohdonmukaiset lainaukset ".
Mordell, Louis J.Kolmannen ja neljännen asteen määrittämättömän yhtälön rationaalisista ratkaisuista // Proc . Cambridge Philos. soc. : päiväkirja. - 1922. - Voi. 21 . - s. 179-192 . . - "".
Parsin, AN Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nizza, 1970), osa 1. - Gauthier-Villars, 1971. - P. 467-471.
Parshin, AN (2001), M/m064910 , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4