Holevon lause

Holevon teoreema on tärkeä rajoittava lause kvanttilaskennassa , joka on monitieteinen fysiikan ja tietojenkäsittelytieteen ala . Sitä kutsutaan joskus Holevo-rajoitukseksi , koska lause asettaa ylärajan informaatiomäärälle, joka voidaan tietää kvanttitilasta (käytettävissä oleva tieto). Lauseen julkaisi Aleksandr Semjonovich Holevo vuonna 1973.

Johdanto

Kuten muidenkin kvanttitietoteorian käsitteiden kanssa , ongelman ydin on helpompi ymmärtää kahden ihmisen välisen viestinnän esimerkin avulla. Oletetaan, että meillä on Alice ja Bob . Liisalla on klassinen satunnaismuuttuja X , joka voi saada arvot {1, 2, …, n } vastaavilla todennäköisyyksillä . Alice valmistelee kvanttitilan , jota edustaa joukosta valittu tiheysmatriisi , ja välittää tämän tilan Bobille. Bobin tavoitteena on löytää X :n arvo , mikä tehdään mittaamalla tila , joka antaa klassisen tuloksen, jota merkitään Y :llä . Tässä yhteydessä käytettävissä olevan tiedon määrä, eli se informaatiomäärä, jonka Bob voi saada muuttujan X kautta, on satunnaismuuttujien X ja Y välisen keskinäisen informaation I ( X : Y ) maksimiarvo kaikilla mahdollisilla Bobin mittauksilla . tee [1] . $\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}\}$ ${\näyttötyyli \rho _{X}}$ ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\))$ ${\näyttötyyli \rho _{X}}$

Tällä hetkellä ei tunneta kaavaa saatavilla olevan tiedon laskemiseksi. Ylärajoja on kuitenkin useita, joista tunnetuin on Holevo-raja, joka ilmaistaan seuraavalla lauseella [1] .

Lauseen lause

Olkoon joukko sekoitettuja tiloja ja olkoon yksi näistä tiloista erotettuna todennäköisyysjakauman mukaan . ${\displaystyle \{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\))$ ${\näyttötyyli \rho _{X}}$ $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}}\}$

Nyt kaikille POVM-elementeillä kuvatuille mittauksille ( positiivinen operaattorin arvoinen mitta , positiivinen operaattorin mitta) ja joka suoritetaan , muuttujasta X mittaustuloksen Y muodossa käytettävissä olevan tiedon määrää rajoitetaan ylhäältä seuraavasti: $\{E_{Y}\}$ $\rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}$

I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

missä ; on von Neumannin entropia . ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i))$ $S(\cdot )$

Epäyhtälön oikealla puolella olevaa arvoa kutsutaan Holevo-informaatioksi tai Holevo - arvoksi χ :

\chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})

Todiste

Tämän todistamiseksi harkitse kolmea kvanttijärjestelmää nimeltä . Samanaikaisesti sitä pidetään valmisteluna - kvanttitilana, jonka Liisa on valmistellut ja joka välitetään Bobille, ja - keinona mitata Bobin vastaanottamaa tietoa. $P,Q,M$ $P$ $K$ $M$

Monimutkainen järjestelmä on aluksi tilassa $P\otimes Q\otimes M$

\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|

Liisan tilaa voidaan tarkastella ikään kuin Liisalla olisi arvo satunnaismuuttujalle . Tällöin preparointitila on tiheysmatriisin kuvaama sekatila , Bobille välitetty kvanttitila on ja Bobin mittauslaitteet ovat alku- tai lepotilassa . $P$ $x$ $X$ $\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$ $\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$ $|0\rangle$

Kvanttiinformaatioteorian tunnettujen tulosten käyttäminen[ mitä? ] voidaan näyttää[ miten? ] että

S(P';M')\leqslant S(P;Q)

Myös joidenkin algebrallisten laskelmien jälkeen voidaan näyttää[ miten? ] , joka vastaa lausetta [1] .

Muistiinpanot

Pohjimmiltaan Holevo-raja todistaa, että vaikka ne voivat "kuljettaa" enemmän (klassista) informaatiota kvanttisuperpositiosta johtuen n kubitin kohdalla, klassisen tiedon määrä, joka voidaan poimia , eli käytännössä saada , ei ylitä n klassista (ts. koodaamattomat kvantti) bitit . Tämä on yllättävää kahdesta syystä. :

kvanttilaskenta on usein niin paljon tehokkaampaa kuin perinteinen laskenta, että tulokset, jotka osoittavat niiden olevan vain marginaalisesti parempia tai jopa huonompia kuin perinteiset tekniikat, ovat outoja;
kompleksilukuja tarvitaan koodaamaan kubitti, joka edustaa vain n bittiä. $2^{n}$

Katso myös

Ultra-tiheä kvanttikoodaus

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Nielsen, Chuang, 2000 .

Kirjallisuus

Holevo A.S. Kvanttiviestintäkanavalla siirrettävän tiedon määrän rajat // Tiedonsiirron ongelmat. - 1973. - T. 9 . - S. 177-183 .
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. osa 12.1.1 - yhtälö (12.6) // Kvanttilaskenta ja kvanttitieto (englanniksi) . - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2000. - s . 531 . - ISBN 978-0-521-63235-5 .
Mark M. Wilde (2011), Klassisesta kvantti-Shannonin teoriaan, arΧiv : 1106.1445v2 [quant-ph]. Katso kohta 11.6. Holevon lause on esitetty harjoituksena 11.9.1 sivulla 288.

kvanttiinformatiikka

Yleiset käsitteet

kvanttiviestintä

kvanttikanava
- kvanttiverkko
kvantti kryptografia
- Kvanttiavainten jakelu
Kvanttienergian teleportaatio
kvanttiteleportaatio
Ultra-tiheä kvanttikoodaus
LOCC
kvanttitislaus

Kvanttialgoritmit

kvanttisimulaattori
Deutsch-Yozhi algoritmi
Bernstein-Wazirani-algoritmi
Groverin algoritmi
Kvantti-Fourier-muunnos
Shorin algoritmi
Simonin ongelma
Kvanttivaiheen arviointialgoritmi
Kvanttilaskenta-algoritmi
kvanttihehkutus
Algoritminen jäähdytys
Kvanttialgoritmi lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseen
Amplitudin vahvistus

Kvanttikompleksiteoria

Turingin kvanttikone
EQP
BQP
QMA
PostBQP
QIP

Kvanttilaskentamallit

kvanttipiiri
- kvanttiportti
Yksipuolinen kvanttitietokone
- klusterin
Adiabaattinen kvanttilaskenta
Topologinen kvanttitietokone

Epäkoherenssin ehkäisy

Kvanttivirheiden korjaus
Stabilointikoodit
Stabilointiformalismi
Kvanttikonvoluutiokoodi

Fyysiset toteutukset

kvanttioptiikka	Kavitaatiokvanttielektrodynamiikka Ääriviivan kvanttielektrodynamiikka Lineaariseen optiikkaan perustuva kvanttilaskenta KLM-protokolla Bosoninen näytteenotto
superkylmiä atomeja	Absorboituneen ionin kvanttitietokone Optinen ritilä
takaisin perustuva	Ydinmagneettiseen resonanssiin perustuva kvanttitietokone Kanen kvanttitietokone Häviö kvanttitietokone - DiVincenzo NV keskusta
Suprajohtavat kvanttitietokoneet	lataa qubit suoratoisto qubit Vaihe qubit Transmon