Tasakylkinen kolmion lause

Tasakylkisen kolmion lause on klassinen geometrian lause, joka väittää, että tasakylkisen kolmion sivuja vastapäätä olevat kulmat ovat yhtä suuret. Tämä lause esiintyy Euklidesin elementtien kirjan 1 lauseena 5 .

Myös käänteinen väite on totta: jos rappeutumattoman kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niitä vastakkaiset sivut ovat yhtä suuret. Lause pätee absoluuttisessa geometriassa , ja siten Lobatševskin geometriassa se pätee myös pallomaisessa geometriassa .

Pons asinorum

Tätä lausetta, kuten (harvemmin) Pythagoraan lausetta , kutsutaan joskus latiksi. pons asinorum [1] ({ref=la}}, [ˈpons asiˈnoːrʊm]) - "aasien silta". Lause on tunnettu vuodesta 1645 [2]

Tälle nimelle on kaksi mahdollista selitystä. Yksi on, että Eukleideen todistuksessa käytetty piirustus muistutti siltaa. Toinen selitys on, että tämä on ensimmäinen vakava todiste Euklidesin elementeissä - "aasit" eivät voi voittaa sitä [1] .

Todisteet

Euclid ja Proclus

Euklids todistaa lisäksi, että jos kolmion sivut pidennetään kannan yli, niin myös jatkeiden ja kannan väliset kulmat ovat yhtä suuret. Eli Eukleideen todistuksen piirustuksessa. $\measuredangle CBF=\measuredangle BCG$

Proclus huomauttaa, että Eukleides ei koskaan käytä tätä lisäväitettä ja hänen todistettaan voidaan hieman yksinkertaistaa piirtämällä apusegmenttejä kolmion sivuille, ei niiden jatkeille. Loput todisteet ovat lähes ennallaan. Proclus ehdotti, että toista johdannaista voitaisiin käyttää perusteluna seuraavan väitteen todistuksessa, jossa Eukleides ei ottanut huomioon kaikkia tapauksia.

Todistus perustuu Elementtien edelliseen lauseeseen, mitä nykyään kutsutaan kahden sivun kolmioiden yhtäläisyyden ja niiden välisen kulman kokeeksi.

Proclus todiste

Antaa olla tasakylkinen kolmio yhtäläinen puolin ja . Merkitsemme mielivaltaisen pisteen sivulle ja rakennamme pisteen sivulle niin, että . Piirretään segmentit , ja . Koska , Ja kulma on yhteinen, kahden sivun ja niiden välisen kulman tasa-arvolla , Ja siksi niiden vastaavat sivut ja kulmat ovat yhtä suuret. Tästä syystä kulma ja ja . Koska ja , Vähennykset yhtä suuresta osasta ovat yhtä suuret, saamme . Soveltamalla jälleen merkki tasa-arvo kolmioiden kahdella sivulla ja niiden välinen kulma, saamme, että . Täältä ja . Vähennykset yhtä suuresta osasta yhtä suuret saamme . Jälleen samalla kriteerillä saamme sen . Siksi . ■ $\kolmio ABC$ $AB$ $AC$ $D$ $AB$ $E$ $AC$ $AD=AE$ $DC$ $OLLA$ $DE$ $AD=AE$ $AB=AC$ ${\näyttötyyli \kulma A}$ $\triangle BAE\cong \triangle CAD$ $\measuredangle ABE=\measuredangle ACD$ $\measuredangle AEB=\measuredangle ADC$ $BE=CD$ $AB=AC$ $AD=AE$ $BD=CE$ $\triangle DBE\cong \triangle ECD$ $\measuredangle BDE=\measuredangle CED$ $\measuredangle BED=\measuredangle CDE$ $\measuredangle BDC=\measuredangle CEB$ $\triangle BDC\cong \triangle CEB$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Papp

Proclus antaa myös hyvin lyhyen Pappuksen todistuksen . Se on yksinkertaisempi eikä vaadi lisärakenteita. Todistus soveltaa tasa-arvomerkkiä molemmille puolille ja niiden välistä kulmaa kolmioon ja sen peilikuvaan.

Todiste Pappus

Antaa olla tasakylkinen kolmio yhtäläinen puolin ja . Koska kulma on yhteinen kahdella sivulla ja niiden välinen kulma . Erityisesti ,. ■ $\kolmio ABC$ $AB$ $AC$ ${\näyttötyyli \kulma A}$ $AB=AC$ ${\näyttötyyli \kolmio ABC\cong \kolmio ACB}$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Muut

Pappusin todistus saattaa joskus hämmentää oppilaita vertaamalla kolmiota "itseensä". Siksi oppikirjat antavat usein seuraavat pidemmät todisteet. Se on yksinkertaisempi kuin Eukleideen todistus, mutta käyttää puolittajan käsitettä. Elementeissä kulman puolittajan konstruktio on annettu vain lauseessa 9. Siksi esitysjärjestystä on muutettava, jotta vältetään ympyräpäättely.

Todiste

Antaa olla tasakylkinen kolmio yhtäläinen puolin ja . Piirretään kulman puolittaja . Antaa olla leikkauspisteen puolittaja sivun kanssa . Huomaa, että koska , ja yhteinen puoli. Joten . ■ $\kolmio ABC$ $AB$ $AC$ ${\näyttötyyli \kulma A}$ $X$ $eKr$ $\triangle BAX\cong \triangle CAX$ $\measuredangle BAX=\measuredangle CAX$ $AB=AC$ $AX$ $\measuredangle B=\measuredangle C$

Legendre käyttää samanlaisia rakenteita "Éléments de géométrie" -kirjassaan, mutta ottaa sen keskimmäiseksi . Todistus on samanlainen, mutta käyttää merkkiä, että kolmiot ovat yhtä suuret kolmelta sivulta. $X$ $eKr$

Linkit

↑ 12 Smith , David Eugene. Matematiikan historia : [ eng. ] . - Ginn And Company, 1925. - Voi. II: Perusmatematiikan erikoisaiheet. - s. 284. - 725 s.
Se muodostui sillalle, jonka yli tyhmät eivät voineet toivoa kulkevansa, ja siksi se tunnettiin nimellä pons asinorum eli tyhmien silta.¹
…

1. Termiä sovelletaan Pythagoraan lauseeseen.
↑ Pons Asinorumin määritelmä . Merriam Webster. Haettu 5. lokakuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 1. huhtikuuta 2019.